郭俊華

（運城學院物理與電子工程系，山西運城 044000）

處理兩體問題的拉格朗日方法實例分析

郭俊華

（運城學院物理與電子工程系，山西運城 044000）

兩體問題一直受到人們的關注。本文對采用拉格朗日方法處理兩體問題的理論作了詳細闡述，并給出應用這一方法解決具體問題的實例分析。

兩體問題；拉格朗日函數(shù)；廣義坐標

兩體問題是指由兩個質(zhì)點或物體組成的力學系統(tǒng)在僅僅受到內(nèi)力作用下的動力學問題。兩體問題不僅是最簡單的質(zhì)點系力學問題，也是唯一一例在質(zhì)點系力學中被徹底解決的問題。處理兩體問題時，總的運動可以看成是質(zhì)心的運動和相對于質(zhì)心的運動這兩部分的合成。由于兩體之間的相互作用是內(nèi)力，不會影響質(zhì)心的運動，因此，如果不存在外場，則質(zhì)心做慣性運動；若還考慮外場作用，那么質(zhì)心的運動應該由質(zhì)心運動定理決定。所以質(zhì)心運動部分可認為是已知的，關鍵是討論相對運動部分。

兩體問題一直受到人們的關注。統(tǒng)編力學教材例如理論力學具體討論了行星-太陽系統(tǒng)的運動、量子力學也介紹了氫原子問題。近年來也有部分文獻對兩體問題進行了不同側(cè)面的討論。1992年范繼美[1]對兩體問題中的折合質(zhì)量進行了討論，給出了將兩體問題約化為單體問題求解的普適方法；1994年王文科[2]對兩體問題中的相對運動進行了討論，指出了解決兩體問題時比較簡便的坐標系的建立方法，并從理論上進行了簡單的闡述；1997年白靜江[3]討論了兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律，并闡述了它們的應用；2001年梁志強等人[4]選用質(zhì)心坐標系對兩體問題進行討論，給出了有關兩體問題的動力學方程并展開討論；2008年李銀山[5]首次采用分析力學中的拉格朗日方程來處理兩體問題，為兩體問題的研究提供了新的方法。本文將對兩體問題的拉格朗日處理方法給出系統(tǒng)的理論分析，并結合具體實例來理解這一方法的物理含義。

1 兩體問題的拉格朗日函數(shù)

對于質(zhì)量為M和n的兩粒子組成的系統(tǒng)(圖1)，C為它們的質(zhì)心。質(zhì)心坐標表示為：

兩粒子的自由度為6，取和為廣義坐標。系統(tǒng)相對于慣性坐標系的動能為：

體系的勢能只考慮兩粒子的相互作用勢能，此勢能只與兩粒子的相對位置有關，用表示。

則體系的拉格朗日函數(shù)為：

由(1)和(2)式可解得：

將(5)式代入(4)式整理得：

選取質(zhì)心坐標和兩粒子間的相對位矢 為廣義坐標后，兩體問題的拉格朗日函數(shù)分解為反映質(zhì)心運動的拉格朗日函數(shù)和反映兩粒子間相運動的拉格朗日函數(shù)兩個獨立的部分。這樣就把兩體問題分解為兩個單粒子問題。

圖1 兩體問題圖示

圖2 例題示意圖

2 實例應用

例 質(zhì)量m1及m2為及的兩質(zhì)點互相以力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離平方成反比，比例常數(shù)為k。試討論兩質(zhì)點的運動情況。

解 兩質(zhì)點間僅受引力作用，則此體系為保守系，可利用保守系下拉格朗日方程求解。建立如圖2所示的坐標系，選擇體系的質(zhì)心坐標xC及兩質(zhì)點間的相對坐標x為廣義坐標。

則體系的拉格朗日函數(shù)為：

拉格朗日方程為：

將拉格朗日函數(shù)(7)分別代入拉格朗日方程(8)中解得：

其中，(9)式表明體系的質(zhì)心加速度為零，質(zhì)心做慣性運動，這一點從牛頓力學很容易看出，因為體系不受外力作用。(10)式是質(zhì)量為μ的“質(zhì)點”的動力學方程，這就把兩體問題簡化為單體問題。

3 結論

拉格朗日方法處理兩體問題與牛頓力學方法類似，都是將兩體問題簡化為單體問題。但是此方法的引入可以為兩體問題的處理提供更為廣闊的思路，也為多體問題的解決奠定了基礎。

[參 考 文 獻]

[1]范繼美.兩體問題中的折合質(zhì)量[J].昆明工學院學報,1992,17(2):121-128.

[2]王文科.關于兩體問題中相對運動的討論[J].工科物理,1994(2):19-21.

[3]白靜江.兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律[J].大學物理,1997,16(3):11-14.

[4]梁志強,唐文校.質(zhì)心坐標系中的兩體問題[J].泰安師專學報,2001,23(3):54-57.

[5]李銀山.采用拉格朗日方法來處理兩體問題[J].科技創(chuàng)新導報,2008(6):137.

An analysis of Actual Example to Deal with Two-particle System by Lagrange Method

GUO Jun-hua

(Department ofPhysics and Electronics Engineering,YunchengUniversity,YunchengShanxi 044000,China)

The problem of two-particle system has been subject to attention.In this paper,the theory to deal with two-particle system by Lagrange method has been given in detail,and an analysis of actual example also has been given.

two-particle system;Lagrange function;generalized coordinates

O316

A

1008-178X(2013)01-0011-03

2012-11-12

郭俊華（1979-），女，河南鶴壁人，運城學院物理與電子工程系講師，碩士研究生，從事超快光學研究。