劉小瓊， 楊國(guó)英

（河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000）

帶兩個(gè)形狀參數(shù)的四次Bézier曲線的擴(kuò)展

劉小瓊， 楊國(guó)英

（河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000）

給出了兩組帶兩個(gè)形狀參數(shù)λ, μ 的六次多項(xiàng)式基函數(shù)，它們是四次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展。分析了這兩組基函數(shù)的性質(zhì)，基于這兩組基分別定義了帶形狀參數(shù)的兩類多項(xiàng)式曲線，兩類曲線具有與四次 Bézier曲線類似的性質(zhì)，且在控制頂點(diǎn)不變的情況下，可通過(guò)改變形狀參數(shù)的值實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線形狀的調(diào)整。參數(shù)λ, μ具有明顯的幾何意義。當(dāng)λ=μ=0時(shí)，均退化為四次Bézier曲線。實(shí)例表明，論文所采用的方法控制靈活，方便有效。

曲線設(shè)計(jì)；四次Bézier曲線；形狀參數(shù)

用 Bernstein基函數(shù)表示相應(yīng)用控制頂點(diǎn)定義的Bézier曲線是一種獨(dú)特的參數(shù)多項(xiàng)式曲線。它不僅具有優(yōu)良的控制性質(zhì)，而且?guī)缀沃庇^，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中表示曲線和曲面的重要工具之一[1]。然而Bézier方法也有一定的缺陷，它不具備局部修改性質(zhì)，即給定了控制頂點(diǎn)及相應(yīng)的 Bernstein基函數(shù)以后，Bézier曲線也就惟一確定了。若要修改曲線的形狀，必須要調(diào)整控制頂點(diǎn)。為了彌補(bǔ)這一缺陷，人們開(kāi)始想辦法推廣Bézier曲線。

在文獻(xiàn)[2]中，討論了一類可調(diào)控的Bézier曲線，針對(duì)n+1個(gè)控制頂點(diǎn)，用m=l(n- 1 )+1次Bernstein基構(gòu)造了一類 Bézier曲線。文獻(xiàn)[3-5]分別給出了二次、三次、四次Bézier曲線的擴(kuò)展。文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上給出n次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展，由此定義了一個(gè)帶形狀參數(shù)λ的n+1次Bézier曲線。

這里給出了四次 Bézier基函數(shù)的另 2類擴(kuò)展，通過(guò)引入2個(gè)形狀參數(shù)，將四次Bézier基函數(shù)的次數(shù)提高了2次，得到2組帶有形狀參數(shù)λ,μ的基函數(shù)，由2組基函數(shù)分別構(gòu)造了2類曲線，相應(yīng)稱為第1類六次λμ-Bézier曲線和第2類六次λμ-Bézier曲線。它們具有與四次 Bézier曲線類似的性質(zhì)。在控制頂點(diǎn)不變的情況下，隨著參數(shù)λ,μ的改變可產(chǎn)生兩類逼近控制多邊形的不同曲線，且形狀參數(shù)具有明確的幾何意義。運(yùn)用張量積方法，可生成與曲線性質(zhì)類似的形狀可調(diào)的曲面。用這種方法可以設(shè)計(jì)出豐富的曲線形狀，滿足實(shí)際應(yīng)用中不同的需求。

1 第1類曲線的定義及性質(zhì)

定義1 對(duì)于t∈ [ 0 ,1]，稱關(guān)于t的多項(xiàng)式

為帶形狀參數(shù),λ μ的第1類基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為第1類λμ-B基。其中，當(dāng)λ=μ時(shí)，-4≤λ,μ≤1；當(dāng)λ≠μ時(shí)，-2≤λ≤2，-2≤μ≤1。下面的圖1給出了λ=-1，μ=0時(shí)的第1類基函數(shù)圖形。

圖1 λ =-1， μ=0時(shí)的第1類基函數(shù)

第1類基函數(shù)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)5 退化性 當(dāng)==0λ μ時(shí)，式(1)退化為四次Bernstein基，當(dāng)=0λ μ≠時(shí)，式(1)退化為文獻(xiàn)[5]中的第2類λ-B基。此性質(zhì)說(shuō)明，式(1)是四次Bernstein基的擴(kuò)展。稱式(2)所定義的曲線為帶有形狀參數(shù),λ μ的第1類六次 Bézier曲線，簡(jiǎn)稱為第 1類六次λμ-Bézier曲線。顯然當(dāng)==0λ μ時(shí)，第1類六次λμ-Bézier曲線退化為四次Bézier曲線。

由第 1類基函數(shù)的性質(zhì)可得曲線(2)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì) 2 凸包性 由基函數(shù)的非負(fù)性和規(guī)范性知曲線是落在其控制頂點(diǎn)生成的凸包之內(nèi)。

性質(zhì) 4 幾何不變性和仿射不變性 曲線僅依賴于控制頂點(diǎn)而與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。曲線作仿射變換，只需將其控制多邊形作仿射變換。

性質(zhì) 5 變差減少性質(zhì)(V.D.)。

2 第2類曲線的定義及性質(zhì)

定義3 對(duì)于t∈ [ 0 ,1]，稱關(guān)于t的多項(xiàng)式

為帶形狀參數(shù),λ μ的第2類基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為第2類λμ-B基。其中，當(dāng)λ=μ時(shí)，-4≤λ,μ≤1；當(dāng)λ≠μ時(shí)，-2≤λ≤2，-2≤μ≤1。圖2給出了λ=-1，μ=0時(shí)的第2類基函數(shù)圖形。

圖2 λ =-1, μ =0時(shí)的基函數(shù)

