范步高

(上海長(zhǎng)征富民金山制藥有限公司，上海201506)

正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的常用方法一般有極差分析 (直觀分析)和方差分析。極差分析簡(jiǎn)便、直觀，但不能區(qū)分指標(biāo)的差異究竟是因子的水平變化所引起還是由試驗(yàn)的誤差所引起，故極差分析的準(zhǔn)確性較低，所以，為提高正交試驗(yàn)結(jié)果分析的準(zhǔn)確性應(yīng)首選方差分析。但正交試驗(yàn)的方差分析一般須預(yù)留空白列 (誤差列和交互作用列)，代價(jià)是試驗(yàn)總數(shù)增加或減少獨(dú)立因子數(shù)，否則，正交試驗(yàn)方差分析的準(zhǔn)確性也將大大降低，此時(shí)較為理想的選擇則應(yīng)是“線性回歸分析法”［1-4］。

1 實(shí)例分析

《中成藥》2011年 (第33卷)第7期第1206頁(yè)載文“正交設(shè)計(jì)法優(yōu)選苦參炮制工藝的研究”［5］(以下簡(jiǎn)稱(chēng)原文)，原文目的是優(yōu)選苦參的切制工藝，選用L9(34)正交表進(jìn)行優(yōu)選，現(xiàn)將原文的表2(因素和水平考察)、表3(苦參炮制工藝正交試驗(yàn)結(jié)果)和表4(苦參炮制工藝方差分析)合并為本文的表1，原文直觀分析 (極差分析)與方差分析得出的最佳條件與直接觀察法相同，均為A1B3C3，即第3號(hào)試驗(yàn)，Y3=Ymax=1.831，因素重要性排序?yàn)锳＞C＞B。3批驗(yàn)證結(jié)果:苦參堿和氧化苦參堿指標(biāo)分別為 1.83%、1.80%、1.82%，均值為 1.82%，RSD為0.64%。

1.1 方差分析的正確計(jì)算 原文為3因子3水平，選擇L9(34)正交表，前提條件應(yīng)是因子間無(wú)兩兩交互作用或兩兩交互作用可以忽略不計(jì)，另外3因子排畢還應(yīng)剩余“空列”1列，可以作為誤差項(xiàng)進(jìn)行方差分析 (原文將“空列”遺漏，故計(jì)算有誤)，因B和C因子的均方差均小于“空列”，為防止誤判因子的顯著性，提高方差分析的準(zhǔn)確性，故合并三列為誤差項(xiàng) (SS空+SSB+SSC=SSe)。結(jié)果見(jiàn)表2。

表1 原文苦參炮制工藝正交試驗(yàn)結(jié)果分析

表2 苦參炮制工藝正交試驗(yàn)方差分析

由表2可知，因素A、B、C水平的變化對(duì)指標(biāo)的影響均不顯著 (與原文結(jié)論差異較大)，即差異較多是由試驗(yàn)誤差過(guò)大所引起。所以，對(duì)不顯著因子的水平優(yōu)選一般不是選擇相對(duì)較高指標(biāo)值所對(duì)應(yīng)的水平，而是綜合考慮該水平在實(shí)際生產(chǎn)中的生產(chǎn)周期、能耗、質(zhì)量可控性等情況而選定。所以，若綜合考慮苦參炮制工藝的最佳條件應(yīng)首選A1B1C1(浸泡20 min，軟潤(rùn)16 h，60℃干燥)，即該輪L9(34)正交試驗(yàn)中第1號(hào)試驗(yàn)，Y1=1.732，低于第3號(hào)試驗(yàn)指標(biāo)值Y3=1.831，但此結(jié)果僅僅是在因子間無(wú)兩兩交互作用或兩兩交互作用可以忽略的前提下。根據(jù)L9(34)正交表任意兩列間的交互作用列為另外兩列，現(xiàn)存在MS空＞MSC＞MSB，故原文前提條件不成立，即 A、B、C因子的兩兩交互作用不可忽略。

表2結(jié)果可由表1原始數(shù)據(jù)用Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)計(jì)算得到［6］，也可仿照原文由簡(jiǎn)單公式計(jì)算:T=ΣYi=26.512，CT=T2/n=26.447;總平方和SST=T2－CT;A、B、C及空列(第4列)平方和SSjCT。對(duì)規(guī)格化正交表存在等式:SST=Σ SSj，可以用于檢驗(yàn)計(jì)算的正確與否。

