吳中，王梅妞

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，南京 210098)*

0 引言

道路交通流作為數(shù)學(xué)、物理、信息技術(shù)和交通工程的跨學(xué)科基礎(chǔ)研究，在國內(nèi)外取得了很多重要的研究成果.上世紀(jì) 50年代 Lighthill＆Whitham［1］、Payne［2］等人提出交通流的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 和 動(dòng) 力 學(xué) 模 型;其 后，Kühne［3］、Kerner-Konhaüser［4］以及我國學(xué)者張紅軍［5］，薛郁［6］等人從不同角度加以改進(jìn)，提出相應(yīng)由偏微分方程描述的基于“流體”思想的交通流模型;此外，基于顆粒流理論和多智能體理論的交通流模型與仿真方法也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展.近年來，德國學(xué)者Kerner［7］等人通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn) q-ρ關(guān)系圖的數(shù)據(jù)分布不同于傳統(tǒng)線性或非線性理論，提出了交通流的分相理論—三相交通流理論.三相交通流理論的提出沖擊了傳統(tǒng)理論，也對(duì)不斷發(fā)展的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型提出挑戰(zhàn)，使得深入揭示交通流本質(zhì)、提高模型精度成為現(xiàn)代交通流研究的重要方向之一.

1 Kerner與傳統(tǒng)基本圖的區(qū)別

在傳統(tǒng)的交通流理論中，交通流量q和交通密度ρ的關(guān)系被表達(dá)成靜態(tài)的確定關(guān)系，其二維關(guān)系圖被稱為基本圖，具有物理意義明確、直觀的特性，是表達(dá)交通流特征的重要方法.線性理論的圖形曲線為二次拋物線，可由Greenshields速度與密度模型推導(dǎo)而得(圖1).國內(nèi)外根據(jù)交通流實(shí)測(cè)資料，將基本圖表達(dá)成多種形態(tài)，接近于拋物線的曲線或折線.它們雖沒有給出具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但經(jīng)驗(yàn)基本圖具有曲(折)線連續(xù)、密度ρ對(duì)應(yīng)單值流量q、流量存在確定的上限值、只有當(dāng)密度為零或?yàn)樽枞芏葧r(shí)流量為零以及有包括正斜率自由流與負(fù)斜率擁擠流的特點(diǎn).交通流的動(dòng)力學(xué)方程以流體動(dòng)量方程為基礎(chǔ)，設(shè)想并描述了車流隨體加速度隨車流密度梯度、速度梯度或速度偏離值改變的車流狀態(tài)變化特性.交通流動(dòng)力學(xué)方程是人為構(gòu)造的，沒有嚴(yán)格的物理學(xué)基礎(chǔ)，本質(zhì)上只是流體運(yùn)動(dòng)的近似，即使確定了隨體加速度，也難以直接給出固定空間位置的基本圖關(guān)系.Kerner在基本圖(圖2)上將交通流分為暢行相(自由流F線)、寬幅運(yùn)動(dòng)阻塞相(J線)和同步交通流(二維陰影區(qū))，明確提出了存在高流量的亞穩(wěn)定狀態(tài)(大于qout的F曲線部分)和同步交通流，并依此可以解釋“幽靈”阻塞現(xiàn)象和非暢行相條件下的交通流因加減速速度差引起的遲滯現(xiàn)象(圖3)，而遲滯(環(huán))現(xiàn)象在傳統(tǒng)基本圖上幾乎無法正確解釋.

