張文軍

（長(zhǎng)春師范學(xué)院初等教育學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130032）

談文科生數(shù)列極限概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

張文軍

（長(zhǎng)春師范學(xué)院初等教育學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130032）

本文借助實(shí)例及幾何圖形的描述，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、有限到無限、具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程來探討數(shù)列極限概念的教學(xué)設(shè)計(jì)過程。

高等數(shù)學(xué)；文科生；數(shù)列極限；教學(xué)設(shè)計(jì)

對(duì)于大一新生來說，他們一方面對(duì)高等數(shù)學(xué)充滿了新鮮感和神秘感，另一方面他們的學(xué)習(xí)方法和思維方式往往還停留在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，很少涉及“無限”概念，習(xí)慣于用一種靜態(tài)不變的觀點(diǎn)來分析問題，而這正是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要轉(zhuǎn)變的。對(duì)于文科學(xué)生來說，這點(diǎn)更為明顯。因此對(duì)文科生高等數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)該是重在理解，講求應(yīng)用?！稊?shù)列極限的概念》這節(jié)課的顯性內(nèi)容不多也不復(fù)雜，但它隱含的意義卻是經(jīng)典的、深邃的，由它衍生了“連續(xù)”“導(dǎo)數(shù)”“微積分”等諸多重要概念，對(duì)其理解實(shí)質(zhì)上就是一種數(shù)學(xué)思想的滲透、一種數(shù)學(xué)思維方式的建立，它對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著舉足輕重的作用?？偨Y(jié)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為了使學(xué)生盡快地找到學(xué)習(xí)這門課程的基本方法，筆者從五個(gè)方面來闡述對(duì)這節(jié)課的設(shè)計(jì)。

1 模型驅(qū)動(dòng)，認(rèn)識(shí)“無限”

首先設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問題：

問題1“我們都知道，一條線段是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的。請(qǐng)大家思考：這些點(diǎn)的長(zhǎng)度是多少？”（出示課件）

對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生從沒想過“這些點(diǎn)”有長(zhǎng)度，他們的好奇心一下子被激發(fā)起來。學(xué)生踴躍發(fā)言，熱烈討論，可是卻找不到正確答案。因?yàn)檫@個(gè)問題在初等數(shù)學(xué)的有限范圍內(nèi)是解決不了，那么引入“無限”概念就勢(shì)在必行。

問題2《莊子·天下篇》中有這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（出示課件）。并用數(shù)軸表示出來。

(1)每次截取完后，剩余長(zhǎng)度是多少？(2)這個(gè)過程會(huì)不會(huì)完結(jié)？

學(xué)生易于解答這兩個(gè)小問題，并得到如下數(shù)列（繼續(xù)演示課件）

通過問題1和問題2這種“剝洋蔥”式的問題串，引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈思想沖突和數(shù)學(xué)思考，同時(shí)也向?qū)W生釋放出一個(gè)信號(hào)：從現(xiàn)在開始，我們要研究無限數(shù)列，教師可以就勢(shì)給出無窮數(shù)列的定義。

定義1無窮數(shù)列的定義 按一定次序排列的無窮多個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,…成為無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，可簡(jiǎn)記為{xn}。其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，xn稱為通項(xiàng)（一般項(xiàng)），n稱為{xn}的下標(biāo)。

接下來通過觀察5個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)來進(jìn)一步深化思維，直觀極限的概念（演示課件）。

2 深化思維，直觀概念

學(xué)生通過對(duì)這些數(shù)列的比較、觀察，可以得出它們各自的變化趨勢(shì)適時(shí)指出：像(1)、(2)、(5)這樣的無窮數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)稱為該數(shù)列的極限。接下來和學(xué)生一起得到數(shù)列極限的描述性概念（出示課件）。這個(gè)概念雖然比較籠統(tǒng)，卻為下一步精確定義奠定了基礎(chǔ)。

針對(duì)這個(gè)定義，利用計(jì)算機(jī)模擬劉徽割圓術(shù)，介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn)，其一是通過史料的簡(jiǎn)單介紹對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育；其二是在概念形成階段，為學(xué)生提供感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)；其三可對(duì)學(xué)生所得的結(jié)論加以驗(yàn)證、完善，加深對(duì)問題的理解，鞏固所學(xué)的概念。通過這一實(shí)例，學(xué)生加深了對(duì)“無限增大”、“無限趨近于”、“極限”等概念的直觀認(rèn)識(shí)，初步感知從有限中認(rèn)識(shí)無限，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的這種極限思想，既突破了難點(diǎn)，又對(duì)學(xué)生進(jìn)行了愛國(guó)主義教育。

概念中的“無限增大”與“無限接近”很模糊，增大到什么程度？接近到什么程度？用數(shù)學(xué)語言如何表述？需要進(jìn)一步對(duì)學(xué)生進(jìn)行講解。

3 突出重點(diǎn)，精確概念

在這個(gè)過程中，學(xué)生通過由特殊到一般再到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律，“經(jīng)歷了概念的形成過程”[3]。這樣，數(shù)列極限的精確概念在層層遞進(jìn)的教學(xué)活動(dòng)中揭開了神秘的面紗，完全展現(xiàn)出來了。

4 鞏固成果，定性分析

5 數(shù)形結(jié)合，感性回歸

回歸到概念的幾何意義，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步明確數(shù)列極限的概念。極限的概念不是一節(jié)課就能完全建立起來的，它需要一個(gè)逐漸的過程。正如北宋思想家張載說：“教之而不受，雖強(qiáng)告之無益?！币虼?，作為極限概念這部分的教學(xué)是以問題解決為主線，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，主動(dòng)探索，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成的過程，對(duì)文科生理解數(shù)列極限概念起到很好的學(xué)習(xí)效果。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]劉仁云,趙虹.高等數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2011:19-22.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版,北京:高等教育出版社,2002.

[3]顧慶鳳.數(shù)列極限定義的教學(xué)過程設(shè)計(jì)探討[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào),2011(34):152.

On the Teaching Design of Limit of a Sequence Concept for the Students Studying Liberal Art

ZHANG Wen-jun

(Changchun Normal University，Changchun Jilin 130032，China)

The paper explores the teachingdesign ofthe concept oflimit ofa sequence in the cognitive process of from static to dynamic states,from finite to infinite,from concrete to abstract by means of the description of cases and geometrical figures.

higher mathematics;the students studyingliberal arts;the limit ofa sequence;teachingdesign

G642

A

1008-178X(2013)01-0119-03

2012-10-05

張文軍（1975-），男，吉林長(zhǎng)春人，長(zhǎng)春師范學(xué)院初等教育學(xué)院講師，碩士，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。