徐亞軍，于德介，孫云嵩，趙 丹

（湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

引 言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用最為廣泛的部件之一，各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械輸出軸的支撐大多采用滾動(dòng)軸承形式。滾動(dòng)軸承的運(yùn)行狀態(tài)對(duì)整臺(tái)機(jī)器的安全運(yùn)行影響最大［1］，其運(yùn)行狀態(tài)的正常與否將直接影響到整個(gè)機(jī)組的性能，因此滾動(dòng)軸承的狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷技術(shù)研究具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，會(huì)產(chǎn)生周期性的脈沖沖擊力，從而產(chǎn)生振動(dòng)信號(hào)的調(diào)制現(xiàn)象，頻譜圖上表現(xiàn)為固有頻率兩側(cè)出現(xiàn)間隔均勻的調(diào)制邊頻帶［2］。傳統(tǒng)的軸承故障診斷方法通過(guò)對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)診斷故障。常用的軟件解調(diào)方法有廣義檢波濾波解調(diào)、希爾伯特變換解調(diào)。在廣義檢波濾波解調(diào)分析中，由于取絕對(duì)值、檢波過(guò)程或平方過(guò)程都會(huì)使載波頻率有可能出現(xiàn)高次諧波而產(chǎn)生混頻效應(yīng)，因此需要選擇合適的采樣頻率以避免這種混頻效應(yīng)［3］。Hilbert解調(diào)由于Hilbert算子的加窗效應(yīng)，使得解調(diào)結(jié)果出現(xiàn)非瞬時(shí)響應(yīng)特性，即在解調(diào)出的調(diào)制信號(hào)兩端及有突變的中間部位產(chǎn)生調(diào)制，表現(xiàn)為幅值按指數(shù)衰減波動(dòng)，從而使解調(diào)誤差增大［4］。

數(shù)學(xué)形態(tài)分析是基于積分幾何和隨機(jī)集的非線性信號(hào)分析方法。該方法通過(guò)形態(tài)變換將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為具有物理意義的各個(gè)部分，使其與背景剝離，同時(shí)保留信號(hào)主要的形狀特征［5］。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在考察信號(hào)時(shí)使用結(jié)構(gòu)元素探針，通過(guò)結(jié)構(gòu)元素探針在信號(hào)中不斷移動(dòng)來(lái)提取有用信息進(jìn)行特征分析和描述［6，7］。多尺度形態(tài)學(xué)的結(jié)構(gòu)元素由信號(hào)產(chǎn)生，具有一定的適應(yīng)性，能更有效地提取信號(hào)的沖擊特征［8～10］。對(duì)故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度形態(tài)學(xué)操作，提取故障信號(hào)的沖擊特征，然后進(jìn)行頻譜分析，能較好地達(dá)到解調(diào)的目的。與傳統(tǒng)的解調(diào)分析比較，由于算法只涉及加減運(yùn)算，不需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行絕對(duì)值、Hilbert算子等運(yùn)算，一方面可以減少由于算子運(yùn)算產(chǎn)生的混頻效應(yīng)、加窗效應(yīng)等；另一方面降低了算法的復(fù)雜度。且不需要對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行低通濾波，無(wú)需預(yù)先選擇截止頻率，因此多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)是一種很好的解調(diào)分析方法。

根據(jù)軸承故障特征頻率公式［11］，軸承故障特征頻率與軸承的相關(guān)尺寸和轉(zhuǎn)速相關(guān)。當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí)，軸承的故障特征頻率會(huì)隨轉(zhuǎn)速一起變化，從而此時(shí)的故障特征頻率不再是某一固定值，而是隨時(shí)間變化的一條故障頻率曲線。傅里葉變換以及其他的解調(diào)方法需要信號(hào)滿足平穩(wěn)化的要求，因此傳統(tǒng)的軸承故障診斷方法不適用于轉(zhuǎn)速變化情況下的軸承故障診斷。