圖1 Greenshields q-ρ基本圖

圖2 Kerner交通流基本圖

圖3 ［8］實(shí)測(cè)交通遲滯(環(huán))

2 具有遲滯效應(yīng)的基本圖模型

2.1 模型構(gòu)建原則

由于傳統(tǒng)模型無法描述交通的同步流狀態(tài)，其數(shù)值仿真也難以表達(dá)擁擠的交通流走走停停、忽快忽慢的特征;Kerner的q-ρ圖因曲線不連續(xù)、同步流的q的多值特性，也不能夠作為數(shù)值模型的控制方程.要在基本圖控制模型或方程中表達(dá)擁擠車流的復(fù)雜特性對(duì)流量、流速的影響，需要結(jié)合上述兩類基本圖的特點(diǎn)，構(gòu)造新的基本圖模型.模型的構(gòu)造遵循下列原則或假定:

(1)模型能夠合理表達(dá)Kerner三相流理論的主要特性，包括同步流、交通遲滯(環(huán));

(2)模型曲線連續(xù)，q-ρ關(guān)系變化規(guī)則明確，具有可計(jì)算性;

(3)考慮相同性質(zhì)的單一車流，排除因車輛或駕駛行為差異而導(dǎo)致的最大流量值大小不定，即流量存在確定的最大值，僅當(dāng)密度為零或阻塞密度時(shí)流量為零;

(4)模型引入合理邊界條件，能夠解釋同步流與遲滯環(huán)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理.

2.2 模型構(gòu)建

依據(jù)上述原則或假定構(gòu)建基本圖(圖4).圖中具有正斜率的直線段為自由流，直線頂端對(duì)應(yīng)最大交通流量，相當(dāng)于Kerner基本圖亞穩(wěn)定狀態(tài)交通流的最大值.由于只有在交通流內(nèi)部車輛之間協(xié)同關(guān)系最理想時(shí)才能達(dá)到最大通過量(實(shí)際情況下較難達(dá)到)，交通流量最大點(diǎn)只能出現(xiàn)在車流秩序最好的暢行相直線F頂端qm;同步流因交通秩序不如暢行相好，其最大流量、q-ρ二維包絡(luò)線頂端值不可能大于暢行相qm值.暢行相直線頂端qm可依據(jù)大于等于實(shí)測(cè)同步流二維數(shù)據(jù)包絡(luò)線頂端值確定.流量存在確定的最大值，暢行相直線頂端qm與阻塞密度之間的直線J可以認(rèn)為寬幅運(yùn)動(dòng)阻塞相(圖2、4).

在阻塞相直線J上下的區(qū)域?yàn)橥浇煌鳎蜍嚵髦熊囕v擁擠程度與道路物理?xiàng)l件有關(guān)，同步流量的上下邊界曲線1、2應(yīng)依據(jù)極端的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)包絡(luò)線或經(jīng)驗(yàn)值確定(圖5)，同時(shí)也反映在速度-密度(V-ρ)平面的上下限曲線1、2(圖6).

圖4 新構(gòu)建的具有遲滯效應(yīng)的基本圖

圖5 具有遲滯效應(yīng)的q-ρ圖

圖6 具有遲滯效應(yīng)的V-ρ圖

模型認(rèn)為均一車流的同步流q-ρ二維區(qū)域是由各種大小不等的動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)覆蓋而形成.車流在擁擠區(qū)加速、減速會(huì)因加速動(dòng)力一般弱于減速動(dòng)力而產(chǎn)生加速的遲滯，即在V-ρ及q-ρ圖上顯示出加減速的不同車流狀態(tài)路徑.引入交通流任意狀態(tài)點(diǎn)都可以達(dá)到極端狀態(tài)的自然邊界條件，每一時(shí)刻加減速狀態(tài)變化路徑按下列思想確定(圖5):①在0～ρm區(qū)間內(nèi)的車流狀態(tài)變化沿F直線運(yùn)動(dòng)(式(1));②在ρm～ρj區(qū)間內(nèi)的車流若要改變狀態(tài)(加速或減速)，車流狀態(tài)改變必須沿著一條從當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)，加速能夠達(dá)到ρm上限值、減速可達(dá)阻塞密度ρj下限值的V-ρ或q-ρ路徑.車流狀態(tài)由低速向高速變化，其V-ρ平面上的移動(dòng)軌跡接近曲線2;狀態(tài)由高速向低速變化，移動(dòng)軌跡接近曲線1，在q-ρ平面上也是如此(圖5、6).加速與減速的不同路徑形成了遲滯環(huán)，遲滯環(huán)的速度曲線由Pipes-Munjal模型曲線族方程表達(dá).盡管車流一時(shí)步狀態(tài)改變并不一定能夠達(dá)到上、下限值，但狀態(tài)變化路徑卻必須滿足自然邊界條件，提供車流到達(dá)上下限值的可能，且狀態(tài)變化路徑方程并非不變，它是逐步逼近上下極值點(diǎn)(式(3)、(4));③為數(shù)值計(jì)算方便，當(dāng)車流狀態(tài)從暢行相進(jìn)入阻塞相時(shí)(由0～ρm區(qū)間進(jìn)入ρm～ρj區(qū)間)，車流狀態(tài)變化按阻塞相直線J選取q-ρ關(guān)系(式(2)).

