路 亮，龍 源，謝全民，2，李興華，紀(jì) 沖，趙長(zhǎng)嘯

（1.解放軍理工大學(xué)工程兵工程學(xué)院，江蘇 南京 210007；2.武漢軍械士官學(xué)校彈藥修理與銷毀教研室，湖北 武漢 430075）

隨著掘進(jìn)爆破技術(shù)在城市隧道開(kāi)挖中的大力開(kāi)發(fā)和利用，爆破施工對(duì)既有相鄰隧道結(jié)構(gòu)和設(shè)施的安全影響也逐漸成為人們?nèi)找骊P(guān)注的問(wèn)題，其中爆破產(chǎn)生的地震效應(yīng)是對(duì)隧道結(jié)構(gòu)安全最具威脅的危害之一。為最大限度地降低爆破地震效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)施等可能帶來(lái)的影響，必須解決好對(duì)爆破振動(dòng)特征的認(rèn)識(shí)、結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)和結(jié)構(gòu)破壞或損傷的判定等方面的問(wèn)題［1－2］，其中，對(duì)爆破振動(dòng)特征的認(rèn)識(shí)是解決爆破地震危害效應(yīng)的基礎(chǔ)，因此，對(duì)爆破振動(dòng)特征的研究具有非常重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。

爆破振動(dòng)本質(zhì)上是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，而振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)復(fù)雜的巖土介質(zhì)傳播后，往往摻雜著各種頻率成分的干擾波，因此，建立在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)上的傅里葉變換方法無(wú)法準(zhǔn)確提取和分析信號(hào)的振動(dòng)特征［3］。近年來(lái)，小波變換以其良好的時(shí)頻局部化特性，為爆破振動(dòng)特征的提取和分析提供了一條有效的途徑［4－5］。然而，小波方法由于不能根據(jù)振動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)選取適應(yīng)的小波基來(lái)準(zhǔn)確識(shí)別振動(dòng)信號(hào)特征，致使經(jīng)典（一代）小波在爆破振動(dòng)信號(hào)的特征提取和分析方面存在局限。

提升算法（lifting scheme）是一種二代小波構(gòu)造方法，它在繼承了經(jīng)典小波變換多分辨率特性的基礎(chǔ)上，通過(guò)選擇不同的提升算子來(lái)改變小波濾波器的特性，得到不同性質(zhì)的雙正交小波，使小波的設(shè)計(jì)具有更大的靈活性。根據(jù)工程應(yīng)用的需要，通過(guò)提升方法可獲得具有某種希望特性的小波，從而構(gòu)造出與信號(hào)特性更加匹配的小波濾波器組［6－9］。本文中將以提升算法為基礎(chǔ)，依據(jù)小波包變換的思想，對(duì)信號(hào)中的細(xì)節(jié)分量進(jìn)一步分解，實(shí)現(xiàn)對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)的提升小波包 （second generation wavelet packet，SGWP）變換，進(jìn)而能夠準(zhǔn)確地提取爆破地震波中不同頻帶下的振動(dòng)分量，研究各頻帶下爆破地震波能量的分布特征，更好地揭示爆炸應(yīng)力波的傳播及衰減規(guī)律，為深入研究城市隧道結(jié)構(gòu)在爆破地震效應(yīng)下的振動(dòng)響應(yīng)提供依據(jù)。

1 提升算法

提升算法的分解過(guò)程可歸納為［8］：

（1）分裂。將信號(hào)X 分為偶序列Xe和奇序列Xo。

（2）預(yù)測(cè)。用相鄰的偶序列Xe和預(yù)測(cè)器P估計(jì)信號(hào)的奇序列Xo，并將估計(jì)誤差d作為信號(hào)的細(xì)節(jié)分量，反映了信號(hào)中的高頻成分

（3）更新。用細(xì)節(jié)分量d和更新器U，更新偶序列Xe以獲得信號(hào)的逼近分量c，代表了信號(hào)中的低頻成分

提升算法的重構(gòu)過(guò)程為分解過(guò)程的逆運(yùn)算，可直接由分解過(guò)程得到，重構(gòu)過(guò)程的預(yù)測(cè)器P和更新器U與分解過(guò)程相同。

2 基于提升小波包分解算法的爆破振動(dòng)信號(hào)頻帶能量表征

2.1 提升小波包分解算法關(guān)鍵技術(shù)

2.1.1 小波基的選擇

小波基的選擇是用小波包方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)必須要考慮的問(wèn)題，因?yàn)椴煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)信號(hào)會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波包分析時(shí)，小波基函數(shù)的選擇一般要遵循具有緊支撐性、對(duì)稱性和光滑性的原則。

