吳鶴翔，劉 穎

（北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院力學(xué)系，北京 100044）

隨著蜂窩材料在防護(hù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，一些關(guān)鍵性的問題的解決，如沖擊初始應(yīng)力峰值的抑制和沖擊應(yīng)力強(qiáng)化的控制等，對蜂窩材料的性能設(shè)計(jì)提出了進(jìn)一步的要求。沖擊過程中材料內(nèi)的應(yīng)力分布和能量吸收過程的控制成為蜂窩材料性能設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一。

蜂窩材料的動(dòng)力學(xué)性能與其相對密度密切相關(guān)，對于質(zhì)量一定的蜂窩材料，改變密度在空間的排布為實(shí)現(xiàn)材料的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)控制提供了可能。如何根據(jù)使用要求來設(shè)計(jì)密度的空間分布成為梯度蜂窩材料設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題［1－2］。劉穎和張新春等［3－6］基于功能梯度的概念，建立了密度梯度蜂窩材料模型，通過改變單胞的幾何尺寸來控制材料的密度梯度排布；在此基礎(chǔ)上，基于一維應(yīng)力波理論，建立了一定密度梯度下，梯度排布與沖擊速度之間的關(guān)系。但是，對于質(zhì)量一定的蜂窩材料，在相同密度排布的基礎(chǔ)上，密度梯度的大小對材料動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響并未深入討論，而這對于材料密度梯度的優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分重要的。

本文中，通過改變密度梯度的大小，討論密度梯度的變化對材料能量吸收特性的影響，以期進(jìn)一步完善蜂窩材料的密度梯度設(shè)計(jì)理論。

1 計(jì)算模型

密度梯度圓環(huán)蜂窩材料的計(jì)算模型如圖1所示。試件由4層具有不同壁厚但是相同外徑的圓環(huán)組成，每層包括5排相同的圓環(huán)。通過改變不同層圓環(huán)的壁厚可控制蜂窩材料的密度梯度。計(jì)算模型的層數(shù)和每層中圓環(huán)的數(shù)量、圓環(huán)的半徑和厚度均可根據(jù)實(shí)際工程中的需要設(shè)計(jì)。

基于圖1所示的計(jì)算模型，采用顯式動(dòng)力學(xué)有限元軟件LS－DYNA［7］對面內(nèi)沖擊動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性進(jìn)行研究。如圖1所示，蜂窩試件置于底端固定剛性板上，試件兩側(cè)自由。頂端剛性板以某一初始速度沿y方向運(yùn)動(dòng)。為保證試件處于平面應(yīng)變狀態(tài)，在計(jì)算過程中，約束所有節(jié)點(diǎn)沿z方向的位移。通過收斂性分析，每個(gè)圓環(huán)選用32個(gè)shell 163單元（4節(jié)點(diǎn)四邊形殼單元）進(jìn)行離散，沿殼厚度方向取5個(gè)積分點(diǎn)以保證計(jì)算精度。在壓縮過程中，所有可能接觸的表面均定義為自由接觸表面。剛性板與蜂窩試件的外表面光滑接觸無摩擦。圓環(huán)的基體材料為鋁，采用理想彈塑性模型。主要材料參數(shù)為：密度ρs＝2.7g／m3，楊氏模量Es＝69GPa，泊松比μ＝0.3，屈服強(qiáng)度σys＝76MPa。試件的尺寸為L1×L2＝2n1R×2n2R，其中R 為圓環(huán)的外半徑，n1和n2分別表示沿x和y方向圓環(huán)的數(shù)量。為了消除尺寸效應(yīng)［8］，取n1＝10，n2＝20，R＝5mm。此時(shí)，蜂窩材料的相對密度為

圖1 密度梯度圓環(huán)蜂窩材料計(jì)算模型示意圖Fig.1 Calculating model of the density graded circular honeycomb

式中：ρ＊表示蜂窩材料的密度，N 為圓環(huán)總數(shù)，hi為第i個(gè)圓環(huán)的壁厚。

基于2種梯度排布方式（其他梯度排布方式的影響參考文獻(xiàn)［5］），即從沖擊端到固定端各層圓環(huán)相對密度遞增排布以及各層圓環(huán)相對密度遞減排布，討論3種梯度大小的密度梯度蜂窩材料（記為GⅠ、GⅡ和GⅢ，材料相對密度保持不變）的面內(nèi)沖擊性能。1～4層圓環(huán)對應(yīng)的壁厚分別為：GⅠ：0.39、0.46、0.54、0.61mm；GⅡ：0.31、0.44、0.56、0.69mm；GⅢ：0.24、0.41、0.59、0.76mm。另外，為了進(jìn)行參考，文中還同時(shí)給出了具有相同相對密度的均勻圓環(huán)蜂窩材料（記為G0）的響應(yīng)特性（此時(shí)圓環(huán)壁厚均為0.5mm）。