構(gòu)建模型可以表達(dá)為如下方程或計(jì)算式:

暢行相F:

阻塞相J:

寬幅運(yùn)動(dòng)相:狀態(tài)變化路徑是動(dòng)態(tài)的.記n時(shí)刻交通流狀態(tài)為 ρn，qn，下一時(shí)刻狀態(tài)為 ρn+1，qn+1.若ρn+1＞ρn，則車流量向阻塞狀態(tài)靠近，其狀態(tài)變化方程(路徑)以當(dāng)前的ρnvn為上限流量，以阻塞狀態(tài)為下限，車流狀態(tài)單時(shí)步變化方程為:

若ρn+1＜ρn，則車流量向暢行相靠近，其狀態(tài)變化方程(路徑)以ρmvf為上限流量，以當(dāng)前的ρnvn為下限，車流狀態(tài)單時(shí)步變化方程為:

式(3)(4)中，因mn+1的取值不同，車流加速與減速的狀態(tài)改變路徑被區(qū)分(圖5).若mn+1等于1，方程(3)、(4)退化為傳統(tǒng)的折線基本圖模型，既不存在同步流，也不存在遲滯環(huán).此外，從式(3)、(4)中容易得到單時(shí)步車流速度變化方程.

表達(dá)偏離程度m值是時(shí)變的，以a、b為曲線1、2的極限指數(shù)值，0＜β＜1，為遲滯環(huán)路徑改變速率參數(shù)，m變化規(guī)則可表達(dá)為:

式(5)中，a、b值可按調(diào)查數(shù)據(jù)取得或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值選取.

3 數(shù)值模型與解法

3.1 數(shù)值模型

不添加擴(kuò)散項(xiàng)，采用純粹的車輛守恒方程為控制方程，交通流的“流動(dòng)”的全部特性由方程或計(jì)算式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)基本圖模型表達(dá)，相應(yīng)數(shù)學(xué)模型為:

其中，mn+1的取值見式(5).

3.2 數(shù)值解法

以下標(biāo)i表示空間坐標(biāo)，控制方程(6)在時(shí)間與空間上進(jìn)行離散，采用Lax-Friedrichs格式，截?cái)嗾`差為時(shí)間一階、空間二階精度.離散方程可表達(dá)為式(8).

由于在ρm處q不可導(dǎo)，數(shù)值計(jì)算中多少會(huì)引起q數(shù)值結(jié)果的離散.符合Kerner觀測(cè)數(shù)據(jù)在亞穩(wěn)定狀態(tài)qm處流量值離散與分裂的現(xiàn)象.

4 數(shù)值算例

模擬簡(jiǎn)單路段長(zhǎng)8 km的單向兩車道，模擬時(shí)間長(zhǎng)2 200 s，空間步長(zhǎng)10 m，時(shí)間步長(zhǎng)0.1 s;暢行速度取80 km/h，阻塞密度取200 pcu/km，臨界密度取50 pcu/km.車輛入流端為按時(shí)間步長(zhǎng)給定的密度值，出流端為無反射開邊界.使用sufer軟件繪圖，k表示密度、q表示流量、u表示速度;simulation time(s):仿真時(shí)間，section length(*10 m):仿真空間.