在提升算法框架下，采用插值細(xì)分原理［10］設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)器和更新器，可獲得雙正交小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)，一般記這種小波為二代小波（second generation wavelet），記為SGW（N，N～），其中 N、N～分別為小波的預(yù)測(cè)器和更新器個(gè)數(shù)。這種小波是對(duì)稱的、緊支撐的，并且具有沖擊衰減形狀［8，11］，能較好地與爆破振動(dòng)信號(hào)相匹配，從而可有效抑制變換時(shí)振動(dòng)信號(hào)的相位失真。

圖1 插值細(xì)分示意圖Fig.1 Sketch of interpolation subdivision

2.1.2 基于插值細(xì)分的二代小波的構(gòu)造

插值細(xì)分的本質(zhì)是在原始樣本的基礎(chǔ)上采用多項(xiàng)式插值方法來(lái)獲得新的樣本值，即當(dāng)位于2個(gè)相鄰樣本中間位置的插值點(diǎn)已知時(shí)，若插值多項(xiàng)式確定即可求出新的樣本值，因此，預(yù)測(cè)器系數(shù)可以通過(guò)插值多項(xiàng)式來(lái)確定。插值細(xì)分示意圖如圖1所示。

根據(jù)Lagrange插值定理［12］，已知N＋1個(gè)點(diǎn)x0，x1，…，xN的函數(shù)值為y0，y1，…，yN，且 yi＝f（xi），i＝0，…，N，則存在唯一一個(gè)次數(shù)不大于N的多項(xiàng)式 Ln（x），使得 Ln（xi）＝f（xi），那 么

對(duì)于一個(gè)已知的插值點(diǎn)x，Ln，i（x）是常數(shù)，它與函數(shù)值yi無(wú)關(guān)，插值點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是已知的N＋1個(gè)函數(shù)值y0，y1，…，yN的線性組合。令Pi＝Ln，i（x），x處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y，則該式說(shuō)明新的函數(shù)值是由已知的一組函數(shù)值預(yù)測(cè)得到的，當(dāng)x0，x1，…，xN和x確定后，｛Pi｝是唯一的，且∑Pi＝1。

每一次細(xì)分時(shí)，取 N（N＝2D，D 為正整數(shù)）個(gè)已知的樣本yj，k－D＋1，…，yj，k，…，yj，k＋D，假設(shè)這些樣本是等時(shí)間間隔采樣的，它們對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)刻分別為xk＋1，xk＋2，…，xk＋N，其中xk為任意的起始時(shí)間，細(xì)分產(chǎn)生的新的采樣值處于這些已知樣本的中間位置。插值點(diǎn)為：x＝xk＋（N＋1）／2，這樣預(yù)測(cè)系數(shù)可由式Ln，i（x）確定，即

根據(jù)式（3）即可求得幾種二代小波的預(yù)測(cè)器系數(shù)，如表1所示。

表1 預(yù)測(cè)器系數(shù)Table1 Predict coefficient of second generation wavelets

文獻(xiàn)［9，13］中指出更新器系數(shù)為預(yù)測(cè)器系數(shù)的一半，因此，當(dāng)更新器系數(shù)的個(gè)數(shù)確定后，便可根據(jù)預(yù)測(cè)器的系數(shù)來(lái)確定更新器的系數(shù)。

預(yù)測(cè)器P和更新器U確定后，分別根據(jù)式（1）、（2）經(jīng)過(guò)迭代運(yùn)算后即可生成尺度函數(shù)φ（x）與小波函數(shù)φ（x）。圖2為經(jīng)過(guò)10次迭代后生成的SGW（6，6）的尺度函數(shù)圖和小波函數(shù)圖。

圖2 SGW（6，6）的尺度函數(shù)與小波函數(shù)Fig.2 Scaling function and wavelet function of SGW（6，6）

從圖2中可以看出，SGW（6，6）很好地滿足了小波基選擇必須遵循的原則，具有良好的對(duì)稱性和緊支撐性，且具有沖擊衰減形狀。文獻(xiàn)［8，11，14］中指出，當(dāng) N和較小時(shí)，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的支撐區(qū)間較??；反之，支撐區(qū)間較大。一般支撐區(qū)間小的小波函數(shù)適合處理非平穩(wěn)信號(hào)，小波系數(shù)能夠有效地描述信號(hào)的瞬態(tài)分量，而支撐區(qū)間大且連續(xù)較好的小波適合于描述穩(wěn)態(tài)信號(hào)。因此，本文中將采用SGW（6，6）作為提升小波包變換的小波基。

