李巖 袁惠群，2? 梁明軒 賀威

(1．東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 1 10004)(2．東北大學(xué)理學(xué)院，沈陽(yáng) 1 10004)(3．沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院，沈陽(yáng) 1 10122)

三維實(shí)體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱－結(jié)構(gòu)耦合響應(yīng)分析*

李巖1袁惠群1，2?梁明軒1賀威3

(1．東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 1 10004)(2．東北大學(xué)理學(xué)院，沈陽(yáng) 1 10004)(3．沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院，沈陽(yáng) 1 10122)

以某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于不均勻分布穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，建立了某高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維實(shí)體單元有限元模型以及穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱－結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)方程，利用熱－結(jié)構(gòu)－動(dòng)力學(xué)耦合理論，采用間接耦合法，通過(guò)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分析和靜力分析生成熱應(yīng)力，然后進(jìn)行預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析，最后利用模態(tài)疊加法進(jìn)行不平衡量和熱彎曲耦合響應(yīng)分析，實(shí)現(xiàn)熱－結(jié)構(gòu)－動(dòng)力學(xué)耦合計(jì)算．通過(guò)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)對(duì)典型級(jí)盤(pán)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)影響的分析以及不平衡量與熱彎曲耦合穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析，發(fā)現(xiàn)耦合響應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各級(jí)盤(pán)的振動(dòng)響應(yīng)有較大影響．

三維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)， 有限元法， 固有頻率， 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)， 熱彎曲耦合響應(yīng)

引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)在啟動(dòng)、停車(chē)以及高速運(yùn)轉(zhuǎn)的過(guò)程中溫度的變化非常明顯．由于溫度分布不均衡產(chǎn)生的熱應(yīng)力，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生一定變形，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣重新分布．轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的材料物性參數(shù)也會(huì)隨著溫度而變化，對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性也必將產(chǎn)生一定的影響［1］．目前，對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱振動(dòng)的研究主要集中在均勻溫度場(chǎng)引起的熱膨脹［2］．晏水平等［3］人探討了彈性模量隨溫度的變化對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，采用軸系的溫度分布為常量的基本假設(shè)，忽略溫度對(duì)振動(dòng)的影響．賀威等［4］人利用傳遞矩陣法，研究了某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)多盤(pán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱彎曲穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)響應(yīng)，轉(zhuǎn)子熱彎曲量的確定并沒(méi)有考慮轉(zhuǎn)子溫度場(chǎng)情況．目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)以真實(shí)溫度場(chǎng)為基礎(chǔ)，利用熱－結(jié)構(gòu)－動(dòng)力學(xué)耦合理論分析三維實(shí)體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性的研究還很少．朱向哲等人［5］雖然對(duì)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)對(duì)某汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率的影響進(jìn)行了探討，但是其所建立的模型仍然是傳統(tǒng)的盤(pán)軸系統(tǒng)或者關(guān)于梁的熱振動(dòng)問(wèn)題，與實(shí)際結(jié)構(gòu)有很大差別．因此，有必要對(duì)由航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)而建立的三維實(shí)體模型的熱振動(dòng)特性進(jìn)行深入的研究，分析穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響以及不平衡量和熱彎耦合響應(yīng)，以便找出影響其熱振動(dòng)特性的敏感因素．

1 三維實(shí)體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱－結(jié)構(gòu)耦合模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)等實(shí)體結(jié)構(gòu)由于形體及溫度場(chǎng)較復(fù)雜，難以簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題或軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，必須按空間問(wèn)題求解．為了保證必要的計(jì)算精度，必須采用密集的計(jì)算網(wǎng)格，這樣一來(lái)，節(jié)點(diǎn)數(shù)量將很多，方程組十分龐大．如果采用高次位移模式，單元中的應(yīng)力是變化的，就可以用較少的單元、較少的自由度而得到要求的計(jì)算精度，因此，采用20結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元．

1．1 三維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元?jiǎng)恿W(xué)模型

1)位移模式．20節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量

式中，N為20節(jié)點(diǎn)等參元的形函數(shù)表達(dá)式為:

