呂海煒 李映輝 劉啟寬 李亮

(1．西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 6 10031)(2．昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，昆明 6 50214)

軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁的橫向振動(dòng)*

呂海煒1?李映輝1劉啟寬2李亮1

(1．西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 6 10031)(2．昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，昆明 6 50214)

研究了小擾度下軸向勻速運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁的振動(dòng)模態(tài)和固有頻率．基于Kelvin粘彈性本構(gòu)方程，建立了軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁橫向振動(dòng)控制方程．分別采用Galerkin截?cái)嗪蛷?fù)模態(tài)分析方法，研究兩端簡支的粘彈性夾層梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)，討論了軸向運(yùn)動(dòng)速度、夾心層與約束層厚度比、初始軸力等參數(shù)對(duì)夾層梁固有頻率、臨界速度及穩(wěn)定性的影響．

粘彈性夾層梁， 橫向振動(dòng)， Galerkin截?cái)啵?復(fù)模態(tài)分析法， 穩(wěn)定性

引言

粘彈性夾層材料廣泛應(yīng)用于列車車廂、汽車和航天器展開附件、風(fēng)力機(jī)葉片、飛機(jī)蒙皮、高速飛行導(dǎo)彈、潛艇等的減振降噪．Mote［1－3］和 Chen［4－5］等人的研究表明，物質(zhì)的軸向運(yùn)動(dòng)將誘發(fā)產(chǎn)生橫向振動(dòng)，振動(dòng)強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)速度、初始軸力等密切相關(guān)，并且運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到或超過某臨界值時(shí)，將導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，因此對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁的研究具有非常大的工程應(yīng)用價(jià)值．

軸向運(yùn)動(dòng)的材料的穩(wěn)定性問題受到眾多學(xué)者的關(guān)注．Mote［1－3］引領(lǐng)了最早的關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)的研究，Chen和Yang［4］利用多重尺度法研究了軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性梁的穩(wěn)定性，Yang和Chen［5］利用多重尺度法研究了兩種非線性情況下軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性梁的強(qiáng)迫振動(dòng)，Ames［6］研究了平面周期激勵(lì)下移動(dòng)螺紋線的運(yùn)動(dòng)，他指出此運(yùn)動(dòng)是非線性的，而且由于臨界速度的影響，運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)大的跳躍，Thurman和Mote［7］利用攝動(dòng)法研究了線性和非線性基本周期的偏差和速度之間關(guān)系，Tabarrok［8］研究的梁的長度隨時(shí)間變化，他得到了四個(gè)偏微分方程，Wickert和Mote［9］利用對(duì)稱和反對(duì)稱微分算子來勾畫運(yùn)動(dòng)方程，然后利用Green函數(shù)法得到了臨界運(yùn)動(dòng)速度，Wickert［10］分析了亞臨界和超臨界速度下非線性軸向運(yùn)動(dòng)梁，Stylianou和 Tabarrok［11］利用有限元分析得到了數(shù)值解，然后研究了集中質(zhì)量和軸向運(yùn)動(dòng)頻率對(duì)橫向振動(dòng)的影響，Oz［12］研究了弦線和梁之間的過渡行為，利用擾動(dòng)分析，構(gòu)建了變速梁的一個(gè)解，Oz和Pakdemirli［13］利用多尺度法研究運(yùn)動(dòng)方程，得到了軸向加速彈性預(yù)緊梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，最后詳細(xì)研究了主參數(shù)共振問題．

可見，軸向運(yùn)動(dòng)(粘彈性)梁的研究受到很大關(guān)注，但對(duì)軸向運(yùn)行粘彈性夾層結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性(固有頻率，損耗因子等)及穩(wěn)定性影響的研究較少，為此本文將通過建立軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁的橫向振動(dòng)方程，分別采用Galerkin截?cái)嗪蛷?fù)模態(tài)分析方法，研究橫向振動(dòng)特性，討論其夾心層比率和軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)其橫向振動(dòng)特性的影響．

