黎亮 章定國? 洪嘉振

(1．南京理工大學(xué)理學(xué)院，南京 2 10094)(2．上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海 2 00240)

作大范圍運(yùn)動(dòng)FGM矩形薄板的動(dòng)力學(xué)特性研究*

黎亮1章定國1?洪嘉振2

(1．南京理工大學(xué)理學(xué)院，南京 2 10094)(2．上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海 2 00240)

對作大范圍運(yùn)動(dòng)功能梯度材料矩形薄板的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了研究．以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)，在柔性薄板面內(nèi)變形中考慮了傳統(tǒng)建模方法忽略的二次耦合變形量，采用假設(shè)模態(tài)法對薄板變形位移進(jìn)行離散，運(yùn)用拉格朗日方程推導(dǎo)了大范圍運(yùn)動(dòng)功能梯度材料板的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程．對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下取不同功能梯度指數(shù)的懸臂功能梯度板的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行仿真，比較了本文建立的一次近似耦合模型和傳統(tǒng)不計(jì)耦合變形項(xiàng)的零次近似模型．結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)速的提高，傳統(tǒng)零次模型發(fā)散，而本文模型收斂，能夠較好地描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為．利用本文建立的一次近似模型，研究了功能梯度指數(shù)對轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度板變形的影響，研究表明，隨著功能梯度指數(shù)的增大，板的橫向變形也增大．通過求解旋轉(zhuǎn)FGM板在恒定轉(zhuǎn)速下的固有頻率，進(jìn)一步分析了功能梯度板材料組分變化對板振動(dòng)特性的影響．

大范圍運(yùn)動(dòng)， 功能梯度材料板， 功能梯度指數(shù)， 動(dòng)力剛化， 固有頻率

引言

功能梯度材料(Functionally Graded Materials，簡稱FGM)是一種近期發(fā)展的新型功能材料，它一般是由幾種不同材料介質(zhì)沿空間按不同組分復(fù)合而成，形成材料功能的梯度分布，從而滿足構(gòu)件不同部位對材料使用性能的不同要求．由該種材料制成的功能梯度構(gòu)件在空間上呈連續(xù)變化，不存在明顯的界面和性能突變，具有明顯優(yōu)于一般復(fù)合材料的特性［1］．同復(fù)合材料結(jié)構(gòu)一樣，功能梯度構(gòu)件在航空航天工業(yè)中具有廣泛的應(yīng)用．目前，有關(guān)功能梯度材料中的彈性力學(xué)分析大部分集中在靜態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)的研究，其結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中具有深遠(yuǎn)的意義．

自從Kane［2］揭示了“動(dòng)力剛化”現(xiàn)象以來，國外很多學(xué)者研究了板的“動(dòng)力剛化”問題［3－5］．在國內(nèi)，洪嘉振、劉錦陽［6］根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中關(guān)于柔性薄板的變形理論，基于Jourdan速度變分原理，對板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了仿真，并將有限元法和假設(shè)模態(tài)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比．這些工作主要集中在考慮各向同性板的情況，考慮板在各向異性情況下的“動(dòng)力剛化”的研究工作還比較少．Maria Augusta Neto［7］建立了復(fù)合材料層合板的多體系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，分析了其中柔性體變形與剛體運(yùn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)問題．Yoo［8］對轉(zhuǎn)動(dòng)下的復(fù)合懸臂板的模態(tài)進(jìn)行了分析．吳根勇、和興鎖［9］基于經(jīng)典層合板理論建立了大范圍運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料板的動(dòng)力學(xué)方程，考慮了傳統(tǒng)建模方法忽略的二次耦合變型量，仿真比較了層鋪角度對作大范圍運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料板變形影響．M．T．Piovan等［10］研究了轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度梁的動(dòng)力學(xué)問題，考慮了梁的剪切變形和非線性應(yīng)變位移關(guān)系，計(jì)入科氏慣性效應(yīng)和幾何剛化效應(yīng)，推導(dǎo)了轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度梁的非線性動(dòng)力學(xué)方程，并比較了模型非線性化與線性化的差異．然而，對作大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度板的動(dòng)力學(xué)問題的研究比較少見．