其中:ξi、ηi、ζi分別為節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)．

總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即Jacbi為:

逆變換的Jacbi為

其中:ξ;x…ζ;z為|J|的代數(shù)余子式除以|J|

每個(gè)單元共有60個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，表示為向量

2)單元應(yīng)變．在空間應(yīng)力問(wèn)題中，每個(gè)點(diǎn)具有6個(gè)應(yīng)變分量

3)單元應(yīng)力．單元應(yīng)力可用節(jié)點(diǎn)位移表示為

其中，應(yīng)力矩陣S=DB，彈性矩陣D為

其中:E為彈性模量;μ為泊松比．

4)單元?jiǎng)偠染仃嚕商撐灰圃?，可得到單元?jiǎng)偠染仃?

5)三維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元單元體動(dòng)力學(xué)方程．為了滿(mǎn)足后續(xù)的響應(yīng)與故障分析的研究需要，本文采用三維實(shí)體有限元分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性．

在離心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)物體受慣性力、阻尼力作用，可以導(dǎo)出轉(zhuǎn)子有限單元體運(yùn)動(dòng)微分方程為:

其中:{F(t)}e為單元的激振力;［M］e為單元的質(zhì)量矩陣;［MG］e為單元哥氏力矩陣;［N］為單元形狀函數(shù)矩陣;{δ}e為單元節(jié)點(diǎn)位移向量，［K0］e為單元線(xiàn)剛度矩陣;［C］e為阻尼矩陣;［H］為轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量構(gòu)成的矩陣;

式(14)是適用于轉(zhuǎn)子靜力和動(dòng)力分析的有限元方程．

1．2 三維實(shí)體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱-結(jié)構(gòu)耦合模型振動(dòng)方程

對(duì)于穩(wěn)態(tài)加熱或冷卻的情況，在轉(zhuǎn)子表面的軸向和切向熱應(yīng)力，主要是由于節(jié)點(diǎn)溫度的不均勻變化，轉(zhuǎn)子的不均勻膨脹受到約束限制而產(chǎn)生的熱應(yīng)力．單元熱應(yīng)力基本方程:

式中:E(t)為隨溫度變化的彈性模量，α為熱膨脹系數(shù)為不同工況轉(zhuǎn)，T0為初始環(huán)境溫度子溫度，其它符號(hào)同前．

根據(jù)D＇Alembert原理，溫度應(yīng)力作用的轉(zhuǎn)子振動(dòng)方程為:

式中，［M］、［MG］、［C］、［K0］分別是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、哥氏力矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;{U}、}、}分別是節(jié)點(diǎn)位移向量、速度向量和加速度向量;{P(t)}為不平衡荷載向量．

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，任意點(diǎn)在工作過(guò)程中產(chǎn)生的位移向量{U}可以看成兩部分組成:

式中:{δ}表示從原始形狀變形到離心力場(chǎng)平衡位置的位移，{δT}表示溫度應(yīng)力引起的變形．靜力分析時(shí)則有

由于溫度載荷的存在，轉(zhuǎn)子受力產(chǎn)生變形，因此，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣發(fā)生變化，式(16)變?yōu)?/p>

本文利用Ansys軟件，采用間接耦合法，先進(jìn)行穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分析，再進(jìn)行靜力分析生成熱應(yīng)力，然后通過(guò)設(shè)置預(yù)應(yīng)力選項(xiàng)生成總剛度矩陣K'，進(jìn)行模態(tài)分析，最后利用模態(tài)疊加法進(jìn)行不平衡量和熱彎曲耦合響應(yīng)分析，實(shí)現(xiàn)熱-結(jié)構(gòu)-動(dòng)力學(xué)耦合計(jì)算．

2 三維實(shí)體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱振動(dòng)特性分析算例

圖1為某航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的高壓轉(zhuǎn)子，長(zhǎng)度為1．05m．通過(guò)對(duì)實(shí)際高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的簡(jiǎn)化處理，考慮到高壓轉(zhuǎn)子的溫度場(chǎng)較復(fù)雜，并非軸對(duì)稱(chēng)，建立如圖所示的三維實(shí)體有限元模型，高壓轉(zhuǎn)子的兩端簡(jiǎn)化為彈性支承．

