山東省滕州市第一中學(xué)新校 張 彬 （郵編：277500）

1 問題的提出

2013年9月27日，山東省滕州市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課如期開講，講課的課題是人教A版教材必修一中的《函數(shù)的奇偶性》.在課堂教學(xué)中，對于如何引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程，感受奇偶性概念的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣等，14位選手各盡所能，于是就有了14種不同的教學(xué)設(shè)計(jì).筆者有幸作為評委全程參與其中，14節(jié)課聽完之后，對《函數(shù)的奇偶性》這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)有頗多感悟，寫下來與各位老師共同探討！

2 感悟

2.1概念教學(xué)：統(tǒng)一中的驚喜

《函數(shù)的奇偶性》的教學(xué)中，絕大多數(shù)的選手的教學(xué)過程是一樣的.現(xiàn)擷取其中幾個具有代表性片斷作分析.

教學(xué)片斷1

教師展示生活中一些美麗的具有對稱性的圖片，如：巴黎的埃菲爾鐵塔、中國的太極圖、代表喜慶的紅雙喜、雄偉的故宮等圖片.

師：生活中有很多美麗的事物呈現(xiàn)出一些對稱現(xiàn)象，我們數(shù)學(xué)中也有很多對稱現(xiàn)象，你能給出幾個這樣的事例嗎？

生：反比例函數(shù)圖象、正比例函數(shù)圖象.

師：觀察下面兩個函數(shù)圖象，它們有什么共同特征？

生：關(guān)于y軸對稱.

師：我們下面來研究怎樣用代數(shù)表達(dá)式的形式來描述函數(shù)圖象的這種對稱關(guān)系？先來完成下面的對應(yīng)值表.

生：很快的完成了下面的表格

_x … －3 －2 －1 0 1 2 3…_f（x） … 9 4 1 0 1 4 9__…__x … －3－2－1 0 1 2 3…_f（x）… －1 0 1 2 1 0 －1_…_

師：對于函數(shù)f（x）＝x2，我們來觀察f（1）與f（－1）關(guān)系，有何發(fā)現(xiàn)？

生：相等.

師：對于函數(shù)f（x）＝x2，我們來觀察f（2）與f（－2）關(guān)系，有何發(fā)現(xiàn)？

生：相等.

師：對于函數(shù)f（x）＝x2，我們來觀察f（3）與f（－3）關(guān)系，有何發(fā)現(xiàn)？

生：相等

師：那么在定義域內(nèi)任給一個數(shù)x，f（x）與f（－x）是否也是相等的？

生：相等.

對于學(xué)生的猜想，下面老師又用兩種不同的方式來驗(yàn)證其正確性：

（1）利用幾何畫板動態(tài)的演示對于函數(shù)f（x）＝x2，無論數(shù)x是多少，f（x）與f（－x）始終相等.

（2）計(jì)算f（－x）＝ （－x）2＝x2＝f（x）.

然后給出偶函數(shù)的定義：

對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那么f（x）就叫做偶函數(shù).

點(diǎn)評 以上概念的形成過程，大多數(shù)選手的教學(xué)設(shè)計(jì)是統(tǒng)一的，體現(xiàn)出大家對概念教學(xué)的認(rèn)識是一致的.數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情景，提出問題.通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中感知概念，形成感性認(rèn)識，通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性.

多數(shù)選手注重引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程中認(rèn)識概念，這是值得欣喜的一面.

教學(xué)片斷2

師：對于函數(shù)f（x）＝x和f（x）＝，我們利用前面的研究方法，來觀察對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個x，f（－x）與f（x）的關(guān)系？

生：很快的就發(fā)現(xiàn)f（－x）＝－f（x）.

師：就勢稍加點(diǎn)撥，即形成奇函數(shù)的概念.

點(diǎn)評 偶函數(shù)的概念與奇函數(shù)的概念應(yīng)該是鄰近概念，因此教學(xué)中不應(yīng)該平均用力.多數(shù)選手以學(xué)生已掌握了的偶函數(shù)的概念為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系.提高學(xué)生對數(shù)學(xué)理論整體性與嚴(yán)密性的把握.不失是一種好的教學(xué)處理方式！

鄰近概念的教學(xué)采取類比的方式，不平均用力.這是值得欣喜的另一面.