Emmanuel J Candès等近年來(lái)提出的線調(diào)頻小波路徑追蹤算法能有效提取信號(hào)的瞬時(shí)頻率［12］。本文將線調(diào)頻小波路徑追蹤算法與多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法相結(jié)合，提出了基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法，并用于轉(zhuǎn)速大范圍波動(dòng)情況下的滾動(dòng)軸承故障診斷。當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，其載波頻率一般為外環(huán)的各階固有頻率，而調(diào)制頻率為產(chǎn)生疲勞剝落元件（內(nèi)環(huán)、外環(huán)或滾動(dòng)體）的通過(guò)頻率及其倍頻［13］。本文方法先用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法估計(jì)轉(zhuǎn)速波動(dòng)滾動(dòng)軸承的故障特征頻率；再依據(jù)獲得的通過(guò)頻率對(duì)等時(shí)間間隔采樣的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行插值和重采樣，得到等角度采樣的角域平穩(wěn)信號(hào)；最后用信號(hào)局部峰值方法確定多尺度形態(tài)學(xué)分析的結(jié)構(gòu)元素，根據(jù)各結(jié)構(gòu)元素對(duì)重采樣信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)操作，進(jìn)而獲得操作結(jié)果平均值的階次譜以診斷滾動(dòng)軸承故障。仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析結(jié)果表明，基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)的方法可以有效地應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。

1 線調(diào)頻小波路徑追蹤算法

線調(diào)頻小波路徑追蹤算法采用的多尺度線調(diào)頻基元函數(shù)如下

式（1）定義的多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)在動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段內(nèi)的瞬時(shí)頻率為aμ＋2bμt，在時(shí)頻面的表示如圖1所示。通過(guò)信號(hào)在多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)上的逐段投影分析，計(jì)算獲得每個(gè)時(shí)間分析段I內(nèi)的最大投影系數(shù)和對(duì)應(yīng)的線調(diào)頻基元函數(shù)，該基元函數(shù)即為在時(shí)間分析段I中與分析信號(hào)最為相似的頻率成分，適合在小的動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段內(nèi)逐段擬合頻率呈曲線變化的頻率成分。線調(diào)頻基函數(shù)的多尺度特性使得它具有了動(dòng)態(tài)匹配分析信號(hào)的特性，而基函數(shù)中包含的調(diào)頻率信息則使得其適合分析頻率呈曲線變化的非平穩(wěn)信號(hào)。

圖1 基元函數(shù)的時(shí)頻表示Fig．1 Time frequency representation of elementary function

當(dāng)信號(hào)與多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)越相似時(shí)，其投影系數(shù)也越大，基元函數(shù)的能量也越大，因此要求找到一種動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段連接方法，在該連接方法下，使連接的所有基元函數(shù)信號(hào)在整個(gè)分析時(shí)間內(nèi)的總能量最大，即

∏覆蓋整個(gè)分析時(shí)間段，不能重疊，其對(duì)應(yīng)的最大投影系數(shù)和基元函數(shù)分別為

∏的連接方法應(yīng)保證在投影中使連接的基函數(shù)在整個(gè)分析時(shí)間段內(nèi)的總能量最大，線調(diào)頻小波路徑追蹤算法提出的連接算法如下：

（1）初始化。以i為時(shí)間支持區(qū)序號(hào)，d（i）為第i個(gè)時(shí)間支持區(qū)之前分解信號(hào)的總能量，pre（i）為連接到第i個(gè)時(shí)間支持區(qū)的前置時(shí)間支持區(qū)序號(hào)，e（i）為第i個(gè)時(shí)間支持區(qū)最大投影系數(shù)對(duì)應(yīng)的分解信號(hào)的能量，初始化時(shí)，置d（i），pre（i）＝0；

（2）對(duì)于動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段集合｛Ii，i∈Z｝中的每一個(gè)元素Ii，查找出與其相鄰的所有下一個(gè)動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段集合｛Ij｝，即｛Ij｝中所有元素的起始時(shí)間與Ii相鄰。如果

有

Π的連接方法可以保證在整個(gè)分析時(shí)間段內(nèi)基元函數(shù)組合形成的信號(hào)與分析信號(hào)最為相似，而基元函數(shù)在動(dòng)態(tài)分析時(shí)間支持區(qū)∏＝｛I1，I2，…｝內(nèi)的瞬時(shí)頻率為aμi＋2bμiti，ti∈Ii，對(duì)應(yīng)的線性直線連接形成的頻率曲線則是對(duì)分解信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)。

