吳躍生

（華東交通大學基礎科學學院，江西南昌 330013）

吳躍生

（華東交通大學基礎科學學院，江西南昌 330013）

給出了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的定義，討論了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的優(yōu)美性，用構造性的方法給出了一些特殊的圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的優(yōu)美標號.

優(yōu)美圖；圈；冠

1 相關定義

文中所討論的圖均為無向簡單圖，V（G）和E（G）分別表示圖G的頂點集和邊集，未說明的符號及術語均同文獻［1］.

定義1［1］對于一個圖G＝（V，E），若存在一個單射θ：V（G）→｛0，1，2，...，E（G）｝使得對所有邊e＝（u，v）∈E（G），由θ′（e）＝θ（u）－θ（v）導出的E（G）→｛1，2，...，E（G）｝是一個雙射，則稱G是優(yōu)美圖，θ是G的一組優(yōu)美標號，稱θ′為G的邊上的由θ導出的誘導值.

定義2［1］在圖G每個頂點都粘接了r條懸掛邊（r≥1的整數(shù)）所得到的圖，稱為圖G的r－冠.圖G的1－冠稱為圖G的冠.

文獻［1］證明了圖P1∨Pn的優(yōu)美性（圖P1∨Pn是路P1和路Pn的聯(lián)圖），又證明了圖P1∨Pn的r－冠的優(yōu)美性，由此猜想：任意優(yōu)美圖的r－冠都是優(yōu)美圖.

定義3 V（G）＝｛v1，v2，...，vn｝的每個頂點vi都粘接了ri條懸掛邊（ri≥0的整數(shù)，i＝1，2，...，n）所得到的圖，稱為圖G的（r1，r2，...，rn）－冠，簡記為G（r1，r2，...，rn）.特別地，當r1＝r2＝...＝rn＝r時，稱為圖G的r－冠.圖G的0－冠就是圖G.

文獻［2－8］給出了圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠的定義，討論了當n＝3，7，8，11，4h，4h＋3時，圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠的優(yōu)美性.文獻［10－12］分別討論了一些圖與星樹St（m）的非連通并集的優(yōu)美性.

筆者給出了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的定義，討論了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的優(yōu)美性，用構造性的方法給出一些特殊的圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的優(yōu)美標號.

定義4 V（G）＝｛v1，v2，...，vn｝中的每個頂點vi都與有ri條邊的圖Gri的一個頂點粘合所得到的圖（ri為非負整數(shù)，i＝1，2，...，n），稱為圖G的（Gr1，Gr2，...，Grn）－冠，簡記為G（Gr1，Gr2，...，Grn）.特別地，當Gr1＝Gr2＝...＝Grn＝Hr時，稱為圖G的Hr－冠.圖G的H0－冠就是圖G；當Gri＝St（ri）（St（ri）是有ri條邊的星樹i＝1，2，...，n），且V（G）＝｛v1，v2，...，vn｝中的每個頂點vi都與星樹St（ri）中的ri度點粘合所得到的圖就是圖G的（r1，r2，...，rn）－冠.

定義5 V（C4h＋3）＝｛v1，v2，...，v4h＋3｝中的每個頂點vi都與有ri條邊的圖Gri的一個頂點粘合所得到的圖（ri為非負整數(shù)，i＝1，2，...，4h＋3），稱為圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠，簡記為G（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）.

2 主要結果及其證明

證明 設滿足定理條件的圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠如圖1所示.

圖1 圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，G44h＋3）－冠

下面構造圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的2種優(yōu)美標號.

第1種優(yōu)美標號.定義圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的頂點標號θ為：

是一個雙射.

因此，θ是圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的優(yōu)美標號.

第2種優(yōu)美標號.定義圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的頂點標號θ為：

證明類似第1種標號，此處略.

在定理1中，令r1＝r2＝...＝r4h＋3＝0，有如下結論：

推論1 C4h＋3是優(yōu)美圖.

在定理1中，令Gr4h＋3＝St（r4h＋3），且圈C4h＋3中的頂點v4h＋3與St（r4h＋3）中的r4h＋3度點粘合，有如下結論：

在推論3中，令r1＝r2＝...＝r4h＋3＝r，有如下結論：

推論4 r為任意自然數(shù)，圈C4h＋3的r－冠是優(yōu)美圖.

