江蘇省金湖縣實驗中學 高 峰 （郵編：211600）

數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力上具有不可替代的作用.這種育人價值具體體現(xiàn)在：學習用數(shù)學的觀點審視客觀世界，用數(shù)學思想方法自然合理地思考問題，我們稱之為數(shù)學的思維方式.具體的知識容易遺忘，但是這些認知能力的形成，影響著人的一生，從這種意義上說，相比具體的知識和技能等基礎性目標，學會用數(shù)學的思維方式自然地思考問題具有更高的教育價值，這也是數(shù)學教學應該追求的高階目標.那么如何讓學生學會數(shù)學的思維方式呢？中考對教師教學方式和學生學習方式具有引領作用.研究中考題有利于教師的教學觀念的更新，對教學實踐具有良好的借鑒和導向作用.下面就通過一道中考試題來管窺一下這個問題.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2013江蘇連云港中考卷）小明在一次數(shù)學興趣小組活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：

問題情景 如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點F.求證：S四邊形ABCD＝S△ABF.（S表示面積）

問題遷移 如圖2，在已知銳角∠AOB內(nèi)有一定點P.過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N.小明將直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值.請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由.

實際應用 如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部門計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB＝60°，∠POB＝30°，OP＝4km，試求 △MON的面積.（結(jié)果精確到0.1km2）（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）.

2 試題分析

1 試題結(jié)構(gòu)

“問題情境”涉及的圖形是蘇科版八、九年級教材中研究梯形中位線的一個“基本圖形”，即如何將梯形轉(zhuǎn)化為三角形.這是一個教材中被挖掘最多的素材，其中研究與面積有關的問題也是常見的問題.“問題遷移”與“問題情境”相比，表象發(fā)生了很大的變化，似乎兩者沒有什么聯(lián)系，但是本質(zhì)不變，大膽類比、猜想，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論，但要說明道理，就要對新的問題情景認真分析、觸類旁通、靈活轉(zhuǎn)化，才能找到解題的切入點，考查了學生轉(zhuǎn)換和歸納推理的能力，有一定的難度.“實際應用”實際就是以“問題情境”的結(jié)論為載體，直接應用，思維并不復雜.“拓展延伸”實際是要求應用從“問題情境”到“問題遷移”獲得經(jīng)驗并進行應用，這需要去充分消化、吸收這些經(jīng)驗去尋找解決問題的突破口，考查了學生學習和用新知識的能力.

2 思路分析

“問題情境”是一個熟悉的問題，通過對它的解決，一是激發(fā)化歸經(jīng)驗，二是要自覺地把它作為一個“模型”.

“問題遷移”可先從特殊情形入手，這時最易想到的應該是OP與MN垂直和P是MN的中點，但思考證明是難點，即證明其它的情形得到面積都比它小，是一個不常見的證明方法，這里涉及合情推理和演繹推理.在證明時需要思考如何將“問題遷移”的圖形轉(zhuǎn)化為“問題情境”的圖形（如圖5），利用“問題情境”的模型解決問題，其中的關鍵是挖掘一個隱含條件——P是MN的中點.

“實際應用”的圖形與“問題遷移”圖形一致，直接類比應用，但是在求面積時要求高和底，需要通過作垂線，將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形和相似三角形等來解決問題（如圖6），其中融合了三角形中位線、三角函數(shù)、相似三角形等知識.

“拓展延伸”要學會自覺地運用前面的解題經(jīng)驗，首先通過操作可以發(fā)現(xiàn)，直線l的位置有兩種.這時涉及的兩個圖形都是四邊形，而前面“問題情境”的圖形是四邊形，要求的面積是最大值，而“問題遷移”的涉及是三角形的面積是最小值，這時只需要把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，“最大問題”轉(zhuǎn)化為“最小問題”.由于原四邊形面積一定，所以要其中一個最大，只需另一個最小即可（如圖7和圖8）.