2 多尺度形態(tài)學(xué)及其計(jì)算

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有兩種基本的形態(tài)函數(shù)：腐蝕和膨脹，若待處理信號(hào)x（n）是采樣得到的一維多值信號(hào)，定義域?yàn)镈f＝0，1，2，…，N－1，g（n）為一維結(jié)構(gòu)元素序列，定義域?yàn)镈g＝0，1，2，…，M－1，其中N和M都是整數(shù)，且有N≥M。信號(hào)膨脹、腐蝕、開(kāi)和閉運(yùn)算分別定義為

式中m∈0，1，2，…，M－1。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的開(kāi)運(yùn)算可用于濾除信號(hào)上方的峰值噪聲，去除信號(hào)邊緣的毛刺；閉運(yùn)算可用于平滑或抑制信號(hào)下方的波谷噪聲，填補(bǔ)信號(hào)的漏洞和縫隙［16］。同時(shí)利用形態(tài)學(xué)開(kāi)、閉運(yùn)算可以構(gòu)造AVG和DIF濾波器，構(gòu)造方式分別為

式中 AVG濾波器能用于信號(hào)正負(fù)沖擊特征的平滑，相當(dāng)于平滑濾波器，而DIF能用于提取信號(hào)的沖擊特征［17］。

令x和B分別代表一維信號(hào)和形態(tài)學(xué)的結(jié)構(gòu)元素，若給定了一個(gè)二值形態(tài)學(xué)變換T，則基于T的多尺度形態(tài)學(xué)運(yùn)算可定義為一族形態(tài)學(xué)變換｛Tλ｜λ＞0，λ∈N｝，其中Tλ（x）＝λT（x／λ），相似地，多尺度形態(tài)學(xué)膨脹、腐蝕操作定義為

式中λB＝B⊕B⊕…⊕B（λ－1次），參照傳統(tǒng)的多尺度形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用，定義長(zhǎng)度尺度λl和高度尺度λh，即λ＝（λl，λh）。對(duì)長(zhǎng)度尺度λl和高度尺度λh的搜索，本文采用局部極值自適應(yīng)搜索方法，得到長(zhǎng)度尺度λl的最大值和最小值分別為

因此長(zhǎng)度尺度λl＝｛λlmin，λlmin＋1，…，λlmax｝，其中in為極值間隔，高度尺度λh定義為

式中j＝0，1，2，…，λlmax－λlmin，其中pnmin，pnmax分別為信號(hào)的最大和最小值。β為尺度的幅值系數(shù)，（0＜β＜1），本文取β＝1／3。利用λl和λh構(gòu)建多尺度形態(tài)學(xué)的每一個(gè)尺度的結(jié)構(gòu)元素λB為

式中λlB是將B進(jìn)行λl－1次膨脹運(yùn)算。

本文選取的形態(tài)學(xué)算子為差值算子DIF，結(jié)構(gòu)元素B為三角型結(jié)構(gòu)元素，B＝［0，1，0］。則

3 基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)

多尺度形態(tài)學(xué)DIFλ操作能有效地提取信號(hào)的沖擊特征，若對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)進(jìn)行多尺度形態(tài)學(xué)操作，提取故障信號(hào)的沖擊特征，然后進(jìn)行頻譜分析，則能較好地達(dá)到解調(diào)的目的。但是頻譜分析是以分析穩(wěn)態(tài)信號(hào)為前提的，而變轉(zhuǎn)速工況下拾取的軸承振動(dòng)信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)。因此本文結(jié)合線調(diào)頻小波路徑追蹤方法和多尺度形態(tài)學(xué)分析，提出基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法。

信號(hào)等角度重采樣的具體步驟為：

（1）采用線調(diào)頻小波路徑追蹤方法分析滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)，獲得變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的故障特征頻率曲線；

（2）用三階多項(xiàng)式對(duì)特征頻率曲線進(jìn)行擬合，則有

（3）確定階次跟蹤的最大分析階Dmax；

（4）計(jì)算等角度重采樣的角度間隔Δθ，根據(jù)采樣定理，采樣率應(yīng)不小于最大分析階次的兩倍，所以

（5）計(jì)算重采樣后數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度N

式中T為時(shí)域采樣的總時(shí)間，f（t）為頻率擬合函數(shù)；

（6）計(jì)算等角度重采樣的鍵相時(shí)標(biāo)Tn

式中T0為時(shí)域采樣開(kāi)始時(shí)間；

（7）等角度重采樣，根據(jù)所求出的鍵相時(shí)標(biāo)Tn，利用Lagrange線性插值公式對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行插值，求出振動(dòng)信號(hào)在角域里對(duì)應(yīng)于鍵相時(shí)標(biāo)Tn的幅值。對(duì)于給定的插值節(jié)點(diǎn)Tn及對(duì)應(yīng)的幅值x（Tn），則Lagrange線性插值公式為