本文研究作大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂功能梯度矩形薄板的動(dòng)力學(xué)問題，所研究的功能梯度矩形板的材料密度和彈性模量沿厚度梯度變化，橫觀各向同性，忽略溫度場的影響．從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論出發(fā)，運(yùn)用拉格朗日方程建立在空間作任意運(yùn)動(dòng)的柔性功能梯度薄板的剛?cè)狁詈弦淮谓苿?dòng)力學(xué)模型．仿真了隨功能梯度系數(shù)變化的功能梯度薄板作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為，比較了計(jì)及二次耦合變形量的一次近似模型和不計(jì)二次耦合變形量的傳統(tǒng)零次近似模型在動(dòng)力學(xué)性質(zhì)上的差異．通過求解FGM板在轉(zhuǎn)動(dòng)下的固有頻率，進(jìn)一步分析了功能梯度板組分變化對板模態(tài)特性的影響．

1 動(dòng)力學(xué)建模

1．1 運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

考慮一FGM 矩形彈性薄板，假設(shè)FGM板由陶瓷和金屬兩種材料介質(zhì)組成，板的彈性模量E(z)和密度ρ(z)沿板的厚度呈冪函數(shù)分布，表示為［11］:

其中，N(N≥0)為功能梯度指數(shù)，h為板厚度．下標(biāo)‘c’、‘m’分別代表陶瓷材料和金屬材料，泊松比μc= μm=μ．板的長度為a，寬度為b．

在空間作大范圍運(yùn)動(dòng)的FGM矩形薄板如圖1所示．圖中，e0為慣性坐標(biāo)系，eb為連體坐標(biāo)系．e0和eb(i=1，2，3)分別為慣性基和連體基的單位向量，eb1和eb2構(gòu)成的坐標(biāo)平面與未變形的板中面重合．

圖1 作大范圍運(yùn)動(dòng)FGM矩形板Fig．1 A FGM plate undergoing large overall motion

變形前板中面上任一點(diǎn)P0變形后至P點(diǎn)，變形矢量為u，u在連體坐標(biāo)系下的分量列陣為［u1u2u3］T．P0點(diǎn)在面內(nèi)沿x、y方向的變形位移u1、u2可表示為

式中，Vo、ωA為連體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的速度、角速度矢量，分量列陣分別為［v1v2v3］T和［ω1ω2ω3］T，ρ0為點(diǎn)P0在連體坐標(biāo)系中的位置矢量，VPA為P點(diǎn)相對連體坐標(biāo)系的速度矢量．各矢量在連體坐標(biāo)系的分量形式為

1．2 系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能

FGM板的動(dòng)能為

在平面應(yīng)力假設(shè)下，應(yīng)力為

FGM板的變形勢能為

式中U1為板面內(nèi)變形能，U2為面內(nèi)與橫向的耦合變形能，U3為橫向彎曲變形能．

1．3 系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程

采用假設(shè)模態(tài)法對 w1、w2、u3離散，得

式中，φi(x，y)∈R1×Ni(i=1，2，3)為功能梯度薄板面內(nèi)振動(dòng)和橫向振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)陣，qi(t)∈RNi(i=1，2，3)為面內(nèi)振動(dòng)和橫向振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)列陣，Ni為對應(yīng)的模態(tài)截?cái)鄶?shù)．為方便起見，下述表達(dá)式中略去自變量 x，y，t．

將式(16)代入式(2)，得變量 u1，u2

式中，H1(x，y)、H2(x，y)為耦合形函數(shù)，表示如下

下標(biāo)中“，”表示對坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)．

取廣義坐標(biāo)q=［］T，將動(dòng)能和勢能代入拉格朗日方程:

得到FGM板的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程為

式中各分塊矩陣如下

式中，a01、a02、a03為基點(diǎn)加速度在連體基下的分量．各常數(shù)陣為

方程(20)可以模擬大范圍運(yùn)動(dòng)已知時(shí)的功能梯度板的動(dòng)力學(xué)問題．式(33)中下劃線項(xiàng)為考慮二次耦合變形量帶來的附加動(dòng)力剛度項(xiàng)．傳統(tǒng)的零次建模方法忽略了這些耦合項(xiàng)，因此零次模型中的這些項(xiàng)均為零．

