王勇 林書(shū)玉 張小麗

1 引言

聲波在含氣泡液體中的傳播是一個(gè)非常復(fù)雜的現(xiàn)象,對(duì)線性小振幅狀態(tài)和弱非線性狀態(tài)下的聲傳播已有大量的研究,其中涉及溫度、液體表面張力及液體的黏度等對(duì)聲傳播的影響.這方面最早的工作是1911年Mallock[1]關(guān)于液-氣混合物中聲傳播問(wèn)題的研究.van Wijngaarden[2]綜述了關(guān)于小振幅彈性聲波在含氣泡液體中傳播的多個(gè)方面的理論和實(shí)驗(yàn)研究,并對(duì)聲傳播過(guò)程中的非線性和損耗等現(xiàn)象進(jìn)行了討論.Caf l ish等[3,4]擴(kuò)展了Wijngaarden的包括熱傳導(dǎo)和表面張力作用的理論.在線性近似下,可以用來(lái)計(jì)算氣泡大小分散情況下線性振動(dòng)時(shí)聲波的衰減系數(shù).Commander和Prosperetti[5,6]給出一種小振幅線性壓力波在含氣泡液體中傳播的模型.他們指出氣泡振動(dòng)對(duì)線性聲波衰減的影響通常較弱,除非當(dāng)氣泡的大小接近諧振尺寸、聲場(chǎng)頻率低于諧振頻率、且在1%—2%的氣泡體積含量的情況下,模型才比較有效.文獻(xiàn)[7]在計(jì)入氣泡聲吸收作用的同時(shí),就氣泡空間分布的相關(guān)性對(duì)含氣泡水介質(zhì)中聲傳播特性的影響進(jìn)行了討論,指出當(dāng)考慮含氣泡水介質(zhì)中氣泡空間分布的相關(guān)性時(shí),聲衰減系數(shù)的峰值后移且其峰值較忽略此相關(guān)性時(shí)的峰值低平,隨著氣泡體積分?jǐn)?shù)的增大,氣泡空間分布的相關(guān)性增強(qiáng),氣泡的諧振頻率增大、諧振時(shí)的聲散射幅值減小.對(duì)于聲波在含氣泡液體中的非線性傳播及對(duì)氣泡產(chǎn)生的相關(guān)效應(yīng)也有大量的研究[8-16].但存在于液體中的氣泡會(huì)由于散射產(chǎn)生散射聲場(chǎng)并和原始入射聲場(chǎng)相互作用,改變?nèi)肷渎晥?chǎng)的聲壓振幅,使其受氣泡多少的影響.文獻(xiàn)[17]指出入射聲場(chǎng)應(yīng)換為考慮到氣泡作用時(shí)的等效入射聲場(chǎng).另外,對(duì)于氣泡的振動(dòng)過(guò)程,不能單一地認(rèn)為是等溫過(guò)程或絕熱過(guò)程.本文利用Keller的氣泡振動(dòng)模型來(lái)描述氣泡的振動(dòng),同時(shí)綜合考慮氣泡之間的聲相互作用等來(lái)對(duì)線性聲波在含氣泡液體中的傳播做進(jìn)一步的研究.

2 含氣泡液體的聲學(xué)模型

本文中用平均的溫度、聲速、密度和壓強(qiáng)描述這種含氣泡液體,同時(shí)假設(shè)所有的氣泡具有相同的大小并且在單位質(zhì)量的混合物中有相同的氣泡個(gè)數(shù).聲波在含氣泡液體中的傳播,用ρ,u,p分別表示液體密度、聲速和壓強(qiáng).含氣泡液體中的連續(xù)性方程可表示為

在方程(1)中,p表示聲壓場(chǎng),u表示聲速場(chǎng),ρ和c分別表示純液體的密度和聲速,β表示氣體所占的體積分?jǐn)?shù),表示如下

式中R表示氣泡的瞬態(tài)半徑,N表示液體中氣泡的個(gè)數(shù),根據(jù)我們建立的模型,在(2)式的時(shí)間微商中N必須保持常數(shù),并且有β0=N4πR30/3.含氣泡液體用聲壓場(chǎng)P和聲速場(chǎng)u描述.考慮到動(dòng)量方程的表示

通過(guò)(1),(3)式可以得到：

我們用(4)式來(lái)描述聲波在含氣泡液體中的聲傳播.當(dāng)聲波在純液體中傳播時(shí)上式右邊等于0,則上式還原到純液體中的聲傳播方程.