1 控制方程

對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)夾層梁，本文采用下列基本假設(shè):

(1)不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形影響;

(2)只考慮橫向位移;

(3)橫截面變形滿足平面假設(shè);

(4)層和層之間沒有滑移;

(5)層和層之間的橫向位移一致．

圖1為以速度Ve沿x軸運(yùn)動(dòng)的兩邊簡支的粘彈性夾層梁，長度為a，寬度為b，厚度為H，初始軸力為P0．上下約束層為彈性材料，其厚度為hs/2，彈性模量為Es，密度為ρs，夾心層為Kelvin粘彈性材料，其厚度為hc，彈性模量為 Ec，密度為 ρc，粘彈性阻尼系數(shù)為η．

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁Fig．1 Axially moving viscoelastic sandwich beam

［14］，可知大變形下軸向勻速運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁橫向振動(dòng)方程的無量綱形式為

若考慮小變形，則無量綱控制方程為

不考慮夾層的粘彈性，其控制方程為

其簡支邊界條件為

簡化的方程(3)可利用復(fù)模態(tài)分析法精確求解，但是對(duì)于方程(2)復(fù)模態(tài)法失效，此時(shí)可采用Galerkin方法近似求解．

2 軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁振動(dòng)特性

2．1 Galerkin截?cái)喾?/h3>

對(duì)方程(2)使用Galerkin截?cái)喾ㄇ蠼猓O(shè)方程(2)解的形式為

其中φn(x)是滿足邊界條件的試函數(shù)，通常取

將方程(5)帶入方程(2)，得系統(tǒng)的殘差為

由Galerkin方法得

取N=1，得系統(tǒng)的一階Galerkin截?cái)?/p>

取N=2，得系統(tǒng)的二階Galerkin截?cái)?/p>

設(shè)方程(9)和(11)解的形式{T}={c}eλt，將其代入方程(9)和(11)，得系統(tǒng)的特征方程為

求解特征方程得軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁的失穩(wěn)形式及相應(yīng)臨界速度．

2．2 復(fù)模態(tài)分析法

設(shè)方程(3)的解的形式為［14］其中ωn為無量綱的圓頻率，Yn(x)為模態(tài)函數(shù)，An(T1)為振幅，cc表示前面函數(shù)的共軛．

把方程(14)帶入方程(3)有

則方程(3)的特征函數(shù)為

由邊界條件(4)可得到模態(tài)函數(shù)Yn(x)滿足

由方程(16)以及上面的邊界條件，可以得到系數(shù)Cjn滿足

上述方程組有非零解的條件為系數(shù)行列式為零，從而得到系統(tǒng)的頻率方程［14］

且可求出系數(shù)Cjn(j=2，3，4)．對(duì)于給定的參數(shù)，由方程(17)以及頻率方程(20)可以數(shù)值求解ωn(n=1，2，…)和 βjn(j=1，2，3，4;n=1，2，…)．

軸向勻速運(yùn)動(dòng)的梁橫向振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)為［14］

隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加，梁的各階固有頻率一一消失，使得固有頻率消失的那個(gè)速度點(diǎn)，我們稱之為臨界速度．對(duì)于兩端簡支的軸向運(yùn)動(dòng)梁，其臨界速度為［15］

3 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果

本文粘彈性夾層梁的幾何尺寸及材料參數(shù)如表 1、2:

表1 粘彈性夾層梁的幾何尺寸Table 1 Geometry size of viscoelastic sandwich beam

表2 粘彈性夾層梁的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of viscoelastic sandwich beam

初始軸力:P0=500(N)，軸向運(yùn)動(dòng)速度:Ve=20(m/s)．

3．1 粘彈性項(xiàng)對(duì)固有頻率的影響

圖2給出了夾心層厚度為0．08m時(shí)Galerkin方法下粘彈性系數(shù)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響．由圖2可以看出，粘彈性系數(shù)對(duì)系統(tǒng)的固有頻率沒有影響．為此以下均是利用兩種方法求解方程(3)．