圖1 高壓轉(zhuǎn)子有限元模型Fig．1 High － pressure rotor FEM model

2．1 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)對(duì)固有頻率的影響

2．1．1 彈性模量隨溫度變化時(shí)對(duì)固有頻率的影響表1為高壓轉(zhuǎn)子不同停車(chē)時(shí)刻，轉(zhuǎn)子的上下溫差變化，彈性模量隨溫度變化時(shí)轉(zhuǎn)子前5階固有頻率．可見(jiàn)，隨著上下溫差的增加、溫度升高，轉(zhuǎn)子的彈性模量降低，即轉(zhuǎn)子的剛度降低，各階固有頻率也隨之降低．通過(guò)圖2可以看得到，隨著徑向溫差的增大前兩階固有頻率變化幅度相對(duì)后三階變化幅度較小，而且隨著上下溫差的增大，變化幅度趨于穩(wěn)定．較高階的固有頻率變化幅度較大，而且其變化幅度有繼續(xù)增大的趨勢(shì)，第三階固有頻率的變化幅度最大．

圖2 彈性模量變化對(duì)固有頻率的影響的比較Fig．2 Comparative diagram of the impact on the natural frequency with the change of elasticity module

表1 表1彈性模量變化對(duì)固有頻率的影響Table 1 Effect of elasticity module on the natural frequency

2．1．2 彈性模量和熱應(yīng)力耦合對(duì)固有頻率的影響

表2為高壓轉(zhuǎn)子不同停車(chē)時(shí)刻，隨轉(zhuǎn)子上下溫差變化、彈性模量、熱應(yīng)力耦合變化時(shí)(簡(jiǎn)稱(chēng)耦合變化)的前5階固有頻率．可見(jiàn)，由于不均勻膨脹產(chǎn)生的熱應(yīng)力導(dǎo)致了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度變化從而改變轉(zhuǎn)子的固有頻率，隨著上下溫差的增加各階固有頻率均降低．通過(guò)圖3可以看到，隨著上下溫差的增大前兩階固有頻率變化幅度相對(duì)較小，高階固有頻率的變化幅度較大，隨著上下溫差的增大變化幅度趨于穩(wěn)定，第四階固有頻率的變化幅度最大，減小了接近20%．顯然，彈性模量與熱應(yīng)力耦合變化對(duì)固有頻率的影響要遠(yuǎn)大于單純考慮彈性模量變化對(duì)固有頻率的影響．

圖3 耦合變化對(duì)固有頻率的影響Fig．3 Effect of coupling variety on the natural frequency

表2 耦合變化對(duì)固有頻率的影響Table 2 Effect of coupling variety on the natural frequency

2．2 不平衡量和熱彎曲耦合響應(yīng)

2．2．1 熱彎曲響應(yīng)

圖4～6為考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速800rad/s，下邊緣溫度為200℃，上下溫差分別為10℃、20℃、30℃時(shí)，二級(jí)盤(pán)、九級(jí)盤(pán)、高壓渦輪二級(jí)盤(pán)考慮彈性模量隨溫度變化時(shí)的熱彎曲響應(yīng)．由圖可見(jiàn)，由于溫度的增加，彈性模量降低，轉(zhuǎn)子變形增大，各階固有頻率對(duì)應(yīng)的響應(yīng)幅值均增加．由于各階固有頻率減小，導(dǎo)致共振區(qū)都相對(duì)前移;前三階模態(tài)對(duì)熱彎曲響應(yīng)貢獻(xiàn)相對(duì)較大，尤其是九級(jí)盤(pán)的第三階固有頻率對(duì)應(yīng)的響應(yīng)幅值增加幅度較大，同樣驗(yàn)證了前面的結(jié)論，即第三階固有頻率對(duì)彈性模量的變化較為敏感．

圖4 徑向溫差為10℃，轉(zhuǎn)子熱彎響應(yīng)Fig．4 Thermal bending response of rotor when the radial temperature difference is 10℃