經(jīng)以上步驟得到重采樣信號(hào)x（Tn）后，用信號(hào)局部極值自適應(yīng)搜索方法得到重采樣信號(hào)x（Tn）的長(zhǎng)度尺度和高度尺度，再利用式（17）即可構(gòu)建多尺度形態(tài)學(xué)DIFλ操作的每一個(gè)尺度的結(jié)構(gòu)元素λB。

根據(jù)式（18）分別計(jì)算出分析信號(hào)x（Tn）的各個(gè)尺度形態(tài)學(xué)分析結(jié)果，其反映了分析信號(hào)中含有的特定尺度的沖擊成分，在每一尺度的分析結(jié)果中也會(huì)含有隨機(jī)噪聲。對(duì)于特定的信號(hào)x（Tn），其沖擊成分應(yīng)該出現(xiàn)在多個(gè)尺度中，因此將各個(gè)尺度的形態(tài)學(xué)分析得到的信號(hào)取平均值作為最終的多尺度形態(tài)學(xué)操作結(jié)果，這樣既突出信號(hào)中的沖擊成分，又有效地抑制了噪聲。最后對(duì)平均后的多尺度形態(tài)學(xué)操作結(jié)果做頻譜分析，便完成了對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)。

基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)過(guò)程可用圖2所示的原理框圖表示。

圖2 基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)原理框圖Fig．2 The schematic diagram of the order multi－scale morphology demodulation based on chirplet path pursuit algorithm

4 仿真信號(hào)分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)一軸承故障仿真信號(hào)進(jìn)行分析。當(dāng)軸承出現(xiàn)故障時(shí)，振動(dòng)信號(hào)中會(huì)出現(xiàn)以軸承元件固有頻率為載波頻率的多頻率調(diào)制信號(hào)，通常表現(xiàn)為不斷重復(fù)的脈沖衰減信號(hào)，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速變化時(shí)，脈沖出現(xiàn)的間隔即調(diào)制頻率會(huì)隨轉(zhuǎn)速變化。

取脈沖信號(hào)為

信號(hào)載波頻率為1 020Hz，衰減系數(shù)為－420。為模擬軸承振動(dòng)信號(hào)被調(diào)制信號(hào)調(diào)制的現(xiàn)象，假定載波信號(hào)幅值被頻率f1調(diào)制，取調(diào)制頻率f1為

圖3為單個(gè)脈沖信號(hào)時(shí)域波形圖，通過(guò)構(gòu)建repeat函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)每隔周期1／f1出現(xiàn)單個(gè)脈沖，即可組成周期脈沖信號(hào)。圖4為加噪仿真信號(hào)時(shí)域波形示意圖，信號(hào)采樣頻率為8 192Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)4s，信噪比10dB。對(duì)加噪仿真信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換，得到包絡(luò)信號(hào)，因脈沖調(diào)制頻率最大為54Hz，所以將包絡(luò)信號(hào)采樣頻率由原來(lái)的8 192降為1 024Hz，對(duì)于脈沖調(diào)制頻率的提取仍能滿足采樣定理。圖5為用FFT變換得到的降采樣包絡(luò)信號(hào)頻譜圖，由于脈沖調(diào)制頻率隨時(shí)間變化，從該圖很難直接對(duì)調(diào)制頻率進(jìn)行識(shí)別。圖6為仿真信號(hào)的調(diào)制頻率和擬合頻率時(shí)頻圖，圖中實(shí)線是仿真信號(hào)的調(diào)制頻率曲線，虛線為對(duì)包絡(luò)信號(hào)用線調(diào)頻小波路徑追蹤方法提取的調(diào)制頻率擬合曲線。從圖中不難看出擬合頻率曲線很好地匹配了信號(hào)的調(diào)制頻率曲線。將信號(hào)以線調(diào)頻小波路徑追蹤方法提取的調(diào)制頻率進(jìn)行等角度重采樣，對(duì)重采樣信號(hào)進(jìn)行多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)，再對(duì)解調(diào)信號(hào)做階次譜就得到圖7所示的仿真信號(hào)的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)階次譜。圖中階次1，2，3，4恰好對(duì)應(yīng)著模擬故障特征頻率及其倍頻，從而很好地驗(yàn)證了本文方法的有效性。

