倪小軍，馬宏昊，沈兆武，李 磊

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，安徽 合肥 230026）

泡沫鋁材料具有優(yōu)良的減震、吸能、抗沖擊等性能，被廣泛應(yīng)用于各類結(jié)構(gòu)物的抗爆耐沖擊防護(hù)工程。隨著數(shù)值計(jì)算技術(shù)的發(fā)展和不斷完善，它已成為泡沫鋁材料研究的一個(gè)重要手段。目前，已有一些描述泡沫鋁在高速?zèng)_擊和爆炸荷載下沖擊特性的模型［1］。其中，使用比較廣泛的是Crushable－Foam模型。S.Pattofatto等［2］基于該模型模擬了泡沫鋁的沖擊特性。而對(duì)基于流體彈塑性模型的材料和結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，尤其是高速?zèng)_擊和爆炸載荷問(wèn)題，已有了大量的工作［3－5］。由于泡沫鋁材料在爆炸沖擊防護(hù)設(shè)計(jì)中的重要作用，進(jìn)一步研究泡沫鋁材料的沖擊特性就顯得尤為重要。

本文中，采用流體彈塑性模型表征泡沫材料的沖擊特性，并基于有限差分法，編寫多介質(zhì)（泡沫鋁、炸藥、水和空氣）計(jì)算程序。通過(guò)將所編計(jì)算程序的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)、理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證計(jì)算程序的可靠性，初步研究泡沫鋁密度、環(huán)境介質(zhì)對(duì)泡沫鋁材料沖擊特性的影響。

1 計(jì)算模型和參數(shù)

1.1 流體彈塑性模型

1.1.1 基本控制方程

一維柱對(duì)稱流體彈塑性Lagrange格式的動(dòng)量、質(zhì)量和能量方程如下［6－7］：

式中：u、m、v、r、p、e分別為速度、質(zhì)量、比容、Lagrange坐標(biāo)、壓力、內(nèi)能；s1、s2為偏應(yīng)力；ε1、ε2為應(yīng)變；q為人工黏性。

1.1.2 人工黏性

人工黏性的計(jì)算公式［7］為

式中：C1＝2，C2＝0.8。

1.1.3 炸藥爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程

采用燃燒函數(shù)F聯(lián)結(jié)凝固炸藥和爆炸產(chǎn)物的狀態(tài)方程［8］，炸藥及其爆炸產(chǎn)物狀態(tài)方程為

1.1.4 材料狀態(tài)方程

泡沫鋁的狀態(tài)方程［9］為：

式中：c0、λ0為 Hugoniot參數(shù)；γ0是Grüneisen系數(shù)；cV是定容比熱；β是線膨脹系數(shù)。

水的狀態(tài)方程［10］為

式中：μ＝ρ／ρ0－1，為水的體積壓縮比，β1＝2.56GPa，β2＝5.53GPa，β3＝5.55GPa。

空氣的狀體方程［8］采用理想氣體方程，其中空氣的絕熱指數(shù)γ＝1.4。

1.1.5 偏應(yīng)力

泡沫鋁的屈服準(zhǔn)則采用Von－Mises屈服準(zhǔn)則，泡沫鋁的偏應(yīng)力增量可按彈性區(qū)和塑性區(qū)分別計(jì)算。在彈性區(qū)，有

1.2 孔隙材料沖擊絕熱參數(shù)

基于孔穴塌縮能量理論，孔隙材料沖擊絕熱線的計(jì)算方程［11］如下：

式中：pH＝ρsusup，ρs、us和up分別為密實(shí)材料的密度、沖擊波速度和粒子速度；ρ00、uD和u 分別為孔隙材料的初始密度、沖擊波速度和粒子速度。其中，密實(shí)材料的us和up關(guān)系式為

式中：cs0、λs0為密實(shí)材料的Hugoniot參數(shù)。

材料的Grüneisen系數(shù)γ與材料的Hugoniot參數(shù)λ有近似關(guān)系［11］

1.3 材料參數(shù)