2.1.3 提升小波包變換的移頻算法

小波包分解逐層隔點(diǎn)采樣時(shí)，采樣率會(huì)降低1／2。當(dāng)采樣頻率低于奈奎斯特（Nyquist）頻率時(shí)，高頻信號(hào)會(huì)發(fā)生頻率折疊，對(duì)其繼續(xù)分解會(huì)造成頻率混疊現(xiàn)象。文獻(xiàn)［15－16］中根據(jù)混頻的原因提出了一種移頻算法，其原理為：將高頻成分進(jìn)行移頻處理，使其所含的最高頻率低于1／2奈奎斯特頻率，以避免頻率折疊。根據(jù)傅里葉變換的移頻特性，要使信號(hào)x（t）的傅里葉變換x＾（t）頻率降低f0，只需將x（t）乘上eiπf0t；設(shè)信號(hào)的采樣頻率為fs，則其最高分析頻率為fs／2，由于隔點(diǎn)采樣，小波包分解到第j層，采樣頻率將為2－jfs，最高分析頻率將為2－j－1fs，則高頻小波包分解系數(shù)應(yīng)移頻2－j－1fs。

以一段模擬信號(hào)為例，信號(hào)的波形及時(shí)頻圖如圖3所示。選取SGW（6，6），按照提升小波包分解算法，分別采用移頻和不移頻算法對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行2層分解，分解后第2層的節(jié)點(diǎn)系數(shù)如圖4所示。

圖3 模擬信號(hào)波形曲線及三維時(shí)頻圖Fig.3 Wave curve and time－frequency map of simulated signal

由圖4可知，兩種分解算法得到不同的分解結(jié)果，為說(shuō)明移頻算法的合理性，選取（2，0）節(jié)點(diǎn)的小波包分解系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，即將其余節(jié)點(diǎn)的系數(shù)置零，按照提升算法重構(gòu)過(guò)程進(jìn)行小波包重構(gòu)。單支重構(gòu)后的信號(hào)如圖5（a）所示。

對(duì)利用節(jié)點(diǎn)（2，0）單支重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換［17］，得到如圖5（b）所示的時(shí)頻圖。對(duì)比后可知，采用移頻算法的提升小波包變換可以將原信號(hào)按頻帶精確劃分，重構(gòu)后的信號(hào)僅包含0～128Hz的成分；而采用不移頻算法重構(gòu)的信號(hào)，由于混頻現(xiàn)象致使不能對(duì)原信號(hào)按頻帶準(zhǔn)確劃分，分解結(jié)果存在頻率失真。

圖4 移頻與不移頻分解結(jié)果對(duì)比Fig.4 Decomposition results with frequency－shift and no frequency－shift

圖5 節(jié)點(diǎn)（2，0）單支重構(gòu)結(jié)果Fig.5 The signal－branch reconstruction result of node（2，0）

2.2 爆破振動(dòng)信號(hào)各頻帶能量表征

信號(hào)s經(jīng)提升小波包i層分解后，可以得到2i個(gè)頻帶上的子空間信號(hào)，則s可由這些子空間的正交和表示，即

式中：fi，j為爆破振動(dòng)信號(hào)小波包分解到第i層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)上的重構(gòu)信號(hào)。若s的最低頻率為1，最高頻率為ω，則第i層每個(gè)頻帶的頻率寬度為ω／2i。

根據(jù)Parseval定理［18］，由式（4）可得爆破振動(dòng)信號(hào)的能量譜為

式中：m 為爆破振動(dòng)信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)，xj，k（j＝0，1，2，…，2i－1，k＝1，2，…，m）為重構(gòu)信號(hào)fi，j的幅值，Ei，j為爆破振動(dòng)信號(hào)分解到第i層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻帶能量。

由式（5）可知，信號(hào)s的總能量為

信號(hào)分解到第i層時(shí)，各頻帶能量占總能量的百分比為

由式（4）～（5）可知，爆破振動(dòng)信號(hào)由提升小波包分解成不同頻帶的振動(dòng)分量，從而能反映頻率在爆破振動(dòng)時(shí)的影響，且頻帶能量又能同時(shí)反映該頻帶爆破振動(dòng)分量的強(qiáng)度和作用時(shí)間。因此，在此基礎(chǔ)上獲得的頻帶能量能同時(shí)反映爆破振動(dòng)信號(hào)強(qiáng)度、頻率及作用時(shí)間的共同作用影響［19］。

3 基于SGWP算法的爆破振動(dòng)信號(hào)能量分布特征

3.1 振動(dòng)測(cè)試

圖6 實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的時(shí)程曲線Fig.6 Time－h(huán)istory curve of measured vibration signal

圖6為結(jié)合某城市隧道開(kāi)挖工程采集的一段爆破振動(dòng)波形。本次實(shí)驗(yàn)采用EXP－4850型爆破振動(dòng)測(cè)試儀，其最小工作頻率為1Hz。因此，儀器的頻率響應(yīng)性能完全滿足信號(hào)的測(cè)量要求。

