江蘇省建湖高級中學(xué) 劉友明 （郵編：224700）

解析幾何問題以其獨特的魅力活躍在每年的各大省份及全國的高考試卷中，且常常以壓軸題，拉分題自居，深得出卷人的青睞，是考查學(xué)生處理數(shù)與形問題能力的一塊良土.學(xué)生常因數(shù)據(jù)處理能力不足，出錯率較高，無法順利完成解答，在“數(shù)與形的轉(zhuǎn)化”，找“幾何關(guān)系特征”，“化簡計算”等環(huán)節(jié)有很大欠缺，進(jìn)而喪失了信心.那么如何才能幫助學(xué)生建立自信，并對解析幾何問題產(chǎn)生濃厚興趣呢？前提就是要求老師能在此方面作一些研究，探尋一條解幾問題命題的規(guī)律及途徑，當(dāng)然這就對教師提出了更高的要求.以下本人就近兩年考題作一些研究，以期能與讀者共勉.

1 課本及各大省份的考題背景是產(chǎn)生考題的一塊熱土——研究、探索、推廣考題是我們的方向

1.1 學(xué)會變換圖形的位置 —— 力求能對問題從一個角度出發(fā)達(dá)到多方位的效果，從而可以提高學(xué)生的變位思考能力.

按照德國大數(shù)學(xué)家克萊茵的觀點，我們所研究的幾何圖形的種種性質(zhì)，只不過是研究幾何圖形在各種幾何變換下的不變性和不變量.通過感知和學(xué)習(xí)圖形的變換，不僅有助于學(xué)生從運動變化的角度去認(rèn)識事物，去了解圖形之間的聯(lián)系，從而發(fā)展他們的幾何直覺，而且還能有利于學(xué)生感受，欣賞圖形的美，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的好奇心，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能.2011江蘇卷與2012湖北卷兩題的最后一問實際上就是變換了圖形的位置，湖北卷將江蘇卷中“過P作x軸的垂線”改為“過P作y軸的垂線”，其它條件完全一樣，最后問題的設(shè)置也是相同的，處理的方法就是轉(zhuǎn)化為斜率之積為－1，具體處理方法可見原高考參考答案，或可利用本文的推論1.2直接解出結(jié)果.

1.2 學(xué)會能將具體問題一般化 —— 力求推出一般性的結(jié)論，從而可以拓寬學(xué)生的視野，達(dá)到會一題而知一類的良好效果.

數(shù)學(xué)概念舍棄了具體形象的支撐而升華為抽象的文字，學(xué)生不易接受，但作為教者一定要有這樣的能力和敏感直覺，對于2011江蘇題如果我們再任意取一橢圓是否還有此完美的性質(zhì)（垂直）呢？如果有那就太完美了，如果沒有又會有什么規(guī)律可循呢？當(dāng)然這就要求我們教師提前作一些準(zhǔn)備.我們可以借助幾何畫板很輕松地得到一些數(shù)據(jù)，從而猜想并推導(dǎo)出結(jié)論，將之升華為一般性結(jié)論傳授給學(xué)生，當(dāng)然這中間過程的艱辛，也可讓學(xué)生作一些參與，從而減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，大大提高了課堂的效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.2011江蘇卷及2012湖北卷的最后一問實際上源于同一處理方法的兩個結(jié)論，其結(jié)果是一個定值.（推導(dǎo)過程可參考文［1］）

當(dāng)然讀者也可仿此將橢圓焦點放在y軸上推導(dǎo)出一般結(jié)論.通過對問題一般性結(jié)論的研究，不言而喻會對學(xué)生有很大的沖擊力，從而對這一類問題有了本質(zhì)的理解，而不是就題論題，搞題海戰(zhàn)術(shù).