1.2 線性回歸分析及預(yù)測(cè) 對(duì)三水平的A、B、C因子間的交互作用，解決的辦法可以重新選擇較大的L18(37)或L27(313)正交表再進(jìn)行一次有交互作用的正交試驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)選，也可以在原L9(34)正交試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用多元線性回歸分析法進(jìn)行工藝優(yōu)選和結(jié)果預(yù)測(cè)。

1.2.1 多元線性回歸分析模型構(gòu)建 根據(jù)正交試驗(yàn)的方差分析結(jié)果，假設(shè)A、B、C存在較強(qiáng)的兩兩交互作用AB、AC和 BC，回歸子集大小為六元 (A、B、C、AB、AC、BC)，線性回歸模型為Y*=b0+b1A+b2B+b3C+b4AB+b5AC+b6BC，經(jīng)用矩陣法求得各因子的偏決定系數(shù) (偏相關(guān)系數(shù)的平方)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)和篩選，“最優(yōu)”子集為五元 (A、B、C、AB、AC)、“次優(yōu)”子集為四元 (B、C、AB、AC)(表3，表4)。

表3 線性回歸“最優(yōu)”子集Excel篩選模型

(續(xù)表3)

表4 線性回歸“最優(yōu)”子集篩選結(jié)果

1.2.2 線性回歸分析結(jié)果及置信區(qū)間 由表3可得五元“最優(yōu)”線性回歸方程為 Y*=1.209 6+0.018 6A+0.095 2B－0.010 0C－0.003 0AB+0.000 3AC，回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy=0.014 5，回歸方程顯著性P值＜0.01，各回歸因子顯著性Pj值＜0.05，因子重要性排序AB＞B＞C＞AC＞A。對(duì)原文優(yōu)選水平A1B3C3進(jìn)行預(yù)測(cè)，均值落在其預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)(表3)，證明回歸方程的預(yù)報(bào)可信。參考方差分析結(jié)果，經(jīng)多次單因素試驗(yàn)回歸得優(yōu)選水平為A1B3C1(浸泡20 min，軟潤(rùn)20 h，60℃干燥)，此水平組合未包含在L9(34)正交試驗(yàn)中，故需進(jìn)行至少3批的驗(yàn)證試驗(yàn)加以確定，其驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)值約為2.026%，95%置信區(qū)間在1.997%～2.054%，高于第3號(hào)正交試驗(yàn) (A1B3C3)最高值Y3=1.831%(見(jiàn)表3)。

1.2.3 表3中Excel函數(shù)或公式設(shè)置

(1)試驗(yàn)因子及交互項(xiàng)水平數(shù)據(jù)與指標(biāo)結(jié)果:A、B、C及Y數(shù)據(jù)可直接輸入，交互作用的因子數(shù)據(jù)利用乘法公式輸入，E3=B3×C3(意即E3單元格輸入“=B3×C3”，下同)，F(xiàn)3=B3×D3，G3=C3×D3，分別確認(rèn)后選中E3∶G3，向↓拖曳復(fù)制至G11。

(2)相關(guān)系數(shù)矩陣1:B14=CORREL(S|BS|3∶S|BS|11，BS|3∶BS|11)，確認(rèn)后選中并向↓拖曳復(fù)制至B20，并從B15起依次將S|BS|3∶S|BS|11中的列號(hào)B分別修改為C、D、E、F、G、H，分別確認(rèn)后選中B14∶B20，向→拖曳復(fù)制至H列。

(3)相關(guān)系數(shù)逆矩陣1:選中B22∶H28(區(qū)域大小須與B14∶H20矩陣相同)，輸入:=MINVERSE(B14:H20)，三鍵確認(rèn) (一般特定公式或數(shù)組公式輸入均需shift+ctrl+enter三鍵確認(rèn)，當(dāng)判別有疑時(shí)也可用三鍵確認(rèn)解決，下同)。

(4)回歸因子顯著性檢驗(yàn)1:偏決定系數(shù)B30=B28^2/B22/S|H28(若求偏相關(guān)系數(shù)，B30=－B28/SQRT(B22/S|H28))，偏回歸因子F值B31=B30/(1－B30) × (9－S|H31－1)，偏回歸因子 P值 B32=FDIST(B31，1，9－S|H31－1)，偏回歸因子重要性排序 B33=RANK(B30，S|B30:S|G30)，分別確認(rèn)后選中B30∶B33，向→拖曳復(fù)制至G列。Mpi統(tǒng)計(jì)量 H33=SUM(B32:G32)/H31× (9+H31+1)。