圖3 脈沖信號(hào)時(shí)域波形圖Fig．3 The time domain waveform diagram of pulse signal

圖4 仿真信號(hào)時(shí)域波形圖Fig．4 The waveform of simulated signal

圖5 包絡(luò)信號(hào)頻譜圖Fig．5 Spectrogram of the envelope signal

圖6 仿真信號(hào)的調(diào)制頻率和擬合頻率時(shí)頻圖Fig．6 The time－frequency diagram of the simulation signal’s modulation frequency and fitting frequency

圖7 仿真信號(hào)的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)階次譜Fig．7 The order spectrum of the simulation signal obtained by multi－scale morphology demodulation

圖8中實(shí)線是仿真信號(hào)的調(diào)制頻率曲線，虛線為仿真信號(hào)基于Wigner－Ville峰值跟蹤算法得到的擬合頻率曲線，與基于線調(diào)頻小波路徑追蹤方法得到的調(diào)制頻率曲線（圖6）相比，其精度明顯要低。

圖9為仿真信號(hào)基于Wigner－Ville的包絡(luò)階次譜，圖中出現(xiàn)了（2．705，77．08），（3．599，62．39）的干擾階次?？梢?jiàn)在信噪比較低的情況下，基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法能得到更準(zhǔn)確的階次譜。

圖8 仿真信號(hào)的調(diào)制頻率與 Wigner－Ville峰值跟蹤算法的擬合頻率Fig．8 The modulation frequency and the fitting frequency obtained by Wigner－Ville peak tracking algorithm of the simulation signal

圖9 基于Wigner－Ville峰值跟蹤的包絡(luò)階次譜Fig．9 The envelope order spectrum based on Wigner－Ville peak tracking algorithm

5 實(shí)測(cè)滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)分析

試驗(yàn)軸承為6307E型滾動(dòng)軸承，利用激光分別在外圈和內(nèi)圈上切割寬0．15mm，深0．13mm的槽，模擬外圈和內(nèi)圈故障，由于試驗(yàn)條件的限制，未能在滾動(dòng)體上設(shè)置故障。振動(dòng)加速度傳感器固定在軸承座正上方，拾取軸承外圈和內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)，轉(zhuǎn)速分別在809．09～1 280．60r／min之間和340．72～714．91r／min之間變化，采樣頻率8 192 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為4s。滾動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)如圖10所示。

圖10 滾動(dòng)軸承試驗(yàn)裝置Fig．10 The experiment device of rolling bearing

圖11 軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形圖Fig．11 The time domain vibration signal of bearing outer race fault

圖11為軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形圖，從圖中可以看出存在明顯的沖擊脈沖，且脈沖間隔隨轉(zhuǎn)速變化。圖12中曲線分別為用轉(zhuǎn)速計(jì)實(shí)測(cè)的故障軸承所在軸轉(zhuǎn)頻曲線（曲線1）和根據(jù)軸承故障特征頻率計(jì)算公式計(jì)算獲得的軸承外圈故障特征頻率曲線（曲線2）［11］，可以看出轉(zhuǎn)頻在13．48～21．34 Hz間變化，故障特征頻率隨轉(zhuǎn)速波動(dòng)在41．26～65．31Hz之間變化。圖13為傳統(tǒng)的包絡(luò)信號(hào)頻譜圖，由于故障特征頻率隨轉(zhuǎn)速變化，無(wú)法準(zhǔn)確判斷其峰值點(diǎn)屬于轉(zhuǎn)頻及其倍頻還是故障特征頻率及其倍頻。將包絡(luò)信號(hào)的采樣頻率由8 192Hz降為1 024 Hz，對(duì)于10倍故障特征頻率的提取仍能滿足采樣定理。當(dāng)滾動(dòng)軸承外圈發(fā)生故障時(shí)，其載波頻率一般為外環(huán)的各階固有頻率，而調(diào)制頻率為外環(huán)的通過(guò)頻率及其倍頻［13］。圖14中實(shí)線為圖12中計(jì)算得到的故障特征頻率曲線，虛線是降采樣的包絡(luò)信號(hào)經(jīng)過(guò)線調(diào)頻小波路徑追蹤方法分解得到的擬合頻率曲線。從圖中可以看出其能很好地匹配根據(jù)轉(zhuǎn)頻計(jì)算得到的故障特征頻率曲線。以圖14中虛線所示頻率曲線對(duì)外圈故障信號(hào)進(jìn)行等角度重采樣，對(duì)重采樣信號(hào)進(jìn)行多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)，再對(duì)解調(diào)信號(hào)進(jìn)行階次譜分析，得到外圈故障信號(hào)的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)階次譜如圖15所示，圖中的峰值譜線對(duì)應(yīng)外圈故障特征頻率及其倍頻的階次，從圖中能很清晰地辨別出故障特征頻率及其倍頻，表明軸承信號(hào)被外圈故障特征頻率及其倍頻成分調(diào)制了，這正是一般滾動(dòng)軸承出現(xiàn)外圈故障時(shí)的振動(dòng)信號(hào)特征，與實(shí)際情況相符。