圖5 徑向溫差為20℃，轉(zhuǎn)子熱彎響應(yīng)Fig．5 Thermal bending response of rotor when the radial temperature difference is 20℃

圖6 徑向溫差為30℃，轉(zhuǎn)子熱彎響應(yīng)Fig．6 Thermal bending response of rotor when the radial temperature difference is 30℃

圖7 徑向溫差為10℃時(shí)，不平衡量與熱彎耦合響應(yīng)Fig．7 Coupling response of unbalance and thermal bending when the radial temperature difference is 10℃

2．2．2 不平衡量和熱彎曲耦合響應(yīng)

圖7～9為考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速800rad/s，下邊緣溫度為200℃，九級(jí)盤(pán)存在不平衡量時(shí)，徑向溫差分別為10℃、20℃、30℃時(shí)，二級(jí)盤(pán)、九級(jí)盤(pán)、高壓渦輪二級(jí)盤(pán)不平衡量和熱彎曲耦合的穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)的幅值譜圖．由圖可見(jiàn)，各級(jí)盤(pán)的三、四、五階固有頻率對(duì)耦合響應(yīng)比較敏感．九級(jí)盤(pán)對(duì)三、四階固有頻率最為敏感，其響應(yīng)幅值遠(yuǎn)大于不平衡響應(yīng)和熱彎曲響應(yīng)，它們對(duì)耦合響應(yīng)的貢獻(xiàn)要大于一、二階模態(tài)的貢獻(xiàn)．渦輪盤(pán)二級(jí)耦合響應(yīng)對(duì)各階模態(tài)均較敏感，與不平衡響應(yīng)和熱彎曲響應(yīng)相比三、四階模態(tài)對(duì)耦合響應(yīng)的貢獻(xiàn)增大．

圖8 徑向溫差為20℃時(shí)，轉(zhuǎn)子不平衡量與熱彎耦合響應(yīng)Fig．8 Coupling response of unbalance and thermal bending when the radial temperature difference is 20℃

圖9 徑向溫差為30℃時(shí)，轉(zhuǎn)子不平衡量與熱彎耦合響應(yīng)Fig．9 Coupling response of unbalance and thermal bending when the radial temperature difference is 30℃

3 結(jié)論

研究了某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子多種工況下的線(xiàn)性溫度分布對(duì)高壓轉(zhuǎn)子固有頻率和不平衡響應(yīng)的影響，得出了一些具有理論和工程實(shí)踐指導(dǎo)意義的結(jié)論．

1)通過(guò)彈性模量變化對(duì)固有頻率的影響與彈性模量與熱應(yīng)力耦合變化對(duì)固有頻率的影響的對(duì)比，表明彈性模量與熱應(yīng)力耦合變化對(duì)固有頻率的影響要遠(yuǎn)大于單純考慮彈性模量變化對(duì)固有頻率的影響．可見(jiàn)，在對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)研究中，必須考慮彈性模量與熱應(yīng)力耦合變化對(duì)固有頻率的影響．

2)通過(guò)不平衡量與熱彎曲耦合穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)，耦合響應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)有較大影響，且對(duì)高階模態(tài)響應(yīng)較敏感，應(yīng)盡量避免停車(chē)后短時(shí)間內(nèi)迅速啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)．

1 鄭東亞，丁水汀，杜發(fā)榮等．微小型渦噴轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)熱工作穩(wěn)定性分析及試驗(yàn)驗(yàn)證．航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2010，(6):1340～1345(Zheng D Y，Ding S T，Du F R．Analysis and experimental verification of structure－thermal running stability for micro turbojet engine rotor．Journal of Aerospace Power，2010，(6):1340 ～1345(in Chinese))

2 姚學(xué)詩(shī)，周傳榮．轉(zhuǎn)子的熱膨脹與橫向振動(dòng)．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20(3):118 ～12(Yao X S，Zhou C R．Thermal expansion and transverse vibration of rotor．Chinese Journal of Applied Mechanics，2003，20(3):118 ～ 12(in Chinese))

