高子林，曹龍漢，姜 坤

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510006;2.重慶郵電大學(xué)，重慶 400065)

0 引言

電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)裝置通過獲取一次設(shè)備的電壓、電流及功率等實(shí)時(shí)信息及時(shí)響應(yīng)運(yùn)行過程中狀態(tài)的變化，迅速準(zhǔn)確地做出保護(hù)反應(yīng)，消除或降低故障引起的嚴(yán)重后果。當(dāng)電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，其暫態(tài)信號(hào)中除了含有基波分量以外，還含有諧波分量和具有不確定幅值和衰減時(shí)間常數(shù)的衰減直流分量，造成電流測(cè)量誤差顯著增大，超過5%～10%，使短路保護(hù)和過流保護(hù)功能的控制精度受到較大影響［1］。

傳統(tǒng)的交流采樣方法主要是全波傅氏算法和半波傅氏算法。在系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，故障暫態(tài)過程中系統(tǒng)頻率可能會(huì)發(fā)生偏移，且信息含有諧波分量和衰減直流分量。由于衰減直流分量是典型的非周期分量，其頻譜為連續(xù)譜，從而與基頻分量頻譜混淆，在計(jì)算信號(hào)的基頻分量時(shí)產(chǎn)生較大的誤差［10］。

已有大量文獻(xiàn)對(duì)傅氏算法進(jìn)行改進(jìn)，以消除衰減直流分量的影響。其中基于全波傅氏算法的有:文獻(xiàn) ［2］通過增加兩個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算并消去直流衰減分量值;文獻(xiàn) ［3］僅增加一個(gè)采樣點(diǎn)，通過兩次非遞歸消去直流衰減分量的影響;文獻(xiàn) ［4］不需要增加采樣點(diǎn)且在未知衰減時(shí)間常數(shù)的情況下就可全完濾除衰減直流分量，但是每基頻周期的采樣點(diǎn)數(shù)必須為4的正整數(shù)倍;文獻(xiàn) ［5］通過分析衰減直流分量在傅里葉快速算法結(jié)果的變化規(guī)律，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，從而消除衰減直流分量;文獻(xiàn) ［6］通過傅里葉算法及其改進(jìn)算法對(duì)故障波形進(jìn)行濾波處理，但是該算法只能消除直流分量和整次諧波分量，沒有考慮非整次諧波的影響?；诎氩ǜ凳纤惴ǖ挠?文獻(xiàn) ［7］基于信號(hào)中偶次諧波得到衰減直流分量傅氏變換下實(shí)虛部的關(guān)系，通過建立方程組能濾除衰減直流分量和特定次偶次諧波;文獻(xiàn) ［8］利用半波傅氏算法計(jì)算基波實(shí)部，用Mann－Morrison算法計(jì)算基波虛部。該算法的數(shù)據(jù)窗為半周波加一個(gè)采樣點(diǎn)，算法易于實(shí)現(xiàn)，適用于繼電保護(hù)實(shí)時(shí)動(dòng)作;文獻(xiàn) ［9］利用窄帶濾波算法對(duì)低頻和高次諧波有良好的抑制作用，將基于窄帶通濾波與半波傅里葉算法相結(jié)合，其濾波效果明顯優(yōu)于半波傅里葉算法。

本文在前人的基礎(chǔ)上，旨在通過提出一種新的濾除衰減直流分量的方法，改進(jìn)傅里葉變換。通過算例仿真，驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性。

1 全波傅氏算法的基本原理

在電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，故障暫態(tài)信號(hào)包含:基波分量、諧波分量和具有不確定幅值和衰減率的衰減直流分量，故障信號(hào)模型表示如式 (1):

式中:an=Ansinφn;bn=Ancosφn;A為衰減直流分量的初始幅值;τ為直流衰減分量的時(shí)間常數(shù)。

對(duì)于n次諧波的傅里葉變換如式 (2)、(3):

式中:T為基頻分量的周期。經(jīng)采樣后，連續(xù)量變?yōu)殡x散量，積分變?yōu)榍箅x散和:

式中:N為一個(gè)周期T中的采樣數(shù);k為從故障開始時(shí)的采樣點(diǎn)序號(hào)。離散情況下有:

可求得n次諧波的幅值和初相角為

若采樣信號(hào)中不含衰減直流分量，則求得的幅值和相角都是真實(shí)值，以上即為推導(dǎo)過程。但是實(shí)際中采樣信號(hào)存在衰減直流分量，利用全波傅氏算法進(jìn)行分析計(jì)算，則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，具體分析如式 (9)、(10):

式中:a和b為信號(hào)中基波和各次諧波分量通過全波傅氏算法得到的實(shí)部分量和虛部分量，即理想值;δa和δb為衰減直流分量通過全波傅氏算法得到的實(shí)際值與理想值之間的偏差，即誤差值。為了提高全波傅氏算法在信號(hào)含衰減直流分量的情況下仍能具有良好的計(jì)算精度，就必須對(duì)全波傅氏算法進(jìn)行改進(jìn)，即消除δa和δb的影響。

2 全波傅氏算法的改進(jìn)

