廣東省惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 林鴻德 （郵編：516007）

數(shù)列是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)，是歷年高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.以近幾年廣東試題看，既有選擇題或填空題，又有綜合題.但是從歷年高考考試情況反映，數(shù)列綜合題是大部分考生認(rèn)為較難的題型.以下通過對(duì)近兩年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)數(shù)列綜合題進(jìn)行比較分析，討論高考數(shù)列的命題目的和考查意向，希望能給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一點(diǎn)啟示.

1 試題呈現(xiàn)

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

試題2 （2012年廣東卷理數(shù)，19）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N＊，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列.

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

2 解法探析

對(duì)于問題1和問題2的第（1）問都較為簡單，目的是為考生增加得分機(jī)會(huì)，也為后續(xù)解答增加信心，體現(xiàn)試題的人文關(guān)懷.容易得到試題1中a2＝4及試題2中a1＝1，試題的難點(diǎn)在第（2）問和第（3）問，其中關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的求解.

探究1 構(gòu)造法

根據(jù)2an＝2Sn－2Sn－1（n≥2），得

評(píng)析 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，構(gòu)造與之相關(guān)的輔助模型，使陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題來求解.構(gòu)造法是解決數(shù)列問題的一種重要方法.經(jīng)常把一個(gè)遞推關(guān)系式構(gòu)造成熟悉的等差或等比數(shù)列問題來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，使問題得到簡化.

探究2 數(shù)學(xué)歸納法

同理，令n＝2，得a3＝9＝32；

令n＝3，得a4＝16＝42.

猜想：an＝n2.再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.

試題2 由條件可得a1＝1；an＋1－3an＝2n，從而得a2＝3a1＋2＝3＋2＝32－22

依此類推，則a3＝3a2＋22＝3（3＋2）＋22＝32＋3×2＋22＝33－23；

a4＝3a3＋23＝3（32＋3×2＋22）＋23＝33＋32×2＋3×22＋23＝34－24.

猜想：an＝3n－2n.再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.

評(píng)析 數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種常用的論證方法.它在一些較難的問題中發(fā)揮著重要作用.常用來處理和自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.如數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題，可通過觀察——?dú)w納——猜想——證明的過程來求解.有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想與歸納的合情推理能力.

探究3 放縮法

評(píng)析 數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn)，多數(shù)以壓軸題的形式出現(xiàn).證明此類不等式最常用的方法就是放縮法.在數(shù)列不等式的證明中經(jīng)常把普通數(shù)列的求和放縮化歸為等差、等比數(shù)列等可求和的數(shù)列來求解，這樣就可求出其前n項(xiàng)和，通過這個(gè)和的橋梁作用來完成證明.

3 命題分析

從命題角度看，兩道題所考查的基礎(chǔ)知識(shí)有所不同，但考查的數(shù)學(xué)基本思想、基本能力是一致的，注重對(duì)分類、整合思想和化歸思想的考查，注重對(duì)推理論證能力和運(yùn)算求解能力的考查，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值.

（1）分類與整合思想

在數(shù)學(xué)問題中，有些問題含有多種可能的情況，難以對(duì)它進(jìn)行統(tǒng)一處理時(shí)，只能按其出現(xiàn)各種情況分類進(jìn)行討論，旨在化大為小，化小為了.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，分類好比指南針，它能給我們指明方向.分類討論思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的全過程，不僅能迅速地找到解決問題的切入點(diǎn)，還起到了搭建解決問題的總體框架的作用，使人們?cè)谇逦倪壿嫿Y(jié)構(gòu)中再逐一地解析每一個(gè)具體問題.

在運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系時(shí)，應(yīng)當(dāng)討論n＝1和n≥2的情況.就這兩道試題來看，都需要對(duì)n進(jìn)行討論，在形成分類討論的步驟以后，還要切勿忘掉整合這一步.只有完成上述兩步，才算完成了分類與整合的完整過程.這是大部分考生容易出錯(cuò)的地方，因此，在平時(shí)的練習(xí)中就應(yīng)該養(yǎng)成細(xì)致認(rèn)真的好習(xí)慣.

（2）化歸思想

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，分析、處理和解決問題時(shí)，總是將較復(fù)雜的問題向易解決的方向轉(zhuǎn)化，將陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，即化繁為簡、化難為易、化未知為已知等.一般來說，化歸思想主要體現(xiàn)于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分利用化歸思想，有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，強(qiáng)化其解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維能力.

在利用構(gòu)造法和放縮法求解數(shù)列問題時(shí)，體現(xiàn)的正是化歸思想.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是要求掌握的兩類基本數(shù)列，其他的大部分?jǐn)?shù)列都是通過轉(zhuǎn)化為這兩類數(shù)列來處理的.如試題1是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列來求解，而試題2是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來求解.另外，對(duì)于數(shù)列的求和，則通過放縮化歸為特殊的數(shù)列求和來求解.如試題1將其放縮為兩項(xiàng)的積的形式，再利用裂項(xiàng)相消法求和并完成證明的目的.試題2則是通過放縮化歸為等比數(shù)列求和的形式，再利用公式求和.

（3）推理論證能力

推理是思維的基本形式之一，它由前提和結(jié)論兩部分組成.論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論的一連串的推理過程.推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方式劃分的直接證法和間接證法.一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明.