3 液體中的氣泡模型

對(duì)于單個(gè)氣泡的物理模型,我們做了幾個(gè)假設(shè)：氣泡保持球形;泡內(nèi)氣體是理想氣體;泡內(nèi)的壓強(qiáng)空間分布均勻;忽略泡內(nèi)包含的水汽;氣泡的中心不動(dòng).考慮液體的黏滯作用和氣液界面的熱傳導(dǎo),忽略氣泡的形成、破裂與合并等.在這些前提下氣泡做徑向的受迫振動(dòng),它的控制方程可以從氣泡邊界的壓力連續(xù)方程中得到：

式中的圓點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的微分,PB表示氣液邊界液體側(cè)的壓強(qiáng),常數(shù)μ表示周圍液體的動(dòng)態(tài)黏滯系數(shù),P∞表示液體的環(huán)境壓強(qiáng),常數(shù)σ是氣液界面的表面張力系數(shù),Pin表示氣泡內(nèi)部的壓強(qiáng).從(5)式中可以很方便地得到：

用Keller給出的在考慮液體壓縮性時(shí)氣泡的振動(dòng)方程來(lái)描述氣泡的振動(dòng)

式中ρ,c分別表示液體密度及靜態(tài)聲速,P定義為氣泡所在位置當(dāng)氣泡不存在時(shí)的壓強(qiáng)[18,19],有

其中

式中P∞表示液體靜態(tài)壓強(qiáng),P∞εejωt表示驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng),Prad表示氣泡的輻射聲場(chǎng).考慮到氣泡之間的聲相互作用時(shí),根據(jù)文獻(xiàn)[17]可得到驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)的等效入射聲場(chǎng)

式中

(11)式中x=kR0,x=kgR0,ρ0和ρ分別表示氣泡內(nèi)外介質(zhì)的密度,k為波數(shù),R0為氣泡半徑.Dl(x),δl(x)滿足關(guān)系式

其中jl(x)與h(l2)(x)分別表示l階的球貝塞爾函數(shù)和第二種l階球漢開(kāi)爾函數(shù).

4 線性化求解

在ε?1的情況下,驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)處于線性小振幅狀態(tài),我們認(rèn)為聲波在含氣泡液體中線性傳播,所以對(duì)于氣泡來(lái)說(shuō)它將在周期性聲擾動(dòng)下做小振幅振動(dòng).設(shè)

設(shè)X正比于 eiωt,式中

其中χ=D/ωR20,D為氣體的熱擴(kuò)散系數(shù)[20].(15)式的引入考慮到了泡內(nèi)氣體和液體間的熱相互作用,同時(shí)也認(rèn)為氣泡在振動(dòng)過(guò)程中不是單一地做等溫變化或絕熱變化.X為和聲場(chǎng)有相同的時(shí)間依賴性,于是有˙X=iωX,¨X=-ω2X,同時(shí)|X|認(rèn)為和ε同階[5,6,21,22].在?1的情況下將(5),(6),(8),(14),(16)式代入(7)式并線性化得到：

其中定義

上式能明顯表現(xiàn)氣泡在線性聲擾動(dòng)時(shí)的諧振頻率ω0和阻尼常數(shù)b,同時(shí)發(fā)現(xiàn)諧振頻率和阻尼常數(shù)對(duì)于R0ω,φ和Pw均有依賴.對(duì)于諧振頻率在(ωR0)/c?1的情況下,氣泡間的聲相互作用會(huì)使諧振頻率ω0的值增大,液體黏滯的作用對(duì)氣泡諧振頻率沒(méi)有影響.(18)式在忽略氣泡間聲相互作用的情況下可以還原到Prosperetti[21]和Commander[20]的結(jié)論.方程(19)表示的阻尼系數(shù)顯示能量耗散源于氣液間的黏滯磨擦、氣泡受液體表面張力的克服、聲場(chǎng)輻射、熱傳導(dǎo)和氣泡間的相互作用,后三者的作用通過(guò)φ和Pw體現(xiàn),同時(shí)Pw的考慮會(huì)使黏滯系數(shù)b的值增大,像文獻(xiàn)[17]指出的那樣：泡之間的聲相互作用等效于在每個(gè)氣泡上附加了一項(xiàng)阻力從而使其阻尼增大很多.方程(17)式在忽略σ和Pw的情況下可以還原到Prosperetti等[6]的結(jié)論.將(8)式及(17)式代入波動(dòng)方程(4)式中,得到

