韓文梅，康天合

（1．中北大學(xué) 理學(xué)院，太原030051；2．太原理工大學(xué) 采礦工藝研究所，太原030024）

巖石的摩擦滑動(dòng)性質(zhì)對(duì)于斷裂巖體的穩(wěn)定性有著重要的影響，而影響巖石摩擦滑動(dòng)性質(zhì)的一個(gè)主要因素就是巖石滑動(dòng)面的表面形貌［1，2］。在試驗(yàn)研究巖石摩擦滑動(dòng)性質(zhì)的過(guò)程中，巖石摩擦滑動(dòng)面主要為自然斷裂面、鋸開(kāi)面和拋光面等三種，其中，自然斷裂面可以很好地反映出巖石自然斷裂的特征，但摩擦滑動(dòng)過(guò)程中巖石滑動(dòng)面的幾何性質(zhì)不易確定；鋸開(kāi)面和拋光面可以很好地反映出摩擦滑動(dòng)過(guò)程中巖石滑動(dòng)面的幾何性質(zhì)，即滑動(dòng)面的表面形貌，在一定程度上，鋸開(kāi)面也是拋光面的一種，因此，巖石拋光表面形貌的研究對(duì)于巖石的摩擦滑動(dòng)性質(zhì)有重要的影響。

表面形貌的測(cè)量方法主要為接觸式測(cè)量法和非接觸式測(cè)量法，各有優(yōu)缺點(diǎn)和應(yīng)用范圍［3－5］。非接觸測(cè)量法主要分為非光學(xué)式掃描顯微鏡測(cè)量法和光學(xué)測(cè)量法，白光干涉作為光學(xué)測(cè)量法中的一種，具有靈敏度高、穩(wěn)定性高和抗干擾性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)［3，6］，可以獲得巖石拋光表面形貌的所有數(shù)據(jù)，成為近些年來(lái)國(guó)內(nèi)外的研究重點(diǎn)。

已有的巖石表面形貌表征方法［7，8］主要為統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)表征和分形幾何表征等兩種方法。在統(tǒng)計(jì)學(xué)方法中，巖石表面形貌表征的核心內(nèi)容是巖石表面粗糙度，采用中線制得到巖石表面的輪廓算術(shù)平均中線，根據(jù)該中線從巖石表面微觀不平度高度、間距和形狀等方面對(duì)巖石的表面形貌進(jìn)行量化描述，得到輪廓算術(shù)平均偏差、輪廓均方根偏差、粗糙度參數(shù)平均值、輪廓最大谷深和輪廓最大峰高等一系列粗糙度參數(shù)。在分形幾何學(xué)方法中，當(dāng)巖石的拋光表面形貌具有分形特征時(shí)，其測(cè)度和尺度的雙對(duì)數(shù)曲線為直線，分形維數(shù)為描述巖石拋光表面形貌的唯一參數(shù)，不依賴于測(cè)量?jī)x器的分辨率和取樣尺度，可以通過(guò)某一尺度的測(cè)量來(lái)表征表面形貌在所有尺度下的特性，是表征表面形貌的固有參數(shù)。本文采用白光干涉顯微鏡法對(duì)泥巖樣拋光表面形貌進(jìn)行測(cè)定，在此基礎(chǔ)上，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)和分形幾何方法對(duì)泥巖樣表面形貌進(jìn)行進(jìn)一步表征。

1 試驗(yàn)巖樣及裝置

1．1 試驗(yàn)巖樣

試驗(yàn)所用泥巖樣為山西高平唐安煤礦3410工作面回風(fēng)順槽距四盤區(qū)軌道運(yùn)輸巷300m處的頂板泥巖，屬二疊系下統(tǒng)山西組，為陸相碎屑沉積巖。

1．2 試驗(yàn)裝置

采用巖石切割機(jī)將該泥巖樣加工成50mm×50mm×50mm的試驗(yàn)巖樣。選擇一個(gè)面，采用巖石拋光機(jī)進(jìn)行表面拋光，拋光機(jī)型號(hào)為SIP－MSD－180，功率為760W，轉(zhuǎn)速為4 000r／min，拋光片為500號(hào)聚氨酯片。