2 計(jì)算結(jié)果和分析

2.1 均勻圓環(huán)蜂窩材料的響應(yīng)特性

如圖1所示，當(dāng)所有圓環(huán)的壁厚相同時(shí)，即為均勻圓環(huán)蜂窩材料。圖2給出了不同沖擊速度下均勻圓環(huán)蜂窩材料的平臺(tái)應(yīng)力值。這里，平臺(tái)應(yīng)力

式中：εcr是與準(zhǔn)靜態(tài)塑性坍塌應(yīng)力σcr對應(yīng)的應(yīng)變值，εD為致密化應(yīng)變。

基于一維沖擊波理論，P.J.Tan等［9－10］和S.R.Reid等［11］建立了均勻多孔材料平臺(tái)應(yīng)力與沖擊速度之間的關(guān)系，即

式中：v為沖擊端剛性板的沖擊速度。這里將此公式推廣到圓環(huán)蜂窩材料。參考文獻(xiàn)［12］，致密化應(yīng)變?chǔ)臘和σcr分別為

式中：h為圓環(huán)壁厚。將方程（4）～（5）代入方程（3）中，不同沖擊速度下，均勻圓環(huán)蜂窩材料的平臺(tái)應(yīng)力

根據(jù)方程（6），不同沖擊速度下均勻圓環(huán)蜂窩材料平臺(tái)應(yīng)力的理論值如圖2中實(shí)線所示。比較計(jì)算結(jié)果和理論結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，二者吻合較好。

2.2 密度梯度圓環(huán)蜂窩材料的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

文獻(xiàn)［3－6］中已經(jīng)對不同梯度排布下蜂窩材料的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了討論，由于篇幅限制，圖3僅給出不同沖擊速度下，從沖擊端到固定端密度遞增情況下試件沖擊端的名義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線和從沖擊端到固定端密度遞減情況下試件固定端的名義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線。這里名義應(yīng)力定義為剛性板反力與試件初始橫截面面積（L2×1mm）之比，名義應(yīng)變定義為試件的壓縮量與其初始長度L1之比。

圖2 不同沖擊速度條件下均勻圓環(huán)蜂窩材料的平臺(tái)應(yīng)力值Fig.2 Plateau stresses with respect to the impact velocity at the impact end for the uniform circular honeycombs

如圖3所示，在低速?zèng)_擊下，與均勻圓環(huán)蜂窩材料相同，沖擊端應(yīng)力隨壓縮量的增加逐漸增加。但是在高速?zèng)_擊下，蜂窩材料表現(xiàn)出從沖擊端到固定端逐層壓潰的變形模式。由于質(zhì)量分布在空間呈梯度變化，雖然總的相對密度相同，密度梯度圓環(huán)蜂窩材料的動(dòng)力響應(yīng)表現(xiàn)出分段平臺(tái)特性。高密度層對應(yīng)著較高的應(yīng)力平臺(tái)。隨著沖擊速度和密度梯度的增加，分段特性更加明顯。分段應(yīng)力平臺(tái)的相對長度近似等于

式中：Li為密度梯度圓環(huán)蜂窩材料中第i層的厚度。如圖3所示，高速?zèng)_擊下，密度梯度遞減的蜂窩材料輸出端的應(yīng)力水平低于均勻排布結(jié)構(gòu)，且密度梯度越大，應(yīng)力值越低，這體現(xiàn)了通過密度梯度的設(shè)計(jì)，蜂窩材料能有效地控制傳入被保護(hù)結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力水平。

圖3 密度梯度圓環(huán)蜂窩材料沖擊端和輸出端的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.3 Dynamic properties of DGCH at the impact and distal ends

圖4 高速?zèng)_擊條件下密度梯度圓環(huán)蜂窩材料的平臺(tái)應(yīng)力值Fig.4Step plateau stresses of DGCH under high impact velocity

圖4給出了高速（v＝120m／s）沖擊下，不同密度梯度蜂窩材料的平臺(tái)應(yīng)力值。其中，橫坐標(biāo)1對應(yīng)著相對密度最小層的平臺(tái)值（平臺(tái)應(yīng)力值最低），而4對應(yīng)著相對密度最大層的平臺(tái)值（平臺(tái)應(yīng)力值最高）。同時(shí)，基于方程（6），圖4中還給出了梯度蜂窩材料不同密度層的理論平臺(tái)應(yīng)力值（對于每層而言密度是均勻的）。對比計(jì)算和理論結(jié)果可以看出，雖然方程（6）給出的平臺(tái)應(yīng)力值稍高于數(shù)值模擬結(jié)果（小于10%），但是可以近似預(yù)測梯度蜂窩材料各層的平臺(tái)應(yīng)力值。