例1 下面根據(jù)推論2給出圈C15的（0，1，0，2，0，1，0，3，0，0，0，0，0，0，7）－冠的2種優(yōu)美標號，如圖2，3所示.根據(jù)定理1給出圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7）－冠的2種優(yōu)美標號，如圖4，5所示.根據(jù)定理1給出圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），ω3，4）－冠的2種優(yōu)美標號，如圖6，7所示.根據(jù)定理1給出圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7∪P3）－冠的2種優(yōu)美標號，如圖8，9所示.根據(jù)定理2給出圈C11的（St（2），St（2），St（0），St（4），St（0），St（1），St（1），St（0），St（3），St（0），C3）－冠的2種優(yōu)美標號，如圖10，11所示.

圖2 圈C15的（0，1，0，2，0，1，0，3，0，0，...，0，7）－冠的第1種優(yōu)美標號

圖3 圈C15的（0，1，0，2，0，1，0，3，0，0，...，0，7）－冠的第2種優(yōu)美標號

圖4 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7）－冠的第1種優(yōu)美標號

圖5 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7）－冠的第2種優(yōu)美標號

圖6 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），ω3，4）－冠的第1種優(yōu)美標號

圖7 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），ω3，4）－冠的第2種優(yōu)美標號

圖8 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（4），St（0），St（0），...，St（0），C7∪P3）－冠的第1種優(yōu)美標號

圖9 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（4），St（0），St（0），...，St（0），C7∪P3）－冠的第2種優(yōu)美標號

圖10 圈C11的（St（2），St（2），St（0），St（4），St（0），St（1），St（1），St（0），St（3），St（0），...，St（0），C3）－冠的第1種優(yōu)美標號

圖11 圈C11的（St（2），St（2），St（0），St（4），St（0），St（1），St（1），St（0），St（3），St（0），...，St（0），C3）－冠的第2種優(yōu)美標號

［1］ 馬杰克.優(yōu)美圖［M］.北京：北京大學出版社，1991

［2］ 吳躍生，李詠秋.關于圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠（n＝7，8）的優(yōu)美性［J］.阜陽師范學院學報：自然科學版，2010，2 7（3）：20－23.

［3］ 吳躍生，李詠秋.關于圈C11的（r1，r2，...，r11）－冠的優(yōu)美性［J］.長春師范學院學報，2010，29（6）：4－8.

［4］ 吳躍生，李詠秋.再探圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠（n＝7，8）的優(yōu)美性［J］.阜陽師范學院學報：自然科學版，2010，2 7（4）：1－4.

［5］ 吳躍生，李詠秋.關于圈C3的（1，2a，2a＋1）－冠的優(yōu)美性［J］.河南教育學院學報，2010（4）：1－2.

［6］ 吳躍生.關于圈C4h的（r1，r2，...，r4h）－冠的優(yōu)美性［J］.華東交通大學學報，2011，28（1）：77－80.

［7］ 吳躍生，李詠秋.關于圈C4h＋3的（r1，r2，...，r4h＋3）－冠的優(yōu)美性［J］.吉首大學學報：自然科學版，2011，32（6）：1－4.

［8］ 吳躍生.圈C3的（r1，r2，r3）－冠都是優(yōu)美的［J］.河南教育學院學報，2012，21（1）：15－17.

［9］ 吳躍生.關于圖P36k＋5∪P3n的優(yōu)美性［J］.吉首大學學報：自然科學版，2012，33（3）：4－7.

［10］ 吳躍生，徐保根.兩類非連通圖（P2∨）（0，0，r1，0，...，0，rn）∪St（m）及（P2∨）（r1＋a，r2，0，...，0）∪Gr的優(yōu)美性［J］.中山大學學報：自然科學版，2012，51（5）：63－66.

［11］ 吳躍生.圖C5（r1r2，r3，0，0）∪St（m）的優(yōu)美性［J］.嘉應學院學報，2012，30（8）：5－8.

［12］ 吳躍生.圖C7（r1r2，r3，r4，r5，0，0）∪St（m）的優(yōu)美性［J］.吉首大學學報：自然科學版，2012，33（5）：9－11.

（責任編輯 向陽潔）

On the Gracefulness of the（，...，）－Corona of the Graph C4h＋3

WU Yue－sheng
（School of Basic Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

The definition of the（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋2）－corona of the Graph C4h＋3is given.The gracefulness of the（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋2）－corona of the Graph C4h＋3are discussed.The graceful labelings are given.

graceful graph；cycle；corona

O157.5

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.001

1007－2985（2013）04－0001－06

2012－12－13

國家自然科學基金資助項目（11261019；11061014）；江西省自然科學基金資助項目（20114BAB201010）

吳躍生（1959－），男，江西瑞金人，華東交通大學基礎科學學院副教授，碩士，主要從事圖論研究.