教學(xué)片斷3

師：提出問題：f（x）＝x2；x∈ ［－1，2］是不是偶函數(shù)？

生：（爭論片刻之后）不是，因?yàn)閷τ谶@個函數(shù)來說f（2）＝4，而f（－2）不存在，因而f（－2）≠f（2），故不是偶函數(shù).

師：變化一下：f（x）＝x2；x∈ ［－1，1）是不是偶函數(shù).

生：仍然不是.

師：那怎么改造，才是偶函數(shù)？

生1：改為f（x）＝x2；x∈ ［－1，1］，

生2：改為f（x）＝x2；x∈ （－1，1），

生3：改為f（x）＝x2；x∈ ［－2，2］，

生4：改為f（x）＝x2；x∈R.

……

師：偶函數(shù)或奇函數(shù)的定義域有什么要求？

生：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

點(diǎn)評 在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延上，采取問題的形式，低起點(diǎn)、密臺階、小步走，逐層深入，給學(xué)生留下很深的印象，學(xué)生對這一問題的認(rèn)識也就很深刻.相比直接提問：偶函數(shù)或奇函數(shù)的定義域有什么要求？然后再用大費(fèi)口舌，用力解釋的教學(xué)方式，教學(xué)片斷3中的這種方式顯然更有效率！

采取問題辨析的方式，加深對概念的內(nèi)涵與外延的認(rèn)識，這是值得欣喜的又一面.

2.2 兩種教學(xué)理念的碰撞：一半是海水，一半是火焰

我先談兩種不同的教學(xué)理念，以小學(xué)中最簡單的“1＋1＝2”的教學(xué)為例，有兩種不同的教學(xué)方式：

教學(xué)方式1

老師先拿來一個蘋果，問：小朋友這是幾個蘋果？

小朋友們答：1個.

老師再拿來一個蘋果，問：小朋友這是幾個蘋果？

小朋友們答：1個.

然后老師將兩個蘋果放在一塊，問：小朋友現(xiàn)在是幾個蘋果？

小朋友們答：2個.

然后老師告訴小朋友：這就告訴我們1個蘋果再加1個蘋果是2個蘋果，即1＋1＝2.

然后老師可能再拿來些別的東西，比如鉛筆、橡皮之類的東西，不段重復(fù)前面的過程，讓小朋友們感悟到一個蘋果再加一個蘋果是兩個蘋果，抽象到數(shù)學(xué)中就是1＋1＝2.

教學(xué)方式2

老師：小朋友你們知道1加1等于幾嗎？我來告訴你們1＋1＝2.

老師板書1＋1＝2，然后老師說：讓我們一塊來念1＋1＝2，1＋1＝2，……

直到老師提到1＋1，小朋友們條件反射式的說出等于2.

《函數(shù)的奇偶性》是一節(jié)課，14位選手對這一節(jié)內(nèi)容的處理，無外乎以上所提到的兩種教學(xué)方式.多數(shù)選手注重概念產(chǎn)生、發(fā)展的過程，并且通過自己的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生親歷這一過程.在概念的形成過程中不惜花費(fèi)大量的時間和精力！但是個別選手輕視這一過程，一上課就呈現(xiàn)一組題目，美其名曰：預(yù)習(xí)檢測！然后給出偶函數(shù)與奇函數(shù)的概念，要求學(xué)生記下，隨之就是如何進(jìn)行奇偶性判斷的大量題組練習(xí)！

我們姑且先不評價以上兩種處理方式的優(yōu)劣！我想請各位老師先思考這一問題：在“1＋1＝2”的教學(xué)中，如果考試中考到1＋1＝？，采用教學(xué)方式1的老師的學(xué)生考試成績好呢？還是采用教學(xué)方式2的老師的學(xué)生考試成績好呢？

我想一定是采用教學(xué)方式2的老師的學(xué)生考試成績好！這也就不難解釋為什么有選手采取方式2進(jìn)行《函數(shù)的奇偶性》的教學(xué)了.當(dāng)前的教育形式下，過分強(qiáng)調(diào)學(xué)生考試成績，用學(xué)生成績作為考評老師的重要指標(biāo).學(xué)生考試分?jǐn)?shù)成了老師的命根，所以就有老師刻意的追求概念教學(xué)的最小化和習(xí)題教學(xué)的最大化，并譽(yù)名“快節(jié)奏、大容量”.實(shí)際上這是應(yīng)試教育下典型的舍本逐末的錯誤做法.