式中km表示含氣泡液體的等效波數(shù),有

含氣泡液體中的聲速由

給出.由此可以看出,由于氣泡在液體中的出現(xiàn)改變了液體中聲傳播的波數(shù),使其等效于km,同時(shí)受β0,ω及R0的影響,從而影響到液體中聲傳播的速度.通過(guò)(21)式可以得到

設(shè)

我們注意到有

則衰減系數(shù)A可以表示為

出現(xiàn)在液體中的氣泡會(huì)改變聲波在液體中傳播的聲速及液體對(duì)聲波傳播的衰減系數(shù).通過(guò)式(22)—(26)發(fā)現(xiàn),含氣泡液體中氣泡的含量、大小及驅(qū)動(dòng)聲波頻率均會(huì)對(duì)聲波傳播的速度和衰減產(chǎn)生直接影響,而氣泡間的聲相互作用及氣泡與液體間熱作用的影響則是通過(guò)諧振頻率及阻尼系數(shù)間接體現(xiàn)的.

5 數(shù)值模擬

對(duì)聲波傳播過(guò)程中含氣泡液體對(duì)聲波的衰減系數(shù)和聲波傳播的速度進(jìn)行了數(shù)值模擬.在數(shù)值模擬的過(guò)程中對(duì)一些參數(shù)的選取如下：P∞=1.01×105Pa,γ=1.4,D=2.4×10-5m2/s,μ=1.0042×10-3Pa/s,ε=0.001,σ=72.75×10-3N/m,ρ=998.203 kg/m3,ρg=1.1691 kg/m3,c=1500 m/s.由(26)式可知,聲波在含氣泡液體中線性傳播時(shí),氣泡大小、多少和驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)頻率均是含氣泡液體對(duì)聲波衰減的主要影響因素,所以我們模擬了這些因素對(duì)衰減系數(shù)的影響.在模擬的過(guò)程中我們確保滿足(ωR0)/c?1的關(guān)系,得到的結(jié)果如圖1所示.如果控制氣泡的大小和驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)的頻率一定,會(huì)發(fā)現(xiàn)衰減系數(shù)隨氣泡體積分?jǐn)?shù)的增加而增加.而對(duì)于相同體積分?jǐn)?shù)的情況,氣泡越小對(duì)應(yīng)的衰減系數(shù)越大.由此可知在這種情況下,氣泡的多少影響了混合液體的衰減系數(shù).另外我們還模擬了衰減系數(shù)受驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)頻率的影響,發(fā)現(xiàn)如果控制氣泡體積分?jǐn)?shù)和氣泡大小不變,則衰減系數(shù)會(huì)隨驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)頻率的增加而增大.

圖1 氣泡體積分?jǐn)?shù)對(duì)聲衰減系數(shù)的影響

圖2 氣泡體積分?jǐn)?shù)對(duì)聲速的影響

對(duì)于含氣泡液體中聲傳播的速度在其傳播過(guò)程中受氣泡體積分?jǐn)?shù)的影響如圖2所示.對(duì)于混合液體中的氣泡來(lái)說(shuō),不管其大小如何,其體積分?jǐn)?shù)的增加均會(huì)導(dǎo)致混合液體中聲傳播的速度減小,在體積分?jǐn)?shù)和驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)頻率相同的情況下,小氣泡對(duì)應(yīng)的聲傳播速度會(huì)小一些.對(duì)于氣泡大小和體積分?jǐn)?shù)均相同的情況下,驅(qū)動(dòng)聲波頻率的增加會(huì)導(dǎo)致聲傳播速度的減小,但這一結(jié)論只能是在驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)頻率遠(yuǎn)小于氣泡的諧振頻率的情況下適用.