4.1 恒定密度輸入

路段初始密度值為40 pcu/km，低于臨界密度;入流源交通流密度波為恒定輸入80 pcu/km，高于臨界密度.由于高密度車流的輸入，隨時(shí)間推移，高密度車流將在空間上向前移動(dòng)，密度波峰面處會(huì)發(fā)生擴(kuò)散.

圖7為沒有遲滯環(huán)與同步流的退化模型的三參數(shù)計(jì)算結(jié)果，由于ρ和q一一對(duì)應(yīng)(基本圖僅由圖5中F和J線構(gòu)成)，三參數(shù)計(jì)算曲面連續(xù)光滑，與其它成果一致.由于本文退化基本圖模型在ρm處產(chǎn)生轉(zhuǎn)折，計(jì)算密度與流量曲面上也有相應(yīng)有曲面波動(dòng).由于Lax-Friedrichs格式有較強(qiáng)的頻散性，加之時(shí)間步長(zhǎng)很小，ρm處q不可導(dǎo)對(duì)計(jì)算結(jié)果的離散影響很小.

圖7 三參數(shù)時(shí)空?qǐng)D(沒有遲滯環(huán)與同步流)

考慮遲滯環(huán)與同步流，取a=0.8，b=1.6，遲滯環(huán)路徑改變速率參數(shù)β=0.01，三參數(shù)計(jì)算結(jié)果見圖8.與圖7比較，密度、流量和速度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)大體相同，車流在低密度暢行相區(qū)域三參數(shù)仍然曲面光滑.但在同步流區(qū)域三參數(shù)時(shí)空上變化更為劇烈，明顯表現(xiàn)在流量與密度在空間上更大梯度的變化.由于遲滯環(huán)效應(yīng)，高密度波向低密度擴(kuò)教過程中產(chǎn)生車流速多次的快慢脈動(dòng)(圖8(c)).同時(shí)密度、流量圖上也有起伏(圖8(a)、圖8(b)).

加大遲滯環(huán)效應(yīng)，取a=0.8，b=2.0，三參數(shù)計(jì)算結(jié)果見圖9.同步流區(qū)域三參數(shù)時(shí)空上梯度增大，由于擴(kuò)散至低密度區(qū)的原高密度流車輛因遲滯環(huán)存在而減速，使得高密度波的擴(kuò)散受到一時(shí)的阻礙，車輛被阻堵在最大流量密度ρm附近處，這種現(xiàn)象比圖8更加明顯，這也是輸入恒定高密度車流引起的.此外，車輛加速減速幅度增加(圖9(c))，也使在部分空間區(qū)域上密度在時(shí)間上時(shí)大時(shí)小，流量也有更大起伏，產(chǎn)生車流“走走停?！钡默F(xiàn)象.

圖9 三參數(shù)時(shí)空?qǐng)D(加大遲滯環(huán)效應(yīng))

4.2 孤立密度波輸入

路段初始密度值為40 pcu/km，入流交通流為40 pcu/km密度上的正弦孤立波，峰值60 pcu/km高于臨界密度.圖10為退化模型的三參數(shù)計(jì)算結(jié)果.密度在傳播過程中逐步擴(kuò)散、降低峰值(圖10(a))，部分車流段密度的下降致使低速度“溝”逐漸收窄(圖10(c)多峰形)，曲面狀態(tài)的改變緩慢光滑.