2 數(shù)值仿真

2．1 功能梯度板“動(dòng)力剛化”研究

本節(jié)仿真一作大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的懸臂FGM矩形薄板的動(dòng)力學(xué)行為，如圖2所示，中心剛體與FGM板的一端固連、分別為慣性坐標(biāo)系Oxyz的單位向量，且分別與板的長、寬和厚度方向平行．中心剛體以恒定角速度ω繞y軸旋轉(zhuǎn)，板的材料參數(shù)a=1．8828 m，b=1．2192 m，h=0．02 m，Ec=151 GPa，Em=70 GPa，ρc=3000 kg/m3，ρm=2707 kg/m3;泊松比取0．3，中心剛體半徑R取0．ω1=ω3=0，ω2=ω==02=．給定的角速度規(guī)律為

圖2 作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的懸臂功能梯度薄板Fig．2 A rotating cantilever FGM thin plate

式中，T=30 s．

只考慮FGM板沿厚度方向上的橫向振動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程簡化為

采用模態(tài)試函數(shù)方法，板的第mn階模態(tài)試函數(shù)Zmn(x，y)可以分解為x方向懸臂梁和y方向自由梁的模態(tài)函數(shù)Xm(x)和Yn(y)的乘積，即矩形薄板的橫向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)為

其中x方向懸臂梁作橫向彎曲振動(dòng)模態(tài)函數(shù)

Y方向自由梁作橫向彎曲振動(dòng)模態(tài)函數(shù)為［12］

式中，βm為方程 cos(βml)cosh(βml)= －1的第m個(gè)根，βn為方程 cos(βml)cosh(βml)=1的第n－2個(gè)根，φ3i為φ3的第i階分量．

圖3、4分別給出了板功能梯度系數(shù)N取1和2，Ω=3 Hz以及Ω=10 Hz時(shí)利用零次近似模型和一次近似模型計(jì)算得到的外側(cè)角點(diǎn)M的橫向變形．從圖中可以看出，在Ω=3 Hz時(shí)，兩種近似模型的結(jié)果差異很小，比較圖3(a)、圖4(a)，零次近似模型計(jì)算得到的角點(diǎn)最大變形均比本文一次近似模型得到的結(jié)果偏大;隨著功能梯度系數(shù)的增大，零次近似模型結(jié)果與本文一次近似模型的結(jié)果差異也呈增大趨勢．當(dāng)Ω=10 Hz時(shí)，從圖3(b)、圖4(b)中可以看到，兩種模型的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)了明顯的差異，零次模型的結(jié)果均發(fā)散，本文一次近似模型的結(jié)果均收斂，差異來源于附加剛度項(xiàng)．

圖3 N=1時(shí)板外側(cè)角點(diǎn)的橫向變形Fig．3 Lateral deflection of the plate＇s corner for the case of N=1

圖4 N=2時(shí)板外側(cè)角點(diǎn)的橫向變形Fig．4 Lateral deflection of the plate＇s corner for the case of N=2

圖5分別給出了Ω=3 Hz和Ω=10 Hz時(shí)功能梯度板的功能梯度系數(shù)變化下板外側(cè)角點(diǎn)在z方向的變形．從圖5(a)和圖5(b)中可以看出，當(dāng)N=0時(shí)，功能梯度板退化為均質(zhì)板，板的最大變形最小，隨著N的增大，板的最大變形也增大，說明功能梯度系數(shù)是改變功能梯度板柔性特性的重要原因，功能梯度系數(shù)越大板的柔性也越大．

圖5 不同功能梯度系數(shù)下外側(cè)角點(diǎn)的橫向變形比較Fig．5 Comparison of the plate＇s corner lateral deflection with different functionally graded index

2．2 旋轉(zhuǎn)功能梯度板的橫向彎曲固有頻率分析

本節(jié)對作勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的懸臂功能梯度薄板的橫向彎曲固有頻率進(jìn)行研究，忽略面內(nèi)變形對橫向彎曲的影響，系統(tǒng)的橫向彎曲振動(dòng)方程可以寫為:

求解方程(57)，令

其中，j為虛數(shù)，p為固有頻率，Z為常數(shù)列陣．將式(58)代入式(57)得到特征方程

由于下劃線部分D11為動(dòng)力剛化項(xiàng)，式(57)仍為一次剛?cè)狁詈夏Ｐ?，去掉?dòng)力剛化項(xiàng)，式(57)則退化為零次模型．圖6為分別采用零次模型和一次模型計(jì)算所得的FGM板(N=0)橫向一階固有頻率隨轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加的變化對比圖．從圖中可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí)，零次模型與一次模型計(jì)算的一階固有頻率差別不大，但隨著轉(zhuǎn)速增加，零次模型計(jì)算結(jié)果越來越小，不符合實(shí)際情況;相反，一次模型計(jì)算結(jié)果隨轉(zhuǎn)速的提高呈穩(wěn)定增長趨勢，能很好地體現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)力剛化效應(yīng)．

