邢家省，張光照

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；2.河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院技術(shù)科學(xué)系，河南鄭州 450000）

曲面上曲線的測(cè)地曲率向量的注記＊

邢家省1，張光照2

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；2.河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院技術(shù)科學(xué)系，河南鄭州 450000）

指出測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源意義，給出測(cè)地曲率計(jì)算公式和劉維爾公式的直接推導(dǎo).

測(cè)地曲率向量；測(cè)地曲率；幾何意義；劉維爾公式

關(guān)于曲面上曲線的測(cè)地曲率向量和測(cè)地曲率的定義，文獻(xiàn)［1－4］中采用的是直接給出了表述定義的式子，沒(méi)有給出導(dǎo)致這種定義的幾何意義來(lái)源，使人感到過(guò)于突然.筆者指出在導(dǎo)出曲面的第二基本形式的幾何意義時(shí)，蘊(yùn)涵了測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源和意義，這樣就符合人們的認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有利于教學(xué)理解.對(duì)測(cè)地曲率的計(jì)算公式和劉維爾公式，也給出了直接的推導(dǎo)過(guò)程.

1 測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源

在導(dǎo)出曲面的第二基本形式的幾何意義時(shí)蘊(yùn)涵了測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源［1－2］.

設(shè)曲面Σ的參數(shù)方程為Σ：r＝r（u，v），（u，v）∈Δ.若r（u，v）具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則稱曲面Σ為C2類曲面.現(xiàn)在任固定曲面Σ上一點(diǎn)P（u，v），并設(shè)TP為曲面Σ在P點(diǎn)的切平面.曲線Γ：u＝u（s），v＝v（s），或r＝r（u（s），v（s））是Σ上過(guò)P點(diǎn)的一曲線，其中s是曲線的自然參數(shù).設(shè)Q是曲線Γ上在P點(diǎn)鄰近的一點(diǎn)，P和Q點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)自然參數(shù)s和s＋Δs，即P和Q點(diǎn)的向徑分別為r（s），r（s＋Δs）.

設(shè)n為曲面Σ在P點(diǎn)的單位法向量，由Q作切平面TP的垂線，垂足為Q1，則有Q1Q＝δn，其中δ是Q點(diǎn)到切平面TP的有向距離.

因?yàn)镼1P·n＝0，n·r′＝0，所以有

由此導(dǎo)致引入了曲面的第二基本形式的定義及其幾何意義［1－2］.

考慮曲線在切平面上的投影向量與在切線上投影向量的接近程度，

由此導(dǎo)致了測(cè)地曲率向量定義來(lái)源的幾何意義，并能解釋測(cè)地線的幾何意義.

曲面上沿曲線的切向量場(chǎng)的絕對(duì)微分的思想和Levi－Civita平行移動(dòng)概念也可認(rèn)為來(lái)源于此.

2 測(cè)地曲率向量的定義

以α表示曲線Γ上P點(diǎn)處的單位切向量，以β表示曲線Γ上P點(diǎn)處的主法向量，γ是副法向量.

定義1 曲面Σ上曲線Γ在P點(diǎn)的單位切向量的導(dǎo)向量α′（s）在切平面TP上的投影向量τP＝α′（s）－（α′（s）·n）n，稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量.稱Dα＝dα－（dα·n）n為α（s）沿曲線Γ的絕對(duì)微分.

根據(jù)伏雷內(nèi)公式，有r″（s）＝α′（s）＝k（s）β（s），其中k（s）是曲線Γ在P點(diǎn)的曲率.稱k（s）β（s）為曲率向量.故有τP＝r″（s）－（r″（s）·n）n，τP＝kβ－（kβ·n）n.

以θ表示β與n的夾角，則曲面Σ在P點(diǎn)的切方向α上的法曲率是kn＝kcosθ＝k（s）β（s）·n＝α′（s）·n，顯然α′（s）－（α′（s）·n）n與n，α都垂直.

命ε＝n×α，則α，ε，n是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成一右手系.α′（s）在切平面TP上的投影向量也就是α′（s）在ε上的投影向量.

定義2［1－4］曲面Σ上曲線Γ的切向量的導(dǎo)向量α′（s）在ε上的投影向量τP＝（α′（s）·ε）ε，稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量.