炸藥采用PETN，ρ＝0.88g／cm3，D＝5.17km／s，pH＝6.2GPa，γ＝2.5。L.J.Gibson等［12］認(rèn)為泡沫材料的熱膨脹系數(shù)β和定容比熱cV與制備它們所用的固體材料近似相等，則各密度泡沫鋁β≈23.1×10－6K－1，cV≈850mJ／（g·K）［13］。純鋁的沖擊波絕熱參數(shù)分別為c0＝5.328km／s，λ0＝1.34，γ0＝2.18［13］。若給定沖擊波壓力pH，則可以根據(jù)式（11）～（13）計(jì)算各密度泡沫鋁的沖擊波速度uD和粒子速度u。通過(guò)線性擬合uD和u，可得出泡沫鋁的 Hugoniot參數(shù)c0、λ。若λ已知，則可根據(jù)式（14）計(jì)算 Grüneisen系數(shù)γ，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。不同密度泡沫的剪切模量G和屈服應(yīng)力Y通過(guò)MTS材料試驗(yàn)機(jī)測(cè)試獲得，測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 泡沫鋁材料參數(shù)Table1 Material parameters for Al foam

2 數(shù)值計(jì)算程序的驗(yàn)證

為求解本文中一維柱對(duì)稱流體彈塑性模型方程組，編制數(shù)值計(jì)算程序?qū)ι鲜龇匠探M進(jìn)行數(shù)值求解。其中，計(jì)算格式采用具有二階精度的交叉格式中心差分法，網(wǎng)格使用均勻Lagrange網(wǎng)格。為了驗(yàn)證程序的可靠性，對(duì)以下2個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算。

2.1 接觸爆炸界面的壓力與速度

以PETN分別與水和泡沫鋁的接觸爆炸為例，用所編寫的程序計(jì)算其界面的壓力和速度。不同界面的壓力和速度峰值的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

炸藥和接觸介質(zhì)中沖擊波壓力p與質(zhì)點(diǎn)速度u［14］分別為：

式中：D、pH、γ分別為爆轟波的爆速、CJ壓力和多方指數(shù)；ρ、c0、λ分別為與炸藥接觸介質(zhì)的密度、零壓聲速和常數(shù)?？紤]到炸藥和接觸介質(zhì)界面的速度和壓力具有連續(xù)性，聯(lián)立式（15）～（16）可計(jì)算PETN－水界面、PETN－泡沫鋁界面的速度和壓力，理論解結(jié)果見(jiàn)表2。

由表2可知，界面的壓力和速度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解良好符合。

表2 界面的沖擊波速度和壓力Table2 Velocities and pressures of shock wave at the interface

2.2 PETN藥柱在泡沫鋁包裹下水下爆炸的壓力場(chǎng)

以包裹不同壁厚泡沫鋁的PETN藥柱水中爆炸為例，具體參數(shù)和實(shí)驗(yàn)工況見(jiàn)文獻(xiàn)［15］。其中，PETN的密度為0.88g／cm3，裝藥半徑為0.35cm，泡沫鋁密度為0.48g／cm3，壁厚分別為1.15和2.15cm。距離藥柱50cm處的壓力實(shí)測(cè)值見(jiàn)表3。

表3 距離藥柱50cm處的壓力Table3 Pressures at 50cm from the grain

用所編寫的程序計(jì)算沿炸藥徑向水中爆炸的壓力分布，見(jiàn)圖1。其中距離藥柱50cm處的壓力計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

由表3可知，距離藥柱50cm處壓力的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果良好吻合。

圖1 經(jīng)泡沫鋁后水中不同位置的壓力Fig.1 Pressures through the Al foams

由以上2個(gè)例子可見(jiàn)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解、實(shí)驗(yàn)結(jié)果均良好符合。這驗(yàn)證了程序的可靠性、基于流體彈塑性模型對(duì)泡沫鋁材料沖擊特性表征的可行性。

3 數(shù)值計(jì)算與討論

3.1 泡沫鋁密度對(duì)其沖擊特性的影響

圖2 藥柱和泡沫鋁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure scheme on grain and Al foam

藥柱和泡沫鋁的結(jié)構(gòu)如圖2所示，泡沫鋁密度分別為0.27、0.35和0.48g／cm3，泡沫鋁圓柱殼內(nèi)徑0.7cm，外徑24cm。用所編的程序進(jìn)行數(shù)值求解，PETN與泡沫鋁界面的壓力如圖3所示。對(duì)界面的壓力時(shí)程曲線積分，可獲得沖量時(shí)程曲線（見(jiàn)圖4），沖量的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。泡沫鋁徑向峰值壓力分布的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

