杜玉琴，孫超

(1.中國(guó)青年政治學(xué)院經(jīng)濟(jì)系，北京100089;2.中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京100024)

1 預(yù)備知識(shí)

本文在文獻(xiàn)基礎(chǔ)上討論了求解非線性方程組

的Broyden方法在弱條件下的收斂性。

設(shè)f:D?RN→RN在凸區(qū)域D上二次可微，x0∈D記

我們有

Df(x0)-1存在，λ，β，γ 為給定正數(shù)，f滿足

單調(diào)遞增收斂于t*。

證明 依h(t)的定義有

即 φ(t)在［0，t*］上有意義。因

易知 φ(t)在［0，t*］上單調(diào)遞增，若0 ＜ tk＜ t*，則

用歸納法得由(3)式產(chǎn)生的迭代{tk}是一個(gè)單調(diào)遞增有界序列，令式中令 k→∞，得 φ(t-)=0，即 t-=t*，證畢。

引入記號(hào)

我們有

引理3 設(shè)0＜R ＜S＜T≤t＊＊，u，v，w∈D 滿足

如果f滿足(5)，則

2 主要結(jié)論

定理1 由于

的兩個(gè)零點(diǎn)。

證明 首先證明對(duì)于所有k，恒成立

用數(shù)學(xué)歸納法，依定理假設(shè)當(dāng)k=0時(shí)(7)成立，先假設(shè)當(dāng)時(shí)1≤k≤n，成立，有

當(dāng)k=n+1時(shí)，由{Bk}的定義，易知

利用引理2，引理3及歸納法可證

又根據(jù)迭代(3)式

于是，根據(jù)φ'(t)的單調(diào)遞增性，

另一方面

根據(jù)(8)及引理3，

由Banach定理

從而

這說(shuō)明，當(dāng)k=n+1時(shí)，(7)式仍成立。依歸納法得證。由引理1知，{xn}是一個(gè)柯西序列，設(shè)其極限為x*，(9)式中令 n→∞，得

依(7)式，可推得

則由φ(t)在區(qū)間［0，t＊＊)中的單調(diào)及向下的凸性質(zhì)，用歸納法可證:

仿照(9)式可得

進(jìn)一步有

事實(shí)上，令w＞0，則函數(shù)φw(t)=wh0(t)+wblt-t+β的較小零點(diǎn)隨w的增加而增加，w最多增加到，使得φw-(t)恰有唯一零點(diǎn)，此時(shí)φw-(t)的駐點(diǎn)(t)也是φw-(t)的零點(diǎn)，即滿足φw-)=0及

若取

于是

歸納即得(14)式對(duì)一切k≥0恒成立，改寫(xiě)(14)為如下形式

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