由上面的推導(dǎo)可以看出，傅氏算法的基礎(chǔ)是假定輸入信號(hào)是周期函數(shù)，可以分解為整倍數(shù)頻率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但是實(shí)際電力系統(tǒng)中，輸入的非周期分量包含的是衰減直流分量。當(dāng)截取一個(gè)數(shù)據(jù)窗的寬度，利用衰減直流分量作為輸入信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，得到的是連續(xù)的，包含基頻分量的頻譜。如果進(jìn)一步做周期延拓，其也可分解為傅氏級(jí)數(shù)，同樣包含有基頻、倍頻以及直流分量。目前，微機(jī)保護(hù)中的電氣信號(hào)檢測(cè)算法大多也是針對(duì)周期信號(hào)設(shè)計(jì)的，它們會(huì)因衰減非周期分量的存在而產(chǎn)生相當(dāng)大的誤差。

2.1 衰減直流分量產(chǎn)生的原因與時(shí)間常數(shù)的求解

2.1.1 衰減直流分量產(chǎn)生的原因

電力系統(tǒng)中衰減直流分量的產(chǎn)生的原因在于，系統(tǒng)中存在電磁慣性的電抗與電容。假設(shè)不考慮電容且系統(tǒng)在t=0 s出現(xiàn)短路故障為對(duì)稱短路，則任意一相的電流瞬時(shí)值應(yīng)該滿足微分方程式(11):

這是一個(gè)一階常系數(shù)、線性非齊次常微分方程，其解的形式為

2.1.2 時(shí)間常數(shù)的求解

故障信號(hào)的模型為

式中:I0e－t/τ為衰減直流;基波及各次諧波信號(hào)，對(duì)系統(tǒng)I(t)同步采樣，每周期采樣點(diǎn)數(shù)為N，采樣周期即為基波周期，20 ms。將式(13)離散化后可得:

根據(jù)三角函數(shù)的正交性，則有:

引入N+1這個(gè)采樣點(diǎn)，則同理可知:

2.2 算法的改進(jìn)原理

目前針對(duì)減小衰減直流分量的方法主要包括兩種，一種是研究不受非周期分量影響或影響較小的算法，比如最小二乘法以及小波變換法等;第二種是對(duì)算法進(jìn)行校正。本文利用對(duì)交流采樣序列值進(jìn)行修正，以求剔除其中所含的非周期分量，原理如下:

一個(gè)工頻周波內(nèi)采樣N+1個(gè)點(diǎn)，采樣序列為i(0)，i(1)，i(2)…i(N － 1)，i(N)…，則下面等式成立:

考慮ia(t)的周期性，所以

所以

這樣，消除了衰減直流分量的新的采樣值為

2.3 改進(jìn)算法濾波步驟

濾波步驟簡(jiǎn)述如下:

Step 1:根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)窗數(shù)據(jù)利用全傅里葉變換得到an與bn;

Step 2:利用式 (14)計(jì)算出時(shí)間常數(shù)τ;

Step 3:利用式 (15)求出直流分量;

Step 4:根據(jù)式 (16)得到濾除直流分量后的an與bn。

3 算例分析與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本算法對(duì)衰減直流分量的有效性，設(shè)暫態(tài)電流信號(hào)為

假設(shè)時(shí)間常數(shù) τ為50 ms，w=100 π，采樣頻率T=12點(diǎn)/周，則故障后的電流暫態(tài)波形如圖1所示，對(duì)于既不知時(shí)間常數(shù)τ，又不知衰減直流分量幅值的實(shí)際情況，則按照2.3所示的步驟進(jìn)行計(jì)算。

利用式 (15)以及 (16)，濾除直流分量，得到波形如圖 (2)。

圖1 故障后的電流暫態(tài)波形Fig.1 Transient waveforms of fault current

圖2 濾除直流分量后的暫態(tài)電流波形Fig.2 Transient waveforms of fault current after filtering out the DC component

從圖2的仿真結(jié)果來看，將其與圖1對(duì)比，本文算法能很好的過濾掉衰減直流分量，雖也有誤差，但是相對(duì)很小。誤差來源e－t/τ用泰勒式子展開，只取前兩項(xiàng)的值。通過提高采樣頻率T能夠減少這種誤差，但是相對(duì)也會(huì)增大時(shí)間消耗。

取不同的時(shí)間常數(shù)τ，然后仿真出不同時(shí)間常數(shù)下的各周期分量的仿真值，結(jié)果如表1。

表1 不同時(shí)間常數(shù)下的仿真結(jié)果Tab.1 Simulation results under different time constants

4 結(jié)論

本文提出的對(duì)交流采樣序列值進(jìn)行修正的改進(jìn)傅氏算法，保留了全波傅氏算法的濾波功能，又增加了對(duì)衰減直流分量的過濾作用，能有效抑制非周期直流衰減分量的影響。該方法與以往濾除非周期分量的其它方法相比，其特點(diǎn)為不針對(duì)某一特定算法，而對(duì)所有算法均適用。在微機(jī)保護(hù)中，采用本方法對(duì)采樣值進(jìn)行修正，可顯著減小非周期分量對(duì)計(jì)算的影響，并且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算量較小。通過仿真計(jì)算證實(shí)了本文方法的可行性和有效性。

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