表4 沖擊波參數(shù)的計(jì)算結(jié)果Table4 The calculation results of shock wave parameters

圖3 界面的壓力Fig.3 The pressures at the interfaces

圖4 界面處的沖量Fig.4 The impulses at the interfaces

圖5 峰值壓力隨距離的變化Fig.5 The peak pressures versus distances

由圖3～4和表4可以看出，在同等裝藥條件下，隨著泡沫鋁密度的增加，炸藥爆炸傳遞給泡沫鋁的壓力峰值和沖量也增加，而作用時(shí)間減少。這是因?yàn)椋?種密度的泡沫鋁材料中，密度0.48g／cm3泡沫鋁的波阻抗與炸藥波阻抗最接近，0.35g／cm3的次之，0.27g／cm3的差距最大，則炸藥透射各密度泡沫鋁中的沖擊波壓力，由大到小對(duì)應(yīng)的泡沫鋁密度為0.48、0.35和0.27g／cm3。所以，對(duì)于高密度的泡沫鋁，炸藥能量能更快地傳遞給泡沫鋁，炸藥能量衰減得更快，即在同樣裝藥條件下，高密度泡沫鋁與低密度泡沫鋁相比，爆炸加載有效作用時(shí)間較短。

3.2 環(huán)境介質(zhì)對(duì)泡沫鋁沖擊特性的影響

藥柱、泡沫鋁和環(huán)境介質(zhì)的結(jié)構(gòu)如圖6所示。炸藥和泡沫鋁的密度分別為0.88和0.48g／cm3，外徑分別為0.35和3.50cm，水和空氣層的厚度均為4.5cm。圖7給出了泡沫鋁及其鄰近介質(zhì)中的壓力峰值分布的計(jì)算結(jié)果。由圖7可以看出，在相同的爆炸加載條件下，泡沫鋁與空氣界面的壓力明顯比泡沫鋁與水界面的壓力小，而內(nèi)側(cè)壓力則基本一致。其中，鄰近空氣界面的泡沫鋁，其峰值壓力隨距離的增加而遞減；而鄰近水界面的泡沫鋁，其峰值壓力隨距離的增加而變化趨緩，甚至出現(xiàn)峰值壓力升高的現(xiàn)象。由于空氣的波阻抗小于泡沫鋁，則沖擊波在空氣界面反射回泡沫鋁中的波為稀疏波，進(jìn)一步削弱沖擊波壓力；而水的波阻抗大于泡沫鋁，則經(jīng)水界面反射回泡沫鋁的波為沖擊波，增強(qiáng)了沖擊波壓力。由此可知，泡沫鋁柱殼鄰近介質(zhì)對(duì)殼體外側(cè)壓力分布影響很大，而對(duì)殼體內(nèi)側(cè)壓力分布影響很小。

圖6 水或空氣中藥柱和泡沫鋁的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Structure scheme on grain and Al foam in water or air

圖7 水或空氣中泡沫鋁峰值壓力分布Fig.7 Pressures of Al foams in water or air

4 結(jié) 論

采用Lagrange方法描述一維流體彈塑性動(dòng)力學(xué)方程，建立了一維柱對(duì)稱數(shù)值模型。泡沫鋁材料采用流體彈塑性本構(gòu)模型。編寫程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，重點(diǎn)討論了泡沫鋁沖擊特性表征的正確性和程序的可靠性，以及泡沫鋁密度、環(huán)境介質(zhì)對(duì)泡沫鋁沖擊特性的影響。通過(guò)對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析，表明：

（1）數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解、實(shí)驗(yàn)結(jié)果均良好吻合，驗(yàn)證了流體彈塑性模型表征泡沫鋁材料沖擊特性的正確性及程序的可靠性。

（2）在同等裝藥條件下，隨著泡沫鋁密度的增加，炸藥爆炸傳遞給泡沫鋁的初始?jí)毫蜎_量增加，持續(xù)作用時(shí)間減少。從壓力衰減的角度來(lái)看，低密度泡沫鋁的衰減效果優(yōu)于高密度泡沫鋁。

（3）在爆炸載荷作用下，泡沫鋁柱殼外側(cè)鄰近介質(zhì)對(duì)殼體外側(cè)附近區(qū)域內(nèi)的壓力分布影響很大，而對(duì)殼體內(nèi)側(cè)壓力分布影響很小。

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