我想再提一個問題：在“1＋1＝2”的教學(xué)中，如果考試中考到的不是1＋1＝？而是“1＋2＝？”那么請問采取哪一種教學(xué)方式的老師的學(xué)生考試成績更好？

我想一定是采取教學(xué)方式1的老師的學(xué)生考試成績好.現(xiàn)在的高中教學(xué)越來越強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生能力，高考命題也越來越靈活.如若對基本概念只是死記硬背，學(xué)生對概念的理解只是機(jī)械、零碎的認(rèn)識.沒能正確理解數(shù)學(xué)概念，也就無法形成數(shù)學(xué)能力！在這種情況下學(xué)生只會模仿老師解決某些典型的題目，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策.

因而我們有理由認(rèn)為：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們對數(shù)學(xué)知識的教學(xué)還是應(yīng)該采取教學(xué)方式1.

2.3 活動結(jié)束后的反思：一點(diǎn)微微的遺憾

縱觀所有選手的課堂結(jié)構(gòu)，均是以下程序，無一例外.

在形成奇（偶）函數(shù)的概念，解決了怎樣判斷函數(shù)的奇偶性這一問題以后，筆者以為這一節(jié)課還有一點(diǎn)東西沒能解決.對于教材中為什么安排《函數(shù)的奇偶性》這一節(jié)內(nèi)容，可能參賽選手思考得比較少.而僅僅考慮到為了應(yīng)試的需要，只要讓學(xué)生理解了奇偶性的定義，掌握了判斷函數(shù)的奇偶性方法，教學(xué)目標(biāo)就達(dá)成了.

我認(rèn)為對于教材中為什么安排《函數(shù)的奇偶性》這一節(jié)內(nèi)容，還要多挖掘一下.個人認(rèn)為教材安排《函數(shù)的奇偶性》另有目的.目的就是想告訴學(xué)生：奇偶性是研究函數(shù)的一種工具.奇偶性就是對稱性，如果有一個函數(shù)我們能夠判斷它具有奇偶性，我們在研究它的性質(zhì)時就沒有必要研究這個函數(shù)在整個定義域上的情況，只要知道它在半個定義域上的情況，就可以由對稱性，知道它在整個定義域上的情況！這應(yīng)該是函數(shù)奇偶性的價值所在，遺憾是14位選手的教學(xué)都沒有體現(xiàn)這一點(diǎn).

而在教學(xué)中要體現(xiàn)這一點(diǎn)應(yīng)該還是比較容易的.比如我們可以設(shè)計(jì)這樣一個題目來體現(xiàn)奇偶性的作用.

題目 已知函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)，且y＝f（x）在［0，＋∞）有最大值5，你知道函數(shù)y＝f（x）在（－∞，0］上最小值嗎？

根據(jù)對稱性，我們很容易地知道函數(shù)y＝f（x）在（－∞，0］上最小值為－5.

教師可以就這一題目提出問題：你能通過這一題目，感受到我們研究函數(shù)的奇偶性有什么價值和意義嗎？

通過這一問題的解決，讓學(xué)生體味到函數(shù)奇偶性的價值所在，數(shù)學(xué)的應(yīng)用性也就體現(xiàn)出來了！這應(yīng)是這節(jié)課的點(diǎn)睛之筆！

3 小結(jié)

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.因此在《函數(shù)的奇偶性》的教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律，從而形成新的概念.這樣學(xué)生在獲得概念的同時，還培養(yǎng)了抽象概括能力和創(chuàng)新精神，同時也使學(xué)生從被動地“聽”發(fā)展成為主動地獲取和體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念，自主建構(gòu)知識的過程.這樣才能充分體現(xiàn)以學(xué)生為本，尊重學(xué)生主體地位的教學(xué)理念，同時也促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和優(yōu)化.

數(shù)學(xué)教學(xué)承載著數(shù)學(xué)的文化功能，數(shù)學(xué)中許多具體知識將會被大多數(shù)人遺忘，但數(shù)學(xué)的文化卻伴隨著學(xué)習(xí)者的后續(xù)學(xué)習(xí)、生活和工作，其影響深刻而久遠(yuǎn).因而如果我們在教給學(xué)生知識的同時，再滲透給學(xué)生研究問題的方法，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)將更有內(nèi)涵.