王禹偁也繼承了韓愈的觀點，其《答張扶書》曰：“夫文，傳道明心也，古圣人不得已而為之也”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊，《王禹偁·答張扶書》，成都：巴蜀書社，1989年，第357頁。 ，強(qiáng)調(diào)文句必須“遠(yuǎn)師六經(jīng)，近師吏部。使句之易道，義之易曉，又輔之以學(xué)，助之以氣”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊，《王禹偁·答張扶書》，成都：巴蜀書社，1989年，第358頁。 。又《三黜賦》曰：“屈于身兮不屈其道，任百謫而何虧? 吾當(dāng)守正直兮佩仁義，期終身以行文。”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊，《王禹偁·三黜賦》，成都：巴蜀書社，1989年，第210頁。

1.3 學(xué)會從圓、橢圓、雙曲線、甚至拋物線之間找聯(lián)系——類比可以使知識得以拓展，從而可以激發(fā)學(xué)生探索未知的欲望.

類比法在高中數(shù)學(xué)的許多方面都發(fā)揮著積極作用，它是人類獲得新知識和解決問題的重要途徑.美國數(shù)學(xué)家波利亞對類比法推崇倍至，他在《怎樣解題》的第三部分談到：“在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無不充滿了類比.類比可在不同的水平使用……”“我們希望能預(yù)測結(jié)果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測結(jié)果的某些特征，這種似乎可信的預(yù)測通常是以類比為基礎(chǔ)的.”

類比推理具有如下形式：A具有性質(zhì)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，P；B具有性質(zhì)F′1，F(xiàn)2′，…，F(xiàn)n′，推測B具有性質(zhì)P′，這里P′分別與F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，P相同或相似，A和B指不同的對象或不同的事物.對題1、2我們也可將結(jié)論類比推廣到雙曲線：

當(dāng)然讀者也可仿此將雙曲線焦點放在y軸上甚至可以將它類比到圓中推導(dǎo)出一般結(jié)論.

2 利用多媒體是產(chǎn)生新穎考題的又一新的領(lǐng)域——會用、善用、創(chuàng)新利用幾何畫板是我們的追求

幾何畫板是指專門用于數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”的計算機(jī)軟件，在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中有著重要的作用.代數(shù)公式的推導(dǎo)，圖形與坐標(biāo)的結(jié)合，函數(shù)規(guī)律的研究，統(tǒng)計與概率的模擬與仿真等，借助它可以很形象直觀地幫我們了解甚至理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

2.1 利用幾何畫板可以幫我們尋找題目的根源——強(qiáng)化我們對問題本質(zhì)的認(rèn)識.

圖①

圖②

同時我們不免有這樣的沖動，如果圓為定圓，變化橢圓得到的軌跡又會如何呢？（如圖③）看似一雙曲線部分圖象，是否是雙曲線呢？經(jīng)過艱難的推導(dǎo)我們又會得到一個意外的收獲.

圖③

證明 設(shè)A（x1，y1），則B（x1，－y1），直線A1A的方程為

直線A2B的方程為

它告訴我們，幾何畫板雖然很形象，但也有迷惑性，結(jié)論還需我們加以驗證與推導(dǎo)方可知其真?zhèn)?

2.2 利用幾何畫板可將自己的一些奇思妙想，甚至一個失誤變成一個美妙的結(jié)論——培養(yǎng)我們的創(chuàng)新能力

由于本人的失誤，誤將圓與x軸的兩個交點E、F分別當(dāng)作點A1與A2，此時得到了如下圖④的軌跡，其形如一雙曲線的部分圖象.這次又是否正確呢？經(jīng)推導(dǎo)喜得：

圖④

以上僅為本人對近兩年高考題中出現(xiàn)的解析幾何題的一點思考，推導(dǎo)出來的一些結(jié)論也僅僅是茫茫解析幾何中的一個小不點而已，特別是幾何畫板給我們帶來的魅力及挑戰(zhàn)，需要我們不斷地學(xué)習(xí).本文希望以此給讀者帶來教學(xué)和研究上的一點啟示，僅此而已.

1 劉友明.一道試題多重價值［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011（7）