3.2 爆破振動(dòng)信號(hào)的提升小波包分解

選用2.1.2節(jié)構(gòu)造的SGW（6，6）作為小波基，按照提升算法，對(duì)爆破振動(dòng)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行5層小波包分解，分解結(jié)果見(jiàn)圖7。根據(jù)式（5）編寫計(jì)算程序，可將前16節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的不同頻帶內(nèi)的能量值列于表2中，圖8為按照式（6）～（7）求得各頻帶內(nèi)的能量百分比分布，通過(guò)該圖可直觀比較振動(dòng)信號(hào)中的能量分布情況。

表2 主要頻帶能量分布表Table2 Energy distribution of main frequency band

圖7 提升小波包分解結(jié)果Fig.7 Decomposition result of lifting wavelet packet

圖8 爆破振動(dòng)信號(hào)不同頻帶能量百分比分布Fig.8 The percentage of energy for blasting vibration signal in different frequency bands

3.3 爆破振動(dòng)信號(hào)不同頻帶能量分布規(guī)律

從表2、圖8中可以看出，信號(hào)在0～256Hz間的能量占到總能量的99.4%，表明所選爆破振動(dòng)信號(hào)的能量在頻域范圍內(nèi)雖然分布較廣，但大多數(shù)集中在0～256Hz之間。

信號(hào)中頻率在256Hz以上的能量在總能量中的所占比例只有0.6%，說(shuō)明隨著雷管段數(shù)的增加和振動(dòng)作用時(shí)間的延長(zhǎng)，信號(hào)中高頻成分所占比例減少，能量更加集中在主振頻帶附近。

（3）通過(guò)表2可知，信號(hào)在其頻域中除含有一個(gè)主振頻帶外，還存在多個(gè)子頻帶，子頻帶中又有各自主頻且能量分布很不均勻，直接反映在爆破振動(dòng)信號(hào)中出現(xiàn)多個(gè)峰值。由此可見(jiàn)，在爆破振動(dòng)安全判據(jù)中，只參考單個(gè)主振頻率有欠準(zhǔn)確，而應(yīng)將多主頻的影響考慮進(jìn)去。

圖9 重構(gòu)信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)的相對(duì)誤差Fig.9 Relative error of reconstruction and measurement signal

3.4 SGWP算法有效性檢驗(yàn)

依據(jù)SGWP分解算法逆運(yùn)算對(duì)圖8中的各節(jié)點(diǎn)系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)的相對(duì)誤差ε如圖9所示。從中可以看出，重構(gòu)信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)的誤差ε量級(jí)均在10－6以上，對(duì)工程分析、計(jì)算的影響可忽略不計(jì)。因此，本文中用SGWP算法對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行信號(hào)分解的過(guò)程中，信號(hào)的能量損失可忽略不計(jì)，因此本文中所用的分析方法是有效的，可以保證真實(shí)反應(yīng)爆破振動(dòng)信號(hào)中的能量分布情況。

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)小波包變換具有多分辨率分析的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)設(shè)計(jì)基于插值細(xì)分的二代提升小波基，實(shí)現(xiàn)對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)的提升小波包分解，較好地解決了變換時(shí)振動(dòng)信號(hào)的相位失真；

（2）針對(duì)信號(hào)經(jīng)小波包分解采樣率會(huì)降低的特點(diǎn)，通過(guò)引入移頻算法，有效避免了采樣頻率低于Nyquist頻率時(shí)，高頻信號(hào)頻率發(fā)生折疊造成的頻率混疊現(xiàn)象，通過(guò)模擬信號(hào)的單支重構(gòu)證明了移頻算法的合理性；

（3）依據(jù)提升小波包分解算法，通過(guò)將爆破振動(dòng)信號(hào)分解到不同頻帶上，可以對(duì)不同頻率范圍內(nèi)振動(dòng)分量的時(shí)間變化規(guī)律加以分析，以給出爆破振動(dòng)信號(hào)的時(shí)－頻分布特征，為爆破振動(dòng)研究提供了新的分析手段；

（4）實(shí)測(cè)信號(hào)的能量特征研究表明，基于提升小波包算法的能量特征分析方法可以很好地與爆破振動(dòng)等非平穩(wěn)信號(hào)相匹配，不僅能準(zhǔn)確地了解爆破振動(dòng)信號(hào)的能量－頻率分布，還可以給出不同頻帶上的振動(dòng)分量分布和時(shí)間衰減規(guī)律，為指導(dǎo)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)和工程爆破監(jiān)測(cè)提供分析依據(jù)。

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