顯然有τP＝α′（s）－（α′（s）·n）n＝kβ－（kβ·n）n，τP＝kβ－knn，kβ＝knn＋τP，τP＝（r″（s）·ε）ε.

定義3［1－4］將r″（s）·ε稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率，記作kg，kg＝r″（s）·ε＝τP·ε.

顯然有τP＝kgε，kβ＝knn＋τP＝knn＋kgε.

定義4［1－6］將ε′（s）在n上的投影ε′（s）·n稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地?fù)下?，記作τg，τg＝ε′（s）·n.

3 測(cè)地曲率向量的幾何意義

定理1［2，5］曲面Σ上曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量τP，即為Γ在切平面TP上的投影曲線Γ0在P點(diǎn)的曲率向量.

證明 設(shè)曲線Γ的方程是r＝r（s），n是曲面Σ在P點(diǎn)的法向量.

將曲線Γ投影到切平面TP上，得到TP上的一條曲線Γ0，其方程為ρ（t）＝r（s＋t）－（（r（s＋t）－r（s））·n（s））n（s），參數(shù)t未必是曲線Γ0的弧長(zhǎng)參數(shù)，

4 曲面上曲線的測(cè)地曲率與曲線的曲率和法曲率的關(guān)系

5 曲面上曲線的測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式的直接推導(dǎo)

設(shè)Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數(shù)方程為u1＝u1（s），u2＝u2（s），或r＝r（u1（s），u2（s））＝r（s），這里s是該曲線的自然參數(shù).

以上是測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式，方便于直接使用.

現(xiàn)僅用向量運(yùn)算法的直接推導(dǎo)過(guò)程給出測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式.這與利用曲面論的基本方程式推導(dǎo)出測(cè)地曲率的計(jì)算公式是一致的［1－4］.

事實(shí)上，由曲面論的基本方程式中的記號(hào)［1－4］，

6 正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測(cè)地曲率的Liouville公式的直接推導(dǎo)過(guò)程

對(duì)于曲面r＝r（u1，u2）上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，有

代入測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式（1）中，整理后得

對(duì)于曲面r＝r（u，v）上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，u＝u1，v＝u2，E＝g11，G＝g22，于是

令曲線的切方向與ru的夾角為θ，則有

這個(gè)公式稱為劉維爾（Liouville）公式.

文獻(xiàn)［1］中指出的由（2）式可以推導(dǎo)出（5）式，計(jì)算過(guò)程將會(huì)是繁雜的.文獻(xiàn)［2－3］為推導(dǎo)出（5）式，采用了另外的直接方法，掩蓋了由（2）式到（5）式的關(guān)系轉(zhuǎn)換.筆者發(fā)現(xiàn)的利用（1）式推導(dǎo)出（5）式是簡(jiǎn)單直接的.文獻(xiàn)［7］給出了關(guān)于曲面上法曲率的最值的直接求法和性質(zhì).

［1］ 梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82－84；146－149.

［2］ 陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2006：139－143；229－241.

［3］ 彭家貴，陳 卿.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2002：43－47；110－117.

［4］ 馬 力.簡(jiǎn)明微分幾何［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004：27－38；76－81.

［5］ 陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編［M］.北京：高等教育出版社出版，2010：171－219.

［6］ 邢家省，王擁軍.曲面上曲線的測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式及其應(yīng)用［J］.聊城大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，25（3）：1－4.

［7］ 邢家省.法曲率最值的直接求法［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，33（4）：11－15.

（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

Note About Geodesic Curvature Vector of Curves on a Surface

XING Jia－sheng1，ZHANG Guang－zhao2
（1.Department of Mathematics，LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China；
2.Department of Technology Science，He’nan Economy ＆Trade Vocational College，Zhengzhou 450000，China）

The authors give the geometric meaning of the geodesic curvature vector，and a direct derivation method about the calculation formula of geodesic curvature and Liouville formula is obtained.

geodesic curvature vector；geodesic curvature；geometric meaning；Liouville formula

O186.11

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.002

1007－2985（2013）04－0007－04

2012－12－03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171013）

邢家省（1964－），男，河南泌陽(yáng)人，北京航空航天大學(xué)副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何研究.