林 博

(北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100871)

VaR(Value at Risk)是一種評(píng)估金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的方法，能夠準(zhǔn)確、快速和全面地量化市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。自從世界金融危機(jī)爆發(fā)到現(xiàn)在，國(guó)內(nèi)外的金融市場(chǎng)對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的控制有著越來越高的要求。VaR在國(guó)外已經(jīng)進(jìn)行了廣泛深入的研究以及大量的實(shí)證分析，已經(jīng)被投資者、商業(yè)銀行、投資銀行及市場(chǎng)監(jiān)管機(jī)構(gòu)廣泛使用。目前主流的分析方法是基于ARCH模型族的VaR計(jì)算。這主要是由于在描述金融市場(chǎng)資產(chǎn)收益的波動(dòng)性方面，ARCH族模型有著十分出色的表現(xiàn)，能夠更好地模擬出收益率的波動(dòng)性特征，由此計(jì)算出來的VaR值能更真實(shí)地反映出金融風(fēng)險(xiǎn)。常用的VaR方法有移動(dòng)平均法、GARCH 模型和隱含波動(dòng)率法。本文將采用GARCH模型來計(jì)算上證指數(shù)收益率的VaR 值。

一、模型概述

（一）GARCH概述

股票指數(shù)是一種金融時(shí)間序列，其分布一般不是正態(tài)分布的。Engle在1982年提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型來研究股市波動(dòng)的聚集性和持續(xù)性，它的持續(xù)方差和處理厚尾的能力，可以較好描述股票價(jià)格的波動(dòng)特征。在擬合時(shí)為了達(dá)到更好效果，一般要求更大的誤差項(xiàng)的滯后階數(shù)，但是這會(huì)降低參數(shù)估計(jì)的效率，而且還會(huì)增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)。Bollerslev 在1986年提出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。GARCH模型相對(duì)于ARCH模型來說，在提高了準(zhǔn)確性的同時(shí)減少了待估參數(shù)的數(shù)量。以后經(jīng)過不斷發(fā)展，形成了GARCH 模型族，用以研究股票指數(shù)、期貨指數(shù)的波動(dòng)性，且可對(duì)它們的運(yùn)行規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（二）VaR概述

VaR(Value at Risk，在險(xiǎn)價(jià)值)比較規(guī)范的定義是，在正常的市場(chǎng)條件給定了置信水平和持有期間，某一投資組合可能發(fā)生的最大的損失。公式可以表示為Prob(ΔP ≥VaR)=1!α，其中Prob是一個(gè)概率，表示資產(chǎn)價(jià)值的損失小于損失上限的可能性，ΔP表示資產(chǎn)組合在持有期Δt內(nèi)的價(jià)值損失數(shù)量，VaR即在一定的置信水平下的在險(xiǎn)價(jià)值，α代表給定的置信水平。

通常VaR的計(jì)算方法有三類：

1.歷史模擬法(Historieal Simulation Method)。歷史模擬法是一種非參數(shù)的方法，它利用歷史數(shù)據(jù)，在目前的投資或組合里使用過去的收益率分布，以此對(duì)以后的投資組合可能面臨的收益分布進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。只要給定了置信水平和持有期，便可在不需要假設(shè)市場(chǎng)因子的統(tǒng)計(jì)分布來計(jì)算VAR。

2.蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo Simulation，簡(jiǎn)稱MC法)。蒙特卡洛模擬是一種隨機(jī)模擬方法，它是以概率和統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的，其將問題同某一個(gè)概率模型進(jìn)行聯(lián)系，并通過統(tǒng)計(jì)抽樣以獲得近似解。當(dāng)抽樣模擬的次數(shù)不斷增加時(shí)，再通過對(duì)每次的參數(shù)估計(jì)值求平均以得到穩(wěn)定的結(jié)果。

3.方差——協(xié)方差法。該方法是基于收益服從正態(tài)分布的假設(shè)。在此基礎(chǔ)之上用歷史數(shù)據(jù)來計(jì)量均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及相關(guān)系數(shù)等主要參數(shù)。方差--協(xié)方差方法中最常用的是J.P.Morgan提出的RiskMetrics風(fēng)險(xiǎn)度量模型，它的重要假設(shè)是正態(tài)分布假設(shè)和線性假設(shè)。但由于實(shí)際收益率分布的厚尾現(xiàn)象的存在，會(huì)低估金融風(fēng)險(xiǎn)的VaR值。

（三）GARCH - VaR模型方法

本文將利用GARCH模型中的條件方差來估算上證指數(shù)的VaR。對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)管理者，持有期和置信度的選擇則需要因地制宜。VaR 計(jì)算公式為將GARCH模型得出的條件標(biāo)準(zhǔn)差序列帶入上式中，計(jì)算得出VaR值。

二、實(shí)例分析

本文選取上證指數(shù)2004.01.02到2013.7.19一共2315個(gè)交易日的收盤價(jià)作為分析樣本，數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件。利用Eviews軟件生成收益率的對(duì)數(shù)序列，公式如下：

price為t日的收盤價(jià)，price(-1)為t-1日的收盤價(jià)，經(jīng)過計(jì)算得到對(duì)數(shù)收益序列r。對(duì)數(shù)收益率圖如圖1：

圖1

可初步看出樣本序列存在較大的波動(dòng)，并存在明顯的波動(dòng)集群性，與一般的ARCH模型族的特征吻合。在建立GARCH模型之前，仍需對(duì)樣本序列的特征進(jìn)行進(jìn)一步的研究，以確認(rèn)是否滿足建立GARCH模型的條件。