性質(zhì)5 退化性 當(dāng)==0λ μ時(shí)，式(3)退化為四次Bernstein基，當(dāng)=0λ μ≠時(shí)，式(3)退化為文獻(xiàn)[5]中的第1類λ-B基。此性質(zhì)說(shuō)明，式(3)是四次Bernstein基的擴(kuò)展。

稱式(4)所定義的曲線為帶有形狀參數(shù),λ μ的第2類六次 Bézier曲線，簡(jiǎn)稱為第 2類六次λμ-Bézier曲線。顯然當(dāng)==0λ μ時(shí)，第2類六次λμ-Bézier曲線退化為四次Bézier曲線。

由第 2類基函數(shù)的性質(zhì)可得曲線(4)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)2 凸包性。

性質(zhì)3 對(duì)稱性。

性質(zhì)4 幾何不變性和仿射不變性。

性質(zhì)5 變差減少性質(zhì)(V.D.)。

3 曲線的連接

此處以第1類曲線為例加以說(shuō)明，第2類曲線的連接類似。

給出2條不同的第1類六次λμ-Bézier曲線

其中P4=Q0，B1（t）中的參數(shù)為λ1,μ1，B2（t）中的參數(shù)為λ2,μ2，則有：

4 形狀參數(shù)的幾何意義

此處仍以第1類六次λμ-Bézier曲線為例加以討論，第2類可類似討論。

將第1類基函數(shù)改寫為

上式改寫為矩陣形式為

則可用六次 Bézier曲線表示第 1類六次λμ-Bézier曲線，其中iV為此六次Bézier曲線的控制頂點(diǎn)。由式(5)、(6)可得此六次 Bézier曲線與第1類六次λμ-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系式為

5 曲線的應(yīng)用實(shí)例

圖 3是第 1類當(dāng)λ=-2,-1,0,1,2時(shí)開(kāi)曲線的花瓣圖形；圖 4是第 2類當(dāng)λ=-2, -1, 0, 1, 2時(shí)開(kāi)曲線的花瓣圖形；圖5是第1類當(dāng)μ=-2, -1, 0, 1時(shí)開(kāi)曲線的花瓣圖形；圖6是第2類當(dāng)μ=-2, -1, 0, 1時(shí)開(kāi)曲線的花瓣圖形。從圖形可知，對(duì)于相同的控制多邊形，兩類曲線有不同的特性。

圖3 第1類曲線固定μ=1的花瓣圖形

圖4 第2類曲線固定μ=1的花瓣圖形

圖5 第1類曲線固定λ=1的花瓣圖形

圖6 第2類曲線固定λ=1的花瓣圖形

6 曲面的定義

運(yùn)用張量積的方法，可將兩類曲線推廣到曲面上?，F(xiàn)僅以第1類曲線為例。

其中u,v∈[0,1]。稱為[0,1]×[0,1]上的第1類雙六次λμ-Bézier曲面，可證明第 1類雙六次λμ-Bézier曲面具有與四次Bézier曲面類似的性質(zhì)。

7 結(jié) 束 語(yǔ)

給出的曲線生成方法，以四次Bézier曲線為特例，保留了Bézier曲線的幾何性質(zhì)。在形狀參數(shù)的取值范圍內(nèi)，選擇不同的參數(shù)值，可生成逼近于同一控制多邊形的不同的曲線，且超出了一般的四次 Bézier曲線和五次λ-Bézier曲線對(duì)控制多邊形的逼近。而且這里形狀參數(shù)具有明確的幾何意義，設(shè)計(jì)者可以根據(jù)自己的需要來(lái)調(diào)整參數(shù)值以達(dá)到設(shè)計(jì)需要。運(yùn)用張量積方法，將曲線推廣到曲面，曲面的形狀是可調(diào)的且具有和曲線類似的性質(zhì)。

[1]施法中. 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M]. 北京：高等教育出版社, 2001：306-454.

[2]齊從謙, 鄔弘毅. 一類可調(diào)控 Bézier曲線及其逼近性[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào), 1996, 19(1)：15-19.

[3]韓旭里, 劉圣軍. 二次 Bézier曲線的擴(kuò)展[J]. 中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2003, 34(2)：214-217.

[4]吳曉勤, 韓旭里. 三次 Bézier曲線的擴(kuò)展[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2005, (6)：98-102.

[5]吳曉勤, 韓旭里, 羅善明. 四次Bézier曲線的擴(kuò)展[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 27(5)：98-102.

[6]吳曉勤. 帶形狀參數(shù)的 Bézier曲線[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2006, 11(2)：269-274.

[7]朱秀梅, 郭清偉, 朱功勤. 含多參數(shù)的Bézier曲線的擴(kuò)展[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2008,31(4)：671-674.

Extension of quartic Bézier curve with two shape parameters

Liu Xiaoqiong，Yang Guoying
( College of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454000, China )

Two classes of six degree polynomial basis functions with two shape control parameters λ and μ are presented. They are extensions of quartic Bernstein basis functions.Properties of these two bases are analyzed and the corresponding polynomial curves with two parameters λ and μ are defined accordingly. These curves not only inherit the outstanding properties of quartic Bézier curve, but also can be adjusted in shape by changing the value of λ and μ without the changing of control points. The parameters have obvious geometric meaning.When λ=μ=0, the curve degenerates to four degree Bézier curve. Experiments show that the method given in this paper is intuitive, effective and easy to control.

curve design; quartic Bézier curve; shape parameters

TP 391.72

A

2095-302X (2013)01-0041-05

2011-07-04；定稿日期：2011-09-14

河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2009B110009）；河南理工大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（Q2012-14）

劉小瓊（1980-），女，河南焦作人，講師，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：liuxiaoqiong@hpu.edu.cn