在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，先通過數(shù)列的前幾項(xiàng)運(yùn)用合情推理的方法對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行猜想，然后再運(yùn)用演繹推理的方法對(duì)猜想的通項(xiàng)公式進(jìn)行證明.這是數(shù)列中常用的一種方法，是高中生應(yīng)當(dāng)熟練掌握的一種處理問題的方法.

（4）運(yùn)算求解能力

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等.運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.

運(yùn)算求解能力是解決數(shù)學(xué)問題的基本能力，對(duì)它的考查成為高考命題者控制題目難易程序的主要手段.“錯(cuò)解”往往是“錯(cuò)算”結(jié)出的苦果.在上述試題中要特別注意的是裂項(xiàng)相消法中消去之后剩下的項(xiàng)，這是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.

總之，從近兩年高考數(shù)列的命題上看，突出基本數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)化能力立意，有效地發(fā)揮了考試的選拔性功能.

4 教學(xué)反思

經(jīng)過上述分析發(fā)現(xiàn)，兩道試題作為高考的綜合題，不需要高深的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就能解決，都是對(duì)基本概念、定理和基本思想方法進(jìn)行考查，以及對(duì)綜合分析能力的考查.從高考的命題角度給我們的教學(xué)帶來一定的啟示：

（1）重視基礎(chǔ)知識(shí)的理解

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，堅(jiān)持了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查，其中強(qiáng)調(diào)注重對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的考查，這就要求我們的教學(xué)應(yīng)注意基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.這是不少教師教學(xué)中比較缺乏的，易造成教學(xué)中重點(diǎn)把握不住，一味地強(qiáng)化訓(xùn)練，其效果不佳.因此，教師要理解所教基礎(chǔ)知識(shí)在高中階段、本章、本節(jié)、本課的地位以及重要性，理解所教基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，理解所教基礎(chǔ)知識(shí)的多方向延伸的出發(fā)點(diǎn)，以及可能的生長方向，做到這樣，基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練才能有度，才能有效，才能達(dá)標(biāo).

（2）切實(shí)認(rèn)識(shí)基本技能的本質(zhì)

基本技能的水平高低，決定于基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度.提高基本技能的運(yùn)用水平就是多練.但僅是一方面，有時(shí)即使練得再多，基本技巧的運(yùn)用水平還是難以提高.其中主要原因是沒有理解基本技巧的本質(zhì)，如求解數(shù)列的通項(xiàng)公式有很多種方法，如倒數(shù)法，很多學(xué)生根本不理解倒數(shù)法的作用是什么.因此，在教學(xué)時(shí)，更要注重引領(lǐng)學(xué)生理解基本技巧的作用.

（3）滲透數(shù)學(xué)基本思想方法

高中數(shù)學(xué)教學(xué)是貫穿數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).數(shù)學(xué)教育家傅仲孫先生說過：“思想方法為經(jīng)，教材知識(shí)為緯.”在實(shí)際教學(xué)中，許多教師卻往往忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，或者覺得太虛空，無法準(zhǔn)確把握.這實(shí)際上是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識(shí)不到位的體現(xiàn).學(xué)好數(shù)學(xué)，不等于拼命做習(xí)題、背公式，而是著重領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，了解數(shù)學(xué)在文明發(fā)展中所起的關(guān)鍵作用，自覺接受數(shù)學(xué)文化的熏陶.只有這樣，才能從根本上體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，并為全民族思想文化素質(zhì)的提高夯實(shí)基礎(chǔ).因此，在教學(xué)的過程中，不能只注重解題訓(xùn)練和題型歸納，要重視對(duì)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展及運(yùn)用的全過程中，需要在平時(shí)教學(xué)中時(shí)刻滲透，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)，逐個(gè)認(rèn)識(shí)其本質(zhì)特征和思維特點(diǎn)，主動(dòng)地、有意地將這些思想方法滲透到解題過程中去.

（4）注重?cái)?shù)學(xué)能力的提高

命題者以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，以此來檢測考生將知識(shí)遷移到不同情境中的能力.在教學(xué)中，不應(yīng)追求數(shù)學(xué)解題中的“技巧”，不搞“偏題”、“怪題”.將最基本的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行提升和鞏固，突出思維能力和運(yùn)算能力，及時(shí)引申拓展、培養(yǎng)歸納能力，這樣學(xué)生在高考中才可以達(dá)到融會(huì)貫通、高屋建瓴的境界.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)善于將知識(shí)縱橫聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的提煉和應(yīng)用，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力以及分析問題和解決問題的能力.

1 嚴(yán)士健.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀［M］.南京：江蘇教育出版社，2011

2 李善良等.高中新課程問題與對(duì)策：數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，2012

3 涂榮豹等.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.華東師范大學(xué)出版社，2011

4 林生.平穩(wěn)中重基礎(chǔ) 樸素中透靈氣 常規(guī)中見真功——2012年高考數(shù)學(xué)廣東卷試題評(píng)析與備考建議［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2012，20：27－30

5 左偉群，劉秀湘.穩(wěn)定題型難度，凸顯雙基觀念——2013年高考數(shù)學(xué)廣東卷試題與答卷分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013，8