3 教學啟示

本題以學生熟悉的問題為背景，以操作探究的形式將問題遞進，進而達成知識的應用，實現(xiàn)知識和信息的遷移和發(fā)展，凸現(xiàn)了對學習自主探究、歸納推理和應用能力的考查.問題解決的過程中，能有效地促進思維方式的形成.

3.1 注重“思維套路”

數(shù)學教育在學校育人的過程中具有獨特的作用，其主要體現(xiàn)在開發(fā)學生的智力，鍛煉學生的邏輯思維，使學生學會認識問題和解決問題的基本方法，并在這個過程中提高推理能力，培育理性精神和創(chuàng)造力.而要實現(xiàn)這個目標的基本途徑就是使學生在認識數(shù)學的基本方法的同時，學會數(shù)學地思考和解決問題.而要達到這一點，必須把握數(shù)學地認識和解決問題的“基本套路”.本題充分體現(xiàn)了數(shù)學地認識和解決幾何問題的一個“基本套路”，即思維方式.

追尋本題的命題思路：“問題情境”給出了一個“基本圖形”并要求探究它的性質(zhì)，這與平時探究三角形、四邊形等“基本圖形”的性質(zhì)是一致的.“問題遷移”只需在新問題的圖形中去尋找或構(gòu)造出“問題情境”的“基本圖形”，然后利用這個“基本圖形”的性質(zhì)即可解決問題，這與平時運用三角形、四邊形等圖形解決問題的思路一致.“實際應用”和“拓展延伸”只需利用在解決“問題遷移”中所獲得的經(jīng)驗來解決問題，即構(gòu)造出“問題遷移”的“基本圖形”即可解決問題.

解決幾何問題的一個“基本套路”就是：首先要認真分析條件，而分析條件就是將條件與相關“基本圖形”結(jié)合起來，利用這個“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應的結(jié)論.有時圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”，這時還需聯(lián)想相關知識作輔助線構(gòu)造出相關的“基本圖形”，再利用這個“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應的結(jié)論，從而達到解決問題的目的.本題綜合考查學生對“數(shù)學整體認識及研究數(shù)學問題的方法”和“形成解決問題的一些基本策略”的能力，這是“數(shù)學”的方法，體現(xiàn)繼續(xù)學習的潛能.

這個“基本套路”還體現(xiàn)了提煉模型，應用模型的過程，這個過程有利于學會遷移知識和方法，形成應用意識.數(shù)學模型實質(zhì)是一個數(shù)學問題在剔除無關信息后的本質(zhì)特征，識別、提煉基本模型，以模解題，能有效地溝通相關問題情境，有效地促進解題過程中知識、方法的正向遷移，打破思維定勢，化陌生為熟悉，化非常規(guī)為常規(guī)，有助于體驗數(shù)學基本經(jīng)驗在解決實際問題中的價值和作用，強化應用意識.

3.2 把握問題設計

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》提出“四基”，其中“基本活動經(jīng)驗”作為一項新目標，學生從事數(shù)學與綜合實踐活動的過程也漸趨走進命題者視野，頗受命題者的青睞.往往通過設計一個“做數(shù)學”和“玩數(shù)學”的活動，讓學生通過觀察、操作、實驗、歸納、類比等系列活動獲得數(shù)學猜想，尋求解釋猜想的合理性并運用提煉的結(jié)論解決現(xiàn)實問題，它是學生形成數(shù)學思維方式的有效過程.

基于此，我們在設計問題時，要多角度、全方位挖掘已選素材的潛力，實現(xiàn)各個問題的承載功能，因此問題的創(chuàng)設要具有得體性和關聯(lián)性，便于學生在解決過程中，汲取多層面的外在顯性知識（如學會某種運算、能畫出某種圖形、獲得某種數(shù)量關系、獲得某種數(shù)學思想……）和潛滋暗長的多元生命感悟以及起著統(tǒng)領全局作用的內(nèi)隱知識（數(shù)學思想）.同時得體性和關聯(lián)性還指問題設置要由淺入深，呈梯度推進，便于學生思維夠得著、可實驗，前面的問題為后繼思維提供必備的基礎，待猜想問題一旦得到驗證，即可解釋前面問題操作的合理性.