圖10 三參數(shù)時(shí)空?qǐng)D(退化模型)

考慮遲滯環(huán)效應(yīng)，取a=0.8，b=1.8，β=0.01，交通流孤立密度法輸入不變，計(jì)算的三參數(shù)時(shí)空曲線見圖11.與圖10退化模型比較，密度波的擴(kuò)散更快，密度與流量在空間分布上產(chǎn)生三個(gè)峰值(圖11(a)、圖11(b))，除了原先輸入密度峰值外，輸入密度波突然變化之處也會(huì)因密度的突然變化，使車流依據(jù)基本圖與守恒方程產(chǎn)生加減速，并形成多峰形密度和流量的傳遞波.當(dāng)密度發(fā)生較為劇烈變化時(shí)，遲滯環(huán)效應(yīng)使得交通流行為更加復(fù)雜.

圖11 三參數(shù)時(shí)空?qǐng)D(考慮遲滯環(huán)效應(yīng))

5 結(jié)論

研究結(jié)果表明，所建的包含遲滯環(huán)的均一車型交通流基本圖模型，與傳統(tǒng)的退化模型計(jì)算結(jié)果比較，計(jì)算三參數(shù)時(shí)空曲面發(fā)展趨勢(shì)一致，細(xì)節(jié)上的差異能夠合理解釋，說明模型構(gòu)建合理可信;時(shí)步流量變化模型描述了車輛中的遲滯環(huán)現(xiàn)象，同時(shí)也給出了同步流的合理解釋，它是研究混合車型車流與不同駕駛行為車輛交通流的基礎(chǔ);算例比較表明，遲滯環(huán)是誘發(fā)車流降低穩(wěn)定性的主要原因，加減速的不同路徑會(huì)引起車流“走走停停”，甚至“幽靈”塞車的“罪魁禍?zhǔn)住?遲滯環(huán)效應(yīng)越強(qiáng)烈，對(duì)穩(wěn)定交通流的干擾就越大;依據(jù)包含遲滯環(huán)的交通流基本圖模型，密度波因遲滯環(huán)而更快地?cái)U(kuò)散，這可能是交通密度波擴(kuò)散速度大大快于擴(kuò)散方程所描述的速度的原因;因?yàn)檫t滯效應(yīng)，在同步流相區(qū)間的交通流量很可能不同于退化模型所計(jì)算的流量，包含遲滯效應(yīng)的交通流比傳統(tǒng)交通流復(fù)雜很多.

真實(shí)的遲滯環(huán)現(xiàn)象很復(fù)雜，車輛、道路、駕駛?cè)藛T因素都會(huì)影響到遲滯環(huán)的形成和遲滯路徑，文中所提遲滯環(huán)是觀測(cè)數(shù)據(jù)、合理假定與邊界條件下的合理結(jié)果，仿真結(jié)果能夠解釋傳統(tǒng)模型難以解釋的交通現(xiàn)象，也能夠解釋三相交通流理論和現(xiàn)象.遲滯環(huán)研究還剛剛起步，探索交通流中的奧秘還需深入研究.

［1］LIGHTHILL M J，WHITHAM G B.On kinematic waves:Ⅱ.A theory of traffic flow on long crowded road［C］.Proceedings of the Royal Society of London，1955:317-345.

［2］PAYNE H J.Models of freeway traffic and control:Mathematics models of public systems［J］.Simulation Council Proceedings Series，1971，1(1):51-61.

［3］KüHNE R D.Microscopic freeway model for dense traffic-stop-start waves and incident detection［C］.Proceedings of the Ninth International Symposium on Transportation and Traffic Theory，1984:20-42.

［4］KEMER B S，KONHAUSER P.Structure and parameters of clusters in traffic flow［J］.Physical Review E，1994，50(1):54-83.

［5］ZHANG H M.A non-equilibrium traffic flow model devoid of gas-like behavior［J］.Transportation Research，Part B，Methodological，2002，36(5):275-290.

［6］薛郁.交通流的建模、數(shù)值模擬及其臨界相變行為的研究［D］.上海:上海大學(xué)，2002.

［7］KEMER B S.Introduction to Modern Traffic Flow Theory and Control［M］.［s.n.］:［s.l.］，2009.

［8］KEMER B S，REHBORN H.Experimental properties of complexity in traffic flow［J］.Physical Review E，1996，53(5):21-25.