試驗(yàn)巖樣拋光表面形貌測(cè)定儀器為American MicroXAMTMADE三維白光干涉表面形貌儀。該儀器的XYZ三軸行程為100mm×100mm×100 mm，垂直掃描范圍為30μm～100mm，分辨率為480×752像素，垂直掃描分辨率最小可到0．01 nm，側(cè)向分辨率最小可到8．8nm～0．01μm，重復(fù)精度為1nm，校正精度≤0．1%，視場(chǎng)范圍為84μm×63μm～8mm×10mm，放大倍數(shù)為2．5倍、10倍和50倍。

對(duì)試驗(yàn)巖樣拋光表面形貌進(jìn)行測(cè)定，測(cè)試面積為857μm×638μm，空間采樣為1．1μm×1．3μm，光學(xué)分辨率為0．92μm，工作距離為7．4mm，聚焦深度為3．89μm，放大倍數(shù)為10倍。

2 表面形貌分析方法

2．1 表面形貌統(tǒng)計(jì)學(xué)表征

統(tǒng)計(jì)學(xué)表征表面形貌的主要內(nèi)容是表面粗糙度，表征方法為中線制，根據(jù)測(cè)定的泥巖樣拋光表面形貌，得到表面形貌的輪廓算術(shù)平均中線，基于該中線通過(guò)計(jì)算得到表面形貌統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)。

選擇具有代表性的輪廓算術(shù)平均偏差Ra、輪廓均方根偏差Rq、粗糙度參數(shù)平均值R、輪廓最大谷深Rm和輪廓最大峰高Rp等5個(gè)粗糙度參數(shù)作為試驗(yàn)巖樣表面形貌統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)。其計(jì)算公式為

式中：l為取樣長(zhǎng)度；k為評(píng)定長(zhǎng)度的個(gè)數(shù)；Rm為取樣長(zhǎng)度內(nèi)從輪廓谷底線至中線的距離；Rp為取樣長(zhǎng)度內(nèi)從輪廓峰頂線至中線的距離。

2．2 表面形貌分形幾何表征

2．2．1 功率譜法

根據(jù) Majumdar［9］所推導(dǎo)的W－M 函數(shù)

式中：x為采樣長(zhǎng)度；y為輪廓高度；G為表面特征長(zhǎng)度尺度系數(shù)；D為分形維數(shù)，1＜D＜2；γn為空間頻率的模，為滑動(dòng)面表面波長(zhǎng)的倒數(shù)，即

對(duì)式（1～4）進(jìn)行快速傅立葉變換，得其功率譜函數(shù)S（ω）

式中：ω為空間頻率。

對(duì)式（1～5）取對(duì)數(shù)，得分形維數(shù)功率譜法的計(jì)算公式

2．2．2 盒維數(shù)法

根據(jù)測(cè)度位數(shù)的定義，滑動(dòng)面表面的分形維數(shù)D 為［10］

式中：N為盒子r量度表面的結(jié)果。對(duì)于M×M的圖像，用單位為e的網(wǎng)格劃分整個(gè)圖像，則N對(duì)式（1～7）取對(duì)數(shù)，得分形維數(shù)盒維數(shù)法的計(jì)算公式

2．2．3 三角測(cè)量法

三角測(cè)量法是將表面形貌二維圖像看作類似數(shù)字正視模式（Digital Elevation Model）的三維矩陣，將圖像上每一像素的灰度值作為z值，將二維圖像轉(zhuǎn)化到三維圖像。圖像柵格的4個(gè)角，即a、b、c、d，組成圖像的面積作為正視圖的值。取這4個(gè)點(diǎn)的中心線交點(diǎn)作為中心點(diǎn)e點(diǎn)，四個(gè)三角形abe、bce、cde和dae的表面積之和即為a、b、c、d所組成的圖像的表面積，即圖像柵格的表面積。隨著柵格尺度L的變化，重復(fù)計(jì)算，即可得到圖像柵格的表面積與柵格尺度之間的關(guān)系

式中：S（L）為圖像的表面積；L為柵格尺度。對(duì)其取對(duì)數(shù)得

式中：（2－D）為該雙對(duì)數(shù)曲線的斜率。

由上述分析可知，功率譜法是基于輪廓算術(shù)平均中線計(jì)算一維分形集的分形維數(shù)；盒維數(shù)法和三角測(cè)量法是基于表面圖像計(jì)算二維分形集的分形維數(shù)，其關(guān)系為二維分形集的分形維數(shù)為一維分形集的分形維數(shù)加1［10－11］。