本題的第（1）問源自課本，解決方法立足通法——三角形全等，對后繼問題的解決起著心理、知識和方法的鋪墊作用.第（2）問前面部分進行合理猜想獲取結(jié)論，后面說理部分，命題者暗示了借助第（1）問的結(jié)論引申探究，提醒關注知識的生長點和延伸點，處理好局部和整體的關系，弄清楚其中所蘊涵的數(shù)學本質(zhì)，為第（2）、（3）的有效解決提供知識儲備.本題陳述簡明，圖形簡約，構(gòu)造巧妙，問題前后設計逐層遞進，思維引導拾級而上.

3.3 注意體現(xiàn)過程

數(shù)學課程目標包括結(jié)果目標和過程目標，而所有這些目標的達成都源于問題，而問題的解決則在于對“過程”的思考.就價值引領而言，過程比結(jié)果更重要，因為結(jié)果僅是產(chǎn)物，而過程卻是數(shù)學創(chuàng)造的源泉.本題的過程性主要體現(xiàn)在對△MON的面積何時最小的獲得和應用過程，其中伴隨著問題解決的全過程（發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題）.事實上，輔助線的添加過程就是問題解決過程，由于學生添加輔助線的能力較弱，因此不能準確切入，造成思維的斷層和問題的擱淺.

“問題遷移”環(huán)節(jié)，在直觀幾何的幫助下，以直線MN旋轉(zhuǎn)到普通位置為中介，過點M做射線OB的平行線即可獲得△MON的面積最小的直觀理解和理性解釋.“實際應用”環(huán)節(jié)，過點M、P分別作射線OB的垂線，構(gòu)造直角三角形，在“問題遷移”結(jié)論的幫助下，借助直角三角形獲取待求結(jié)論.“拓展延伸”環(huán)節(jié)，在分類思想的統(tǒng)領下，借助已經(jīng)積累的實踐經(jīng)驗，在比較法的參與下，間接獲取截得四邊形面積的最大值為10.

3.4 問題要關注核心

本題并非是解題方法和技巧的機械運用，而是巧妙考查了學生的化歸思想、建模思想、分類思想、方程與函數(shù)思想等，強化了對數(shù)學理性思維能力要求，展現(xiàn)了數(shù)學的學科價值和人文價值.

“基本思想方法、基本活動經(jīng)驗”是《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》新增的課程目標，將原來的“雙基”發(fā)展為“四基”.本題的考查都是從數(shù)學思想方法的視角進行考查，要使得問題得到解決，可歸結(jié)于學生的基本經(jīng)驗.在解決問題的過程中也充分體現(xiàn)了課標中提到的10個核心詞.

在求證S四邊形ABCD＝S△ABF的結(jié)論時，實際上是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積.在解題教學的過程中，我們常常要將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題、將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題、將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，借助已經(jīng)獲得的經(jīng)驗才能解決問題.

“問題情境”到“問題遷移”通過P是MN的中點這一線索，把“問題遷移”進行轉(zhuǎn)化利用“問題情境”的結(jié)論和方法進行求解.而“實際應用”和“拓展延伸”都是直接利用或間接利用“問題遷移”的結(jié)論進求解.解決問題的過程中，是把四個問題看作一個整體，通過尋找它們之間的聯(lián)系，進行類比、轉(zhuǎn)化、遷移，充分體現(xiàn)了“數(shù)學整體認識及研究數(shù)學問題的方法”和“形成解決問題的一些基本策略”的課標理念，這是“數(shù)學”的方法，是重要的思維方式，體現(xiàn)繼續(xù)學習的潛能.