(5)相關(guān)系數(shù)矩陣2:根據(jù)回歸因子顯著性檢驗(yàn)1的結(jié)果，去掉相關(guān)系數(shù)矩陣1中最不顯著因子BC(第六行及第六列數(shù)據(jù))，利用等號(hào)將剩余標(biāo)志和數(shù)據(jù)“移植”，如C35=B13，C41=B20。為方便回歸因子顯著性檢驗(yàn)公式無(wú)需修改地重復(fù)使用，需將原相關(guān)系數(shù)矩陣1中第七行數(shù)據(jù)上移至第六行、原第1～5列數(shù)據(jù)整體右移。

(6)相關(guān)系數(shù)逆矩陣2:選中C43∶H48，輸入=MINVERSE(C36:H41)，三鍵確認(rèn)。

(7)回歸因子顯著性檢驗(yàn)2:復(fù)制表3(4)，清除B50∶B53，修改子集m大小，H53復(fù)制H33后粘貼。

(8)五元“最優(yōu)”子集回歸統(tǒng)計(jì)量:選中5行 (m+1)列即 C56∶H60，輸入:=LINEST(S|HS|3∶S|HS|11，S|BS|3∶S|FS|11，TRUE，TRUE)，三鍵確認(rèn)?；貧w方程P值:C61=FDIST(C59，9-1-D59，D59)

(9)試驗(yàn)優(yōu)水平篩選及預(yù)測(cè):利用多次單因素試驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)水平篩選，并假設(shè)殘差服從正態(tài)分布，U0.05=1.96，則95%置信度預(yù)測(cè)值誤差=1.96×Sy，所以，預(yù)測(cè)值F64=SUM(S|CS|56∶S|GS|56×A64∶E64)+S|HS|56，三鍵確認(rèn);95%下限值G64=S|F64－1.96×S|DS|58，95%上限值H64=S|F64+1.96×S|DS|58，分別確認(rèn)后選中F64∶H64，并向↓拖曳復(fù)制至行72。

對(duì)于確定的“最優(yōu)”子集，偏回歸系數(shù)等回歸統(tǒng)計(jì)值也可以直接利用Excel回歸分析工具自動(dòng)求出，可以作為對(duì)以上顯著性檢驗(yàn)計(jì)算正確與否的檢驗(yàn) (自動(dòng)給出的偏回歸系數(shù)t檢驗(yàn)與回歸因子的偏決定系數(shù)的F檢驗(yàn)等值)，方法是:分別點(diǎn)擊Excel工具→數(shù)據(jù)分析→回歸分析→確定，填寫(xiě)回歸對(duì)話框，Y值區(qū)域輸入S|BS|1∶S|BS|10，X值區(qū)域輸入S|CS|1∶S|GS|10，勾選“標(biāo)志”，點(diǎn)選“輸出區(qū)域”，點(diǎn)擊B73，點(diǎn)擊確定，即可得到更為詳細(xì)的回歸分析結(jié)果 (略)。

2 討論

2.1 工藝優(yōu)化水平的確定 對(duì)q個(gè)水平m*個(gè)獨(dú)立回歸因子的線性回歸方程進(jìn)行優(yōu)化工藝水平的確定，既可采用qm*次單因素試驗(yàn)法，也可采用更為準(zhǔn)確的qm*次全面試驗(yàn)法或“規(guī)劃求解法”［3］，也可以采用“極值法”{4}或根據(jù)方程的復(fù)雜程度靈活組合應(yīng)用，如五元“最優(yōu)”線性回歸方程Y*=1.209 6+0.018 6A+0.095 2B－0.010 0C－0.003 0 AB+0.000 3AC，若求其極值較為不易，但在試驗(yàn)水平考察范圍內(nèi)有A↘Y*↗ (Y*對(duì)A的一階偏導(dǎo)小于零)、C↘Y*↗ (Y*對(duì)C的一階偏導(dǎo)小于零)和B↗Y*↗ (Y*對(duì)B的一階偏導(dǎo)大于零)的單調(diào)性趨勢(shì)［9］，所以，Y*最大值所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化水平可選定為A1B3C1，這也與一般中藥的穩(wěn)定性規(guī)律 (低溫干燥有利于減少氧化、分解等反應(yīng)對(duì)中藥有效成分群所造成的損失)和苦參堿及氧化苦參堿的理化性質(zhì) (極性大，易水溶，易水解)相吻合。