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

3．1 試驗(yàn)結(jié)果

圖1為采用白光干涉法測(cè)得的試驗(yàn)巖樣表面形貌二維圖像。

從圖1中可以看出，試驗(yàn)巖樣表面拋光后，巖樣表面仍呈現(xiàn)為凹凸不平。在該巖樣拋光表面形貌中，含有大量的微凸體，該微凸體是由泥巖樣表面的巖石顆粒所組成，白色光亮部分為山峰形狀的微凸體，顏色較暗的為山谷形狀的微凸體，這兩種形狀的微凸體呈不規(guī)律狀，且數(shù)量繁多，表現(xiàn)為無(wú)序性、自相似性、自仿射性和多尺度等性質(zhì)，具有分形特征。

圖1 試驗(yàn)巖樣表面形貌二維圖像

3．2 試驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)圖1所示的試驗(yàn)巖樣表面形貌二維圖像進(jìn)行進(jìn)一步分析，圖2為試驗(yàn)樣拋光表面的表面輪廓算術(shù)平均中線。

圖2 試驗(yàn)巖樣表面輪廓算術(shù)平均中線

從圖2中可以看出，在輪廓高度為－0．06～0．02μm范圍內(nèi)，試驗(yàn)巖樣表面輪廓高度成無(wú)序性和自相似性?；谠摫砻孑喞阈g(shù)平均中線，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法根據(jù)式（1）～（3）表征試驗(yàn)巖樣的輪廓算術(shù)平均偏差Ra、輪廓均方根偏差Rq、粗糙度參數(shù)平均值R、輪廓最大谷深Rm和輪廓最大峰高Rp等5個(gè)粗糙度參數(shù)，其計(jì)算結(jié)果分別為0．28，0．4，0．71，13．55，2．24μm。由該計(jì)算結(jié)果可知，輪廓算術(shù)平均偏差Ra、輪廓均方根偏差Rq和粗糙度參數(shù)平均值R這三個(gè)粗糙度參數(shù)值相接近，為0．28，0．4，0．71μm；輪廓最大谷深Rm和輪廓最大峰高Rp這兩個(gè)參數(shù)值相差較大，分別為13．55μm，2．24μm。這一結(jié)果說(shuō)明，對(duì)試驗(yàn)巖樣滑動(dòng)面進(jìn)行拋光，影響的是Ra、Rq和R這三個(gè)粗糙度參數(shù)，對(duì)Rm和Rp這兩個(gè)粗糙度參數(shù)的影響不大，其原因?yàn)樵囼?yàn)巖樣拋光后，拋光表面仍存在大量的微凸體，相對(duì)于表面輪廓算術(shù)平均中線，Rm和Rp使得該中線呈現(xiàn)無(wú)序性，Ra、Rq和R使得該中線在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化。

這5個(gè)粗糙度參數(shù)是以歐氏幾何為基礎(chǔ)，從試驗(yàn)巖樣拋光表面微觀不平度高度等方面對(duì)試驗(yàn)巖樣拋光表面形貌進(jìn)行了量化描述，對(duì)巖石摩擦滑動(dòng)微觀機(jī)理的研究具有積極的意義，但也存在一些不足之處。采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法表征試驗(yàn)巖樣拋光表面粗糙度是基于表面輪廓算術(shù)平均中線，即這些粗糙度參數(shù)是在一定的測(cè)量條件下得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)表征參數(shù)，只能表征試驗(yàn)巖樣表面形貌二維圖像的局部表面形貌，不能表征整體表面形貌，且這些粗糙度參數(shù)所表征的表面形貌特征不具有唯一性。

圖3為采用功率譜法得到的試驗(yàn)巖樣表面輪廓功率譜，對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合的線性方程為

lgS（w）＝43．68－2．03lgw．

圖3 試驗(yàn)巖樣功率譜法雙對(duì)數(shù)曲線

從圖3可以看出，lgω在2．31～6．62范圍內(nèi)，lgS（ω）與lgω為直線線性關(guān)系，表明試驗(yàn)巖樣拋光面輪廓在該范圍內(nèi)具有分形特性，分形維數(shù)D為1．49。

圖4為采用盒維數(shù)法得到的試驗(yàn)巖樣拋光表面

圖4 試驗(yàn)巖樣盒維數(shù)法雙對(duì)數(shù)曲線

雙對(duì)數(shù)曲線，對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合的線性方程為

從圖4可以看出，lge在－6．24～0范圍內(nèi)，lgN與lge為直線線性關(guān)系，表明試驗(yàn)巖樣拋光表面在該范圍內(nèi)具有分形特性，分形維數(shù)D為2．24。