圖6 一次模型與零次模型一階固有頻率比較Fig．6 Comparison of first natural frequencies between first and zeroth order models

圖7 ω=50 rad/s時(shí)FGM板各階固有頻率隨N的變化情況Fig．7 Variations of natural frequencies versus N(ω =50 rad/s)

圖7給出了轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為50 rad/s時(shí)FGM板前八階固有頻率隨功能梯度指數(shù)變化的情況，從圖中可以看出，F(xiàn)GM板的各階固有頻率均與N成反比．圖8為不同功能梯度指數(shù)的FGM板的一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化情況，從圖中可以看出，功能梯度指數(shù)能顯著改變FGM板的一階固有頻率，隨著N的增大，不同轉(zhuǎn)速下的一階固有頻率都呈遞減趨勢．

圖8 不同功能梯度系數(shù)的FGM板的一階固有頻率隨角速度變化情況Fig．8 First natural frequencies of FGM plate with different N changing along with angular speed

3 結(jié)論

1)建立了作大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的FGM板的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)一次模型，數(shù)值仿真結(jié)果證明在低速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，柔性薄板變形位移的耦合變形量對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能影響較小，然而在高速轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，耦合項(xiàng)使得系統(tǒng)的剛度增大，產(chǎn)生動(dòng)力剛化效應(yīng)．一次模型不僅適應(yīng)于低速的大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)，而且適用于高速的情況．

2)在本文中既定的功能梯度材料參數(shù)的分布規(guī)律情況下，隨著功能梯度指數(shù)的增大，功能梯度板的橫向變形要比各項(xiàng)同性板的大，在材料設(shè)計(jì)中，應(yīng)適當(dāng)考慮N的取值范圍，以利于控制柔性板的變形．

3)功能梯度指數(shù)能顯著影響旋轉(zhuǎn)FGM板的橫向彎曲固有頻率，N越大，各階固有頻率越小，且均與轉(zhuǎn)速成正比．

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* This work was supported by the National Natural Science Foundations of China(11272155，11132007，10772085)，the“333”Project of Jiangsu Province(BRA2011172)，and the Fundamental Research Funds for the Central Universities(30920130112009)

? Corresponding author E－mail:Zhangdg419@mail．njust．edu．cn

DYNAMICS OF RECTANGULAR FUNCTIONALLY GRADED THIN PLATES UNDERGOING LARGE OVERALL MOTION*

Li Liang1?Zhang Dingguo1Hong Jiazhen2
(1．School of Sciences，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing210094，China)(2．Department of Engineering Mechanics，Shanghai Jiaotong University，Shanghai200240，China)

The rigid－flexible coupling dynamics of a rectangular functionally graded thin plate undergoing large overall motion is investigated．Based on continuum medium mechanics，The governing equations of motion are established using assumed mode method and Lagrange＇s equations，for the rectangular functionally graded thin plates undergoing large overall motions．The second order coupling deformation variable，which is ignored in traditional method，is considered in this paper．The dynamics of cantilever plates with different functionally graded coefficiernt undergoing rotation are simulated and the deformation results of first order approximation model are compared with those of traditional zero order appoximation model．It is shown that，as the rotating velocity increase，the traditional model divergences while the first order model converges．The first order model describes the dynamic behavior of the system better．The effects of the functionally graded index on the deformation of plates are studied．Studies have shown that，with the increases of the functionally graded index，the greater the lateral deformationthe of plate．By solving the natural frequencies of rotating FGM plate under a constant speed，the impact of of changes in the material composition of FGM plates on the plate vibration characteristics is further studied．

large overall motions， functionally graded plates， functionally graded index， dynamic stiffening，natural frequencies

21 July 2012，

30 August 2012．

10．6052/1672－6553－2013－042

2012－07－21 收到第 1 稿，2012－08－30 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272155，11132007，10772085)、江蘇省“333工程”(BRA2011172)、中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(30920130112009)

E－mail:Zhangdg419@mail．njust．edu．cn