多次單因素試驗(yàn)法是先固定 (m*－1)個(gè)獨(dú)立因子的水平并與另一因子的各個(gè)水平進(jìn)行q次全搭配預(yù)測(cè)，根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果得出該因子的較優(yōu)水平并固定，然后更換下一個(gè)獨(dú)立因子重復(fù)上述全搭配預(yù)測(cè)，直至進(jìn)行qm*次 (包括m*－1次重復(fù))得出所有m*獨(dú)立因子的較優(yōu)水平搭配即為回歸分析法的優(yōu)選水平組合，但當(dāng)回歸方程在水平考察范圍內(nèi)存在拐點(diǎn)［9］時(shí)，不同水平的固定將會(huì)影響優(yōu)選水平的準(zhǔn)確性。

2.2 “最優(yōu)”線性回歸方程的篩選準(zhǔn)則 “最優(yōu)”線性回歸方程的篩選準(zhǔn)則通常有復(fù)決定系數(shù)R2、復(fù)相關(guān)系數(shù)R、回歸F值等愈大愈好，子集m、殘差平方和SSe、平均殘差平方和 MESS(均方 MSe)、平均預(yù)測(cè)均分誤差 MPESS、AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則等愈小愈好［7-8］。本文的篩選方法或步驟:①選擇“最優(yōu)”子集m，使m子集內(nèi)的各個(gè)因子的顯著性Pj值均小于0.05或0.10，②根據(jù)m“少而精”之原則，設(shè)定統(tǒng)計(jì)量Mpi=(n+m+1)×ΣPj/m，選擇Mpi最小子集;③選擇線性回歸方程的顯著性P值小于0.05的“最優(yōu)”子集 (各因子顯著性Pj值均小于0.05的“最優(yōu)”子集，其對(duì)應(yīng)的線性回歸方程的顯著性P值一般也小于0.05，反之，則可能性降低，需要進(jìn)一步對(duì)各因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)加以確定)。

對(duì)于三獨(dú)立因子 (m*=3)試驗(yàn)，其二次多項(xiàng)式回歸因子 (一次項(xiàng)、二次項(xiàng)、交互項(xiàng))共有 9項(xiàng)，若一次項(xiàng)A、B、C和交互項(xiàng)AB、AC、BC子集中未能在表3模型中篩選出“最優(yōu)”子集，可以將二次項(xiàng)A2、B2、C2回歸因子替換表3相關(guān)系數(shù)矩陣1中最小偏決定系數(shù)對(duì)應(yīng)的回歸因子或其他因子 (可以重復(fù)使用復(fù)制、粘貼、撤銷(xiāo)鍵，表中公式無(wú)需修改)進(jìn)行篩選。

回歸因子m要求“少而精”，實(shí)則是要求“最優(yōu)”線性回歸方程內(nèi)的自變量因子均為顯著因子，而方程外的所有因子均為不顯著因子，同時(shí)也可以認(rèn)為是要求線性回歸方程的殘差自由度 (離回歸自由度)盡可能的大 (dfe=n－m－1)，目的是避免擬合的方程回歸不錯(cuò) (殘差較小)，預(yù)報(bào)不好 (驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果誤差較大)，其解決的辦法是增加觀察值 (試驗(yàn)次數(shù))以達(dá)到n≥2m或至少保證殘差自由度(n－m－1)≥2。

2.3 正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法的選擇

正交試驗(yàn)的目的，①是考察各因子的水平差異對(duì)指標(biāo)值影響的相對(duì)大小，②是篩選最優(yōu)化試驗(yàn)條件。

極差分析計(jì)算最為簡(jiǎn)單，可達(dá)①之目的，但極差分析未及消除試驗(yàn)誤差對(duì)指標(biāo)值的影響，故其極差較大的主要因子未必是顯著因子［10］。所以，欲達(dá)②和①之目的，經(jīng)典的方差分析則較為準(zhǔn)確，應(yīng)為首選。