圖2 粘彈性項(xiàng)對(duì)固有頻率的影響Fig．2 The effect of viscoelastic coefficient on natural frequencies

3．2 軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)固有頻率的影響

圖3給出夾心層厚度為0．08m時(shí)系統(tǒng)固有頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化情況．由圖3可看出在未達(dá)到臨界速度之前，一階 Galerkin截?cái)嗯c二階Galerkin截?cái)嘁约皬?fù)模態(tài)分析計(jì)算結(jié)果隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化趨勢一致，都隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加，固有頻率減?。浑AGalerkin截?cái)嗖贿m合描述軸向運(yùn)動(dòng)速度超過臨界速度的情形．當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到214m/s時(shí)，粘彈性夾層梁運(yùn)動(dòng)失穩(wěn);當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)一步達(dá)到428m/s時(shí)，一階模態(tài)趨于穩(wěn)定;當(dāng)速度繼續(xù)增加，一階模態(tài)和二階模態(tài)發(fā)生耦合，產(chǎn)生耦合模態(tài)顫振．

圖3 軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)固有頻率的影響Fig．3 The effect of axial tension on natural frequencies

3．3 夾心層的厚度對(duì)固有頻率的影響

圖4給出了三種方法求出的系統(tǒng)固有頻率隨夾心層厚度的變化情況．由圖4可以看出，隨夾心層厚度的增加，固有頻率減?。?/p>

圖4 夾心層的厚度對(duì)固有頻率的影響Fig．4 The effect of thickness of core layer on natural frequencies

3．4 初始軸力對(duì)固有頻率的影響

圖5給出了夾心層厚度為0．08m時(shí)三種方法求出的系統(tǒng)固有頻率隨初始軸力的變化情況．由圖5可以看出隨初始軸力的增加，固有頻率減小，一階模態(tài)和二階模態(tài)發(fā)生耦合顫振的速度減?。?/p>

3．5 夾心層的厚度對(duì)臨界速度的影響

圖6給出了Galerkin截?cái)喾ㄒ约皬?fù)模態(tài)分析法求出的系統(tǒng)的臨界速度隨夾心層的厚度變化情況．由圖6可以看出隨夾心層厚度的增加，系統(tǒng)的臨界速度先增大后減小，說明系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的速度先滯后后提前．

圖5 初始軸力對(duì)固有頻率的影響Fig．5 The effect of axial tension on natural frequencies

圖6 夾心層的厚度對(duì)臨界速度的影響Fig．6 The effect of thickness of core layer on critical velocity

3．6 初始軸力對(duì)臨界速度的影響

圖7 初始軸力對(duì)臨界速度的影響Fig．7 The effect of axial tension on critical velocity

圖7給出了夾心層厚度為0．08m時(shí)Galerkin截?cái)喾ㄒ约皬?fù)模態(tài)分析法求出的系統(tǒng)的臨界速度隨初始軸力的變化情況．由圖7可以看出隨初始軸力的增加，系統(tǒng)的臨界速度增加，說明系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的速度將提前．

3．7 模態(tài)函數(shù)

圖8給出了夾心層厚度為0．08m時(shí)三種方法所對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)．

圖8 模態(tài)函數(shù)Fig．8 Mode function

4 結(jié)論

本文通過研究小撓度下軸向勻速運(yùn)動(dòng)粘彈性夾層梁的橫向振動(dòng)，得到如下結(jié)論:

(1)粘彈性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的固有頻率和穩(wěn)定性影響不大;

(2)在未超過臨界速度前，無論一階、二階Galerkin截?cái)噙€是復(fù)模態(tài)分析，在定性描述系統(tǒng)特征上三者相同，但一階截?cái)嗖贿m合描述軸向運(yùn)動(dòng)速度超過臨界速度的情形;

(3)當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度小于一階臨界速度時(shí)，固有頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加而減小;隨夾心層厚度的增加而減小;隨軸力的增加而逐漸減小;