2.3 密度梯度圓環(huán)蜂窩材料的能量吸收特性

圖5為不同密度梯度的蜂窩材料及具有相同相對密度的均勻蜂窩材料單位質(zhì)量吸收的能量，即

圖5 不同沖擊速度下密度梯度圓環(huán)蜂窩材料吸收的能量Fig.5 Energy absorption of DGCH under different impact velocities

對于密度梯度蜂窩材料，

如圖5所示，在低速?zèng)_擊下，在變形初期，梯度蜂窩材料的能量吸收率低于具有相同相對密度的均勻蜂窩材料，且密度梯度越大，能量吸收效率越低（見圖5（a））。但是隨著壓縮量的增加，梯度蜂窩材料的能量吸收率高于均勻蜂窩材料的能量吸收率。在高速?zèng)_擊下，對于相對密度從沖擊端到固定端遞增的情況，材料的能量吸收效率低于具有相同相對密度的均勻蜂窩材料，且梯度越大，效率越低。如圖5（b），在ε＝0.7時(shí)，試件GⅢ相對于均勻材料單位質(zhì)量能量吸收效率低20%（ΔW ＝（WG0－WGⅢ）／WG0）。但是，對于相對密度從沖擊端到固定端遞減的情況，梯度蜂窩材料表現(xiàn)出更高的能量吸收效率，且密度梯度越大，單位質(zhì)量材料吸收的能量越多。如圖5（b）所示，在ε＝0.7時(shí)，試件GⅢ比均勻蜂窩材料單位質(zhì)量能量吸收效率高10%。另外從圖中可以看出，不同密度梯度蜂窩材料在致密化應(yīng)變時(shí)吸收的能量相同。

3 結(jié) 論

基于二維密度梯度圓環(huán)蜂窩材料，討論了相對密度一定的情況下，密度梯度大小對蜂窩材料動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性的影響。計(jì)算結(jié)果表明，對于從沖擊端到固定端密度遞減的蜂窩材料，密度梯度增加將降低輸出端的應(yīng)力水平。低速?zèng)_擊條件下，梯度系數(shù)越大，材料單位質(zhì)量能量吸收效率越低；但是在高速?zèng)_擊下，在致密化以前，梯度系數(shù)越大，材料單位質(zhì)量能量吸收率越高。該結(jié)論對于進(jìn)一步確定密度梯度對材料動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響具有積極意義。

［1］Gupta N.A functionally graded syntactic foam material for high energy absorption under compression［J］.Materials Letters，2007，61（4／5）：979－982.

［2］Zeng H B，Pattofatto S，Zhao H，et al.Impact behaviour of hollow sphere agglomerates with density gradient［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2010，52（5）：680－688.

［3］劉穎，何章權(quán)，吳鶴翔，等.分層遞變蜂窩材料面內(nèi)沖擊性能的研究［J］.爆炸與沖擊，2011，31（3）：225－231.Liu Ying，He Zhang－quan，Wu He－xiang，et al.In－plane dynamic crushing of functionally layered metal honeycombs［J］.Explosion and Shock Waves，2011，31（3）：225－231.

［4］張新春，劉穎.密度梯度蜂窩材料動(dòng)力學(xué)性能研究［J］.工程力學(xué)，2011，29（8）：372－377.Zhang Xin－chun，Liu Ying.Research on the dynamic crushing of honeycombs with density gradient［J］.Engineering Mechanics，2011，29（8）：372－377.

［5］Liu Ying，Wu He－xiang，Lu G X，et al.Dynamic properties of density graded thin－walled metal hollow sphere arrays［J］.Mechanics of Advanced Materials and Structures，dio：10.1080／15376494.2011.627642.

［6］Liu Ying，Wu He－xiang，Wang Bin.Gradient design of metal hollow sphere（MHS）foams with density gradients［J］.Composites：Part B，2012，43（3）：1346－1352.

［7］LSTC.LS－DYNA keyword user’s manual［M］.Livermore Software Technology Corporation，2007.

［8］Gibson L J.Mechanical behaviour of metallic foams［J］.Annual Review of Materials Science，2000，30（1）：191－227.

［9］Tan P J，Reid S R，Harrigan J J，et al.Dynamic compressive strength properties of aluminum foams.Part IIShock theory and comparison with experimental data and numerical models［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2005，53（10）：2206－2230.

［10］Tan P J，Reid S R，Harrigan J J，et al.Dynamic compressive strength properties of aluminium foam.Part I－Experimental data and observations［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2005，53（10）：2174－2205.

［11］Reid S R，Peng C.Dynamic uniaxial crushing of wood［J］.International Journal of Impact Engineering，1997，19（5／6）：531－570.

［12］Gibson L J，Ashby M F.Cellular solid：Structure and properties［M］.2nd ed.Cambridge：Cambridge University Press，1997.