3 晏水平，黃樹(shù)紅．汽輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子溫度分布對(duì)其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2000，20(11):10～13(Yan S P，and Huang S H．Impact of temperature distribution on the torsional vibration of trubogenerator rotors．Proceedings of the CSEE，2000，20(11):10 ～ 13(in Chinese))

4 賀威，袁惠群．多盤(pán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱啟動(dòng)過(guò)程中瞬態(tài)響應(yīng)分析．機(jī)械制造，2011，49(3):17～19(He W，Yuan H Q．Analysis of transient response in process of thermal start of multi－disc rotor system ．Machinery，2011，49(3):17 ～19(in Chinese))

5 朱向哲，袁惠群，張連祥．汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)熱振動(dòng)特性的研究．動(dòng)力工程，2008，28(3):377 ～380(Zhu X Z，Yuan H Q，Zhang L X．Study on characteristics of steady thermal vibration of stream turbine’s rotor system．Power Engineering，2008，28(3):377 ～380(in Chinese))

6 朱向哲，袁惠群，賀威．穩(wěn)態(tài)熱度場(chǎng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響．振動(dòng)與沖擊，2007，26(12):113～116(Zhu X Z，Yuan H Q，He W．Effect of steady－state thermal field on critical speed of rotor system．Journal of Vibration and Shock，2007，26(12):113～116(in Chinese))

7 Ribeiro P，Manoach E．The effect of temperature on the large amplitude vibrations of curved beams．Journal of Sound and Vibration，2005，285(4/5):1093 ～1107

8 鐘一諤，何衍宗，王正等．轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)．北京:清華大學(xué)出版社，1988(Zhong Y E，He Y Z，Wang Z．Rotor dynam－ic．Beijing:Tsinghua University Press．1988(in Chinese))

9 王士敏．轉(zhuǎn)子通過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)碰摩熱效應(yīng)對(duì)振動(dòng)特性的影響．動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2004，2(3):64～69(Wang S M．The effect of rub－impact thermal effects on vibration characteristics of a rotor passing through critical speed．Journal of Dynamics and Control，2004，2(3):64 ～ 6 9(in Chinese ))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(51275081)and Shenyang Science and Technology Plan Projects(F10－205－1－35)

? Corresponding author E－mail:yuan_hq@163．com

ANALYSIS OF THERMAL-STRUCTURAL COUPLING RESPONSE OF 3D SOLID ROTOR SYSTEM*

Li Yan1Yuan Huiqun2?Liang Mingxuan1He Wei3
(1．College of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang110004，China)(2．College of Science，Northeastern University，Shenyang110004，China)(3．College of Higher Vocational Technical，Shenyang Agricultural University，Shenyang110122，China)

With the high－pressure rotor system of an aero－engine as the object of study，in the context of uneven radial distribution of steady－state temperature field，the paper established a FEM model of 3D solid elements of a high－pressure rotor system and vibration equation of thermal－structural coupling model of 3D solid rotor system in the steady－state temperature field．An analysis of the steady－state temperature field was carried out by indirect coupling method using thermal－structural－dynamic coupling theory．Then，A static analysis to generate thermal stress，and global stiffness matrix were performed by setting prestress option to make a modal analysis，F(xiàn)inally，the coupling response of unbalance and thermal bending by modal superposition method were implemented to realize thermal－structural－dynamic coupling computation．Based on the analysis of the effect of steady－state temperature field on steady－state response of typical stage discs and analysis of steady－state response of coupling of unbalance and thermal bending，it can be concluede that the coupling response has a big effect on vibration response of different－stage discs of the rotor system．

three－dimensional solid rotor system， finite element method， natural frequency， steady thermal field， thermal－structural coupling response

26 April 2013，

19 June 2013．

10．6052/1672－6553－2013－091

2013－04－26 收到第 1 稿，2013－06－19 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金(51275081)資助項(xiàng)目，沈陽(yáng)市科技計(jì)劃項(xiàng)目(F10－205－1－35)

E－mail:yuan_hq@163．com