(4)當(dāng)速度大于二階臨界速度小于發(fā)生耦合模態(tài)顫振的速度時(shí)，一階固有頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加而增加;

(5)臨界速度隨著夾心層厚度的增加先增加后減小，隨軸力的增加而增加．

1 Mote C D Jr．A study of band saw vibration．Journal of the Franklin Institute，1965，279(6):430～444

2 Mote C D Jr．On the non－linear oscillation of an axially moving string．Journal of Applied Mechanics，1966，33(2):463～464

3 Mote C D Jr．Dynamic stability of axially moving materials．Shock and Vibration Digest，1972，4(4):2 ～11

4 Chen L Q，Yang X D．Vibration and stability of an axially moving viscoelastic beam with hybrid supports．European Journal of Mechanics A/Solids，2006，25(6):996～1008

5 Yang X D，Chen L Q．Non－linear forced vibration of axially moving viscoelastic beams．Acta Mechanic Solida Sinica，2006，19(4):365～373

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7 Thurman A L，Mote C D Jr．Free，periodic，non－linear oscillation of an axially moving strip．Journal of Applied Mechanics，1969，36(1):83～91

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9 Wickert J A，Mote C D Jr．Classical vibration analysis of axially continua．Journal of Applied Mechanics，1990，57(3):738～744

10 Wickert J A．Non－linear vibration of a traveling tensioned beam．International JournalofNon-linearMechanics，1992，27(3):503～517

11 Stylianou M，Tabarrok B．Finite element analysis of an axially moving beam，Part I:time integration．Journal of Sound and Vibration，1994，178(4):433 ～453

12 Oz H R，Pakdemirli M，Ozkaya E．Transition behavior from string to beam for an axially accelerating material．Journal of Sound and Vibration，1998，215(3):571～576

13 Oz H R，Pakdemirli M．Vibration of an axially moving beam with time dependent velocity．Journal of Sound and Vibration，1999，227(2):239～257

14 Lv H W，Li Y H，Liu Q K，Li L．Analysis of transverse vibration of axially moving viscoelastic sandwich beam with time－dependent velocity．Advanced Materials Research，2011，338:487～490

15 楊曉東．軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性梁的橫向振動(dòng)分析［博士學(xué)位論文］．上海:上海大學(xué)出版社，2009:22(Yang X D．Analysis of transverse vibration of axially moving viscoelastic beam ［PhD Thesis］．Shanghai:Shanghai University Press，2009(in Chinese))

*The project supported by the Natural Science Foundation of China(11072204)，the Fundamental Research Funds for the Central Universities(SWJTU11ZT15)and Research Project Funds of Kunming University for introducing the talent(YJL12005)

? Corresponding author E－mail:lvhaiwei007@163．com

TRANSVERSE VIBRATION OF AXIALLY MOVING VISCOELASTIC SANDWICH BEAM*

Lv Haiwei1?Li Yinghui1Liu Qikuan2Li Liang1
(1．School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu610031，China)(2．Department of Mathematics，Kunming University，Kunming650214，China)

The transverse vibration of an axially moving viscoelastic sandwich beam with small deflection was investigated．Based on the Kelvin differential constitutive equation，the transverse controlling equation was established．The eigenfunctions of the axially moving viscoelastic sandwich beam with simple supported boundary condition were obtained by using Galerkin truncation and complex mode analysis．The influence of the ratio of the core layer，axially moving velocity and axial tension on the natural frequencies and critical velocity were discussed by using numerical method．

viscoelastic sandwich beam， transverse vibration， galerkin truncation， multiple scales method，stability

27 June 2012，

3 July 2012．

10．6052/1672－6553－2013－038

2012－06－27 收到第 1 稿，2012－07－03 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072204)，中央高?？蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專題項(xiàng)目(SWJTU11ZT15)，昆明學(xué)院引進(jìn)人才科研先項(xiàng)目資助(YJL12005)

E－mail:lvhaiwei007@163．com