在進(jìn)行正交試驗(yàn)的Ln(qm)正交表中，獨(dú)立因子各占1列，交互因子各占 (q－1)d列 (一般僅考慮兩兩交互作用，其交互作用級(jí)數(shù)d=2－1)，誤差項(xiàng)也至少須占1列(空列)，根據(jù)n(試驗(yàn)總次數(shù)或正交表行數(shù))、q(因子水平數(shù))和m(因子列數(shù)或正交表列數(shù))三者存在n=qk或n=sq2(k=2，3，4，…，s=1，2，3，…)或n=m(q－1)+1的關(guān)系式［11］可知，m和q增加，n將呈番數(shù)或指數(shù)增長(zhǎng)，結(jié)果是造成試驗(yàn)成本大大增加。所以，正交試驗(yàn)的方差分析也僅在因子間沒(méi)有交互作用或交互作用可以忽略，或者獨(dú)立因子數(shù)和水平數(shù)均較少時(shí)較為實(shí)用。

線性回歸分析與方差分析都是研究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法，線性回歸法常用于均勻設(shè)計(jì)，方差分析法則常用于正交設(shè)計(jì)，但當(dāng)正交設(shè)計(jì)的獨(dú)立因子 (自變量，非隨機(jī)變量)為連續(xù)性變量且與指標(biāo)變量 (因變量，隨機(jī)變量)存在顯著線性關(guān)系時(shí)也可以采用線性回歸分析法［12］，其優(yōu)點(diǎn)之一是正交表的m列可以排滿(mǎn)獨(dú)立因子而達(dá)包括交互因子優(yōu)選水平在內(nèi)的②和①之目的，二是根據(jù)正交試驗(yàn)信息量可以較為方便的構(gòu)建線性回歸模型，用于工藝過(guò)程預(yù)測(cè)和控制，并能指導(dǎo)超越正交試驗(yàn)原有水平的考察范圍捕捉到更優(yōu)化的工藝條件，如上述優(yōu)選水平A1B3C1，均為“邊界”水平組合，在進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)，可以根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)同時(shí)考慮選擇小于A1(如A0:浸泡10min)或C1(如C0:55℃真空干燥)或大于B3(如B4:軟潤(rùn)24 h)的水平組合進(jìn)行對(duì)照。經(jīng)預(yù)測(cè)，A0B4C0苦參炮制工藝更優(yōu)，回歸預(yù)測(cè)值為2.570%，95%置信區(qū)間在2.542% ～2.599%，高于原優(yōu)選水平A1B3C1的預(yù)測(cè)值2.026%(表3)，這也是線性回歸分析優(yōu)于正交試驗(yàn)方差分析的一個(gè)結(jié)果體現(xiàn)。

［1］李云雁，胡傳榮．試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理［M］．北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2005．

［2］胡譽(yù)滿(mǎn)，謝曉鳴．利用回歸分析對(duì)正交試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正［J］．工科數(shù)學(xué)，2000，16(4):32-34．

［3］俞鐘行．質(zhì)量工程師教材例2.3-1新解［J］．質(zhì)量春秋，2011(11):48-351．

［4］郭俊旺，劉曉峰，魏彩云．正交設(shè)計(jì)L9(34)的漸進(jìn)優(yōu)化線性回歸方法［J］．計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué)，2010，27(11):1503-1508．

［5］鄧捷圓，胡 馨，張英華，等．正交設(shè)計(jì)法優(yōu)選苦參炮制工藝的研究［J］．中成藥，2011，33(7):1206-1208．

［6］范步高．正交試驗(yàn)方差分析的Excel通用計(jì)算與應(yīng)用［J］．中國(guó)醫(yī)藥工業(yè)雜志，2011，42(10):793-795．

［7］李東風(fēng)，鄭忠國(guó)．最優(yōu)線性回歸的計(jì)算方法［J］．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008，27(1):87-95．

［8］丘冠英．“最優(yōu)”回歸方程的選擇準(zhǔn)則和具體方法［J］．宜春學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)，2003，25(6):26-27．

［9］王順鳳，夏大峰，朱鳳琴，等．高等數(shù)學(xué)(上)［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2009．

［10］郝拉娣，張 嫻，劉 琳．科技論文中正交試驗(yàn)結(jié)果分析方法的使用［J］．編輯學(xué)報(bào)，2007，19(5):340-341．

［11］全國(guó)質(zhì)量專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員職業(yè)資格考試辦公室．質(zhì)量專(zhuān)業(yè)理論與實(shí)務(wù)(中級(jí))［M］．北京:中國(guó)人事出版社，2006．

［12］喬克林，呂 佳．方差分析與回歸分析之比較［J］．延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，28(2):34-36．