圖5為采用三角測(cè)量法得到的試驗(yàn)巖樣拋光表面雙對(duì)數(shù)曲線，對(duì)其進(jìn)行線性擬合，擬合的線性方程為

圖5 試驗(yàn)巖樣三角測(cè)量法雙對(duì)數(shù)曲線

分形參數(shù)是巖石表面形貌的固有參數(shù)，不依賴于儀器的分辨率和取樣長(zhǎng)度。功率譜法、盒維數(shù)法和三角測(cè)量法的分形維數(shù)不相一致，其原因主要是三者的算法不同。從三者的算法上可以看出，功率譜法是基于輪廓算術(shù)平均中線，對(duì)輪廓算術(shù)平均中線進(jìn)行FFT變換，得到輪廓的功率譜函數(shù)，功率譜函數(shù)將離散高度轉(zhuǎn)換成頻率來(lái)計(jì)算，會(huì)產(chǎn)生許多近似誤差；盒維數(shù)法和三角測(cè)量法基于滑動(dòng)面表面形貌圖像實(shí)現(xiàn)其算法，圖像像素的大小和灰度級(jí)數(shù)會(huì)對(duì)分形維數(shù)的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。已有的成果表明［12－18］，相對(duì)于理論分形維數(shù)，功率譜法的計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)大于理論分形維數(shù)，尤其是當(dāng)分形維數(shù)較小時(shí)［18］；盒維數(shù)法的計(jì)算結(jié)果偏小［18］，偏差約為4%～10%［12］；三角測(cè)量法的計(jì)算結(jié)果偏差最小［13，18］，偏差約為1%～3%［15，16］。從圖3～圖5的計(jì)算結(jié)果中也可以看出，功率譜法的計(jì)算結(jié)果最大，三角測(cè)量法的計(jì)算結(jié)果次之，盒維數(shù)法的計(jì)算結(jié)果最小，綜合這三種計(jì)算方法，取三角測(cè)量法的分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果作為本試驗(yàn)巖樣拋光表面形貌的分形維數(shù)。

4 結(jié)論

1）基于白光干涉法對(duì)泥巖拋光表面形貌進(jìn)行了試驗(yàn)研究，從白光干涉法得到的泥巖拋光表面形貌二維圖像中可以看出，泥巖樣被拋光后，拋光表面呈現(xiàn)為凹凸不平，存在大量微凸體，其中，白色光亮部分為山峰形狀的微凸體，顏色較暗的為山谷形狀的微凸體，這兩種形狀的微凸體呈不規(guī)律狀，數(shù)量繁多，表現(xiàn)為無(wú)序性、自相似性、自仿射性和多尺度等性質(zhì)。

2）采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法從微觀不平度高度等方面對(duì)泥巖拋光表面形貌進(jìn)行了量化表征，表征參數(shù)為輪廓算術(shù)平均偏差Ra、輪廓均方根偏差Rq、粗糙度參數(shù)平均值R、輪廓最大谷深Rm和輪廓最大峰高Rp等5個(gè)粗糙度參數(shù)，這些參數(shù)可以表征泥巖拋光表面形貌的局部區(qū)域，不能表征表面整體區(qū)域的形貌，且用這些粗糙度參數(shù)所表征的表面形貌特征值不具有唯一性。

3）采用分形幾何法對(duì)泥巖拋光表面形貌進(jìn)行了量化表征，表征參數(shù)為分形維數(shù)，分形維數(shù)具有唯一性，是表征泥巖拋光表面形貌的固有參數(shù)。

4）通過(guò)對(duì)泥巖拋光表面形貌的試驗(yàn)研究，結(jié)果表明，統(tǒng)計(jì)學(xué)方法得到的粗糙度參數(shù)反映的是泥巖拋光表面形貌的局部區(qū)域，不具有唯一性；分形幾何法得到的分形維數(shù)是巖石表面形貌的固有參數(shù)，不依賴于測(cè)定儀器的分辨率和取樣長(zhǎng)度，具有唯一性。計(jì)算分形維數(shù)時(shí)由于算法的不同，泥巖拋光表面形貌的分形維數(shù)不盡相同，功率譜法的計(jì)算結(jié)果偏大，盒維數(shù)法的計(jì)算結(jié)果偏小，相對(duì)而言，三角測(cè)量法的計(jì)算結(jié)果接近于泥巖表面形貌的實(shí)際分形維數(shù)。

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