胡文燕

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600）

一類橢圓型方程解的能量估計(jì)及其應(yīng)用

胡文燕

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600）

文章對一類橢圓型方程的邊值問題進(jìn)行討論，給出其解的能量估計(jì)，并利用能量積分方法，證明了其邊值問題解的唯一性及穩(wěn)定性。

橢圓型方程；能量估計(jì)；唯一性；穩(wěn)定性

我們考慮如下橢圓型方程的邊值問題：

其中Ω是Rn中的一個(gè)具有光滑邊界Γ的有界區(qū)域,且系數(shù)aij，bi，c及右端項(xiàng)f都是Ωˉ上的連續(xù)函數(shù),而且aij在Ωˉ上還具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);對一切i，j=1，…，n,aij=aji成立,且存在正常數(shù)α＞0,使得對一切x∈Ωˉ及任意實(shí)向量（ξ1，…，ξn）,

對于該邊值問題,文獻(xiàn)[1]中給出了其解的存在性,并對其非平凡解進(jìn)行了估計(jì),文獻(xiàn)[2]中給出了其解的存在性和唯一性,文獻(xiàn)[3]對其正奇異解進(jìn)行了能量估計(jì),下面將首先給出其解的能量估計(jì)式,并利用能量積分方法,證明其解的唯一性與穩(wěn)定性。

引理1[4]設(shè)u=u（x）在界區(qū)域Ω∈Rn上連續(xù)可微,且在邊界Γ上為零,則成立如下的弗里德里克斯(Friedrichs)不等式：其中C0是一個(gè)與u無關(guān)的正常數(shù)。

證明不妨就n=2的情形證明此不等式,并不妨設(shè)Ω在第一象限內(nèi),則由Ω的有界性可作矩形

于是利用施瓦茲(Schwarz)不等式,得

由于在Ω外u≡0,故取C0=a2,就有引理證畢。

下面我們首先對問題(1)的解進(jìn)行能量估計(jì)：

證明對問題(1)中的方程兩端乘以u,然后在Ω上積分,得

將上式左端第一項(xiàng)利用格林公式[5]進(jìn)行分布積分,并利用邊界條件,可得于是

在實(shí)際生長的過程中，春玉米的光合作用效果與葉片中的水勢存在很明顯的關(guān)系，葉片水勢上升，則光合作用以及光合產(chǎn)物的運(yùn)輸都有增強(qiáng)，反之則出現(xiàn)下降。因此秸稈覆蓋可以更好的提升春玉米光合作用的速率，從而幫助玉米更快的進(jìn)行光合產(chǎn)物的積累。

其中

記

則對任意給定的ε＞0,有

取ε=α／2Μ,令λ0=2nM2／α+1／2,則當(dāng)c≤－λ0時(shí)就有

再利用邊界條件及弗里德里克斯不等式,可知存在不依賴于u的正常數(shù)C,成立證畢。

下面利用能量積分方法給出問題(1)解的唯一性與穩(wěn)定性。

定理2問題(1)的解如果存在的話,它一定是唯一的。

證明設(shè)u1，u2是問題(1)的兩個(gè)解,則其差u=u1-u2滿足相應(yīng)的齊次方程及齊次邊界條件：

因此由定理2,uxi≡0，u≡0,唯一性得證。

定理3問題(1)的解在均方模意義下關(guān)于右端項(xiàng)f是穩(wěn)定的，對于任意給定的ε＞0,一定可以找到僅依賴于ε和區(qū)域Ω的η＞0,使‖f1-f2‖L2（Ω）≤η,那么以f1為右端項(xiàng)的解u1與以f2為右端項(xiàng)的解u2之差滿足

‖u1-u2‖L2（Ω）≤ε。

證明記v=u1-u2,則v滿足

則利用能量不等式,有結(jié)論成立。

特別強(qiáng)調(diào)指出,在定理1中，c（x）≤-λ0的條件是重要的,當(dāng)這個(gè)條件不成立時(shí),能量估計(jì)式以及解的唯一性與穩(wěn)定性都可能不成立。

[1]周展宏.一類橢圓型方程的非平凡解的估計(jì)[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006(3)：24-26.

[2]許興業(yè).一類非線性橢圓型方程解的存在唯一性[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005(3)：21-23.

[3]周杰,楊作東.一類擬線性橢圓型方程正奇異解的能量估計(jì)[J].南京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006(1)：21-24.

[4]Yang Zuodong.Ex istence of positive bounded entire so lutions of quasilinear elliptic equations[J].App lied M ath and Com putation,2004,156(3)：743-754.

[5]侍述軍.一類橢圓偏微分方程解的凸性估計(jì)及其應(yīng)用[D].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2012.

〔責(zé)任編輯 高 ?！?/p>

Energy Estimation and its Application of Solition to a Class of Elliptic Equations

HUWen-yan
（DepartmentofMathematics，Jinzhong University，Jinzhong Shanxi，030600）

This article does some research summary on the energy estimation of a class of Elliptic Equations，and using the energy integralmethod，proves the existence and uniqueness of its solution of boundary value problems.

elliptic equations；energy estimation；uniqueness；existence

O175.23

A

2012-08-08

胡文燕（1983-），女，山西平遙人，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

1674－0874（2013）03－0012－04