（一）正態(tài)性檢驗(yàn)

利用Eviews軟件得到對(duì)數(shù)收益率的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如圖2。

圖2

可以看到，樣本期內(nèi)收益率均值為0.0118%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.7165%，偏度為-0.272023，左偏峰度為6.263223，高于正態(tài)分布的峰度值3，說明收益率r具有尖峰和后尾特征。JB正態(tài)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為1055.243，收益率r顯著異于正態(tài)分布。

（二）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

由于非平穩(wěn)序列不利于進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)分析，因此應(yīng)對(duì)該序列進(jìn)行平穩(wěn)性，本文采用ADF單位根檢驗(yàn)，由Eviews得出檢驗(yàn)結(jié)果如下：

表1 含截距項(xiàng)

表2 含時(shí)間趨勢(shì)和截距項(xiàng)

表3 不含截距項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)

由上表可以看出，對(duì)數(shù)收益率序列的ADF值均小于臨界值，落在顯著性水平的臨界值外，數(shù)據(jù)序列拒絕隨機(jī)游走的假設(shè)，說明是平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。國(guó)外學(xué)者Pagan(1996)和Bollerslev(1994)指出，金融資產(chǎn)的價(jià)格一般是非平穩(wěn)的，經(jīng)常有一個(gè)單位根，而收益率序列通常是平穩(wěn)的。因此可以采用改對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行建模。

（三）自相關(guān)檢驗(yàn)

通過對(duì)數(shù)收益率的自相關(guān)檢驗(yàn)，可以觀察到股票的收益率與其滯后4階存在自相關(guān)。收益率rt的均值方程：rt=c+α*rt-4+εt。

表4 對(duì)收益率做自回歸

得到均值方程為：

用Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)均值方程擬合后的殘差及殘差平方做自相關(guān)檢驗(yàn)，結(jié)果表明殘差不存在顯著的自相關(guān)，而殘差平方有顯著的自相關(guān)。對(duì)殘差平方做線形圖，如圖3：

圖3

可以看到，殘差平方的波動(dòng)具有明顯的時(shí)間可變性和集簇性，因此將使用GARCH類模型來進(jìn)行建模。

表5 對(duì)殘差進(jìn)行ARCH-LM Test

結(jié)果表明ARCH效應(yīng)是很顯著的，因此接下來將對(duì)上證指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列建立GARCH模型。

（四）GARCH類模型建模

利用Eviews軟件，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行GARCH建模，可得下表6：

表6

可以看到，條件方差中ARCH和GARCH項(xiàng)都屬于高度顯著的，因此收益率序列具有明顯的波動(dòng)集簇性。其中ARCH和GARCH項(xiàng)系數(shù)之和為0.99，小于1。GARCH(1，1)過程是平穩(wěn)的。經(jīng)過ARCH-LM檢驗(yàn)，主模型不存在ARCH效應(yīng)(p值為0.7115， 大于顯著性水平)。

GARCH(1，1)估計(jì)結(jié)果如下：

（五）基于GARCH模型的VaR計(jì)算

采用樣本內(nèi)預(yù)測(cè)，將建立的模型對(duì)2009.06.08到2013.07.19共1000個(gè)交易日進(jìn)行預(yù)測(cè)。將預(yù)測(cè)的條件標(biāo)準(zhǔn)差代入VaR公式得到分別在95%和99%的置信水平下上證指數(shù)t日的VaR。再將每日收盤價(jià)減去VaR，得出t+1日的風(fēng)險(xiǎn)值，并統(tǒng)計(jì)測(cè)試樣本中低于風(fēng)險(xiǎn)值的失敗天數(shù)。結(jié)果見下表7:

表7

通過上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)利用GARCH模型計(jì)算VaR的方法能較好的擬合上證指數(shù)的在險(xiǎn)值，我們可以考慮將其作為控制風(fēng)險(xiǎn)的管理手段之一，并參照其建立對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警體系。

三、結(jié)論及展望

本文對(duì)上證指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行了GARCH建模并計(jì)算VaR值，結(jié)果表明能夠較好的反映了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。本文所用的模型是假設(shè)收益率分布為正態(tài)分布的情形下，從正態(tài)分析中可知，數(shù)據(jù)分布存在尖峰厚尾現(xiàn)象，與正態(tài)分布存在一定的差距，可嘗試在不同的分布下進(jìn)行計(jì)算，例如t分布或GED分布。另外，還可進(jìn)一步將GARCH模型與其他模型進(jìn)行比較，如TGARCH、EGARCH模型等，以便更好的擬合數(shù)據(jù)，從而預(yù)測(cè)并控制風(fēng)險(xiǎn)。

還有，VaR 是當(dāng)前金融機(jī)構(gòu)度量金融風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方法，但是VaR 不滿足次可加性，沒有考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)，缺乏對(duì)極端事件的控制。2000年Rockafeller和Uryasev在對(duì)VaR修正的基礎(chǔ)上正式提出了條件在險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)的概念，它有效彌補(bǔ)了VaR不滿足次可加性、沒有考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)等缺陷。CVaR表示的是損失超過VaR的條件均值，代表了投資失敗損益的平均水平，有效反應(yīng)了當(dāng)損失超過VaR時(shí)平均的潛在損失的大小。因此，還可對(duì)CVaR進(jìn)行進(jìn)一步的探討。

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