6 結(jié)論

對(duì)于聲波在含氣泡液體中的線性傳播,我們分別建立了含氣泡液體的聲傳播模型和氣泡的振動(dòng)模型.在滿足(ωR0)/c?1的前提下,得到了氣泡的諧振頻率、阻尼常數(shù)、含氣泡液體對(duì)聲波傳播的衰減系數(shù)和聲傳播的速度等的解析表達(dá)式.對(duì)于混合液體中的氣泡,發(fā)現(xiàn)其諧振頻率和阻尼常數(shù)均受氣泡大小、氣泡間的聲相互作用、驅(qū)動(dòng)聲波頻率及氣泡與液體間熱作用的影響.通過(guò)數(shù)值分析發(fā)現(xiàn),氣泡間的聲相互作用雖然對(duì)氣泡諧振頻率和阻尼系數(shù)有影響,但對(duì)阻尼系數(shù)的影響不太明顯.由于氣泡在液體中的出現(xiàn)改變了液體中聲傳播的波數(shù),所以使液體對(duì)聲波在其中傳播的參數(shù)發(fā)生變化.在驅(qū)動(dòng)頻率一定的情況下,氣泡越小含量越多,聲波傳播的速度就會(huì)越小.驅(qū)動(dòng)聲波頻率在遠(yuǎn)小于氣泡諧振頻率的情況下,聲波傳播速度會(huì)隨驅(qū)動(dòng)頻率的增大而減小.氣泡間的聲相互作用對(duì)混合液體的衰減系數(shù)及聲傳播速度產(chǎn)生的影響不明顯.所以認(rèn)為氣泡含量、大小和驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)頻率是影響聲波在含氣泡液體中線性傳播的主要因素.

[1]Mallock A 1911 Proc.R.Soc.Lond.A 84 391

[2]Wijngaarden L V 1972 Ann.Rev.Fluid Mech.4 369

[3]Caf l isch R E,Miksis M J,Papanicolaou G C,Ting L 1985 J.Fluid Mech.160 1

[4]Caf l isch R E,Miksis M J,Papanicolaou G C,Ting L 1985 J.Fluid Mech.153 259

[5]Commander K W,Prosperetti A 1989 J.Acoust.Soc.Am.85 732

[6]Prosperetti A,Crum L A,Commander K W 1988 J.Acoust.Soc.Am.83 502

[7]Li F X,Sun J C,Huang J Q 1998 J.Northwestern Polytech.Univ.16 241(in Chinese)[李福新,孫進(jìn)才,黃景泉1998西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)16 241]

[8]Kudryashov N A,Sinelshchikov D I 2010 Phys.Lett.A 374 2011

[9]Kudryashov N A,Sinelshchikov D I 2010 Appl.Math.Comput.217 414

[10]Vanhille C,Campos-Pozuelo C 2009 Ultrason.Sonochem.16 669

[11]Vanhille C,Campos-Pozuelo C 2011 Ultrason.Sonochem.18 679

[12]Louisnard O 2012 Ultrason.Sonochem.19 56

[13]Zhang J,Zeng X W,Chen D,Zhang Z F 2012 Acta Phys.Sin.61 184302(in Chinese)[張軍,曾新吾,陳聃,張振福2012物理學(xué)報(bào)61 184302]

[14]Shen Z Z,Lin S Y 2011 Acta Phys.Sin.60 104302(in Chinese)[沈壯志,林書(shū)玉2011物理學(xué)報(bào)60 104302]

[15]Shen Z Z,Lin S Y 2011 Acta Phys.Sin.60 084302(in Chinese)[沈壯志,林書(shū)玉2011物理學(xué)報(bào)60 084302]

[16]Zhang P L,Lin S Y 2009 Acta Phys.Sin.58 7797(in Chinese)[張鵬利,林書(shū)玉2009物理學(xué)報(bào)58 7797]

[17]Qian Z W 1981 Acta Phys.Sin.30 442(in Chinese)[錢祖文1981物理學(xué)報(bào)30 442]

[18]Prosperetti A,Lezzi A 1986 J.Fluid Mech.168 457

[19]Foldy L L 1945 Phys.Rev.67 107

[20]Commander K W,Prosperetti A 1989 J.Acoust.Soc.Am.85 732

[21]Prosperetti A 1984 Ultrasonics 22 115

[22]Prosperetti A 1977 J.Acoust.Soc.Am.61 17