圖12 軸轉(zhuǎn)動(dòng)頻率與軸承外圈故障特征頻率曲線圖Fig．12 The Shaft rotation frequency and bearing outer race fault characteristic frequency

圖13 外圈故障包絡(luò)信號(hào)頻譜圖Fig．13 The envelope spectrum of bearing outer race fault’s vibration signal

圖14 外圈故障特征頻率曲線Fig．14 The characteristic frequency of the bearing outer race fault

圖15 外圈故障信號(hào)多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)階次譜Fig．15 The order spectrum of the bearing outer race fault signal obtained by multi－scale morphology demodulation

圖16 外圈故障信號(hào)的包絡(luò)階次譜Fig．16 The envelope order spectrum of the bearing outer race fault signal

同樣以圖14中虛線所示頻率曲線對(duì)外圈故障信號(hào)進(jìn)行等角度重采樣，再對(duì)解調(diào)信號(hào)進(jìn)行階次譜分析得到圖16所示的外圈故障信號(hào)的包絡(luò)階次譜。比較圖15與16，可以看出圖15中的階次更加清晰、明顯，既突出了沖擊成分，又有效地抑制了噪聲。從而可以驗(yàn)證階比多尺度形態(tài)學(xué)對(duì)于軸承故障診斷的優(yōu)越性與有效性。

圖17 軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形圖Fig．17 The time domain vibration signal of bearing inner race fault

圖18 內(nèi)圈故障信號(hào)多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)階次譜Fig．18 The order spectrum of the bearing inner race fault signal obtained by multi－scale morphology demodulation

圖19 內(nèi)圈故障信號(hào)基于Wigner－Ville的包絡(luò)階次譜Fig．19 The envelope order spectrum of the bearing inner race fault signal based on Wigner－Ville

圖17是含有內(nèi)圈故障的滾動(dòng)軸承振動(dòng)加速度信號(hào)。當(dāng)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈出現(xiàn)故障時(shí)，其載波頻率一般為外環(huán)的各階固有頻率，調(diào)制頻率為內(nèi)環(huán)的通過(guò)頻率及其倍頻以及轉(zhuǎn)頻及其倍頻［13］。圖18為內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)階次譜。階次譜中出現(xiàn)了1X1（0．992 5），2X1（1．975）的階次，這與故障特征頻率的1，2倍頻極為吻合。同時(shí)也出現(xiàn)了0．190 7，0．410 7等階次，這是振動(dòng)信號(hào)被轉(zhuǎn)頻及其倍頻調(diào)制的結(jié)果。實(shí)際上，根據(jù)軸承故障特征頻率公式和軸承型號(hào)（6307E）［11］，計(jì)算得到內(nèi)圈的故障特征頻率是轉(zhuǎn)頻的4．937倍（則轉(zhuǎn)頻為故障特征頻率的1／4．937≈0．202），階次譜中出現(xiàn)的 X（0．190 7），2X（0．410 7），3X（0．603 3），4X（0．810 6），6X（1．210 8），7X（1．414 3），8X（1．602 1），9X（1．821 4）的階次為轉(zhuǎn)頻及其倍頻。

用基于Wigner－Ville峰值的階比跟蹤方法對(duì)內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)階次譜分析，結(jié)果如圖19所示，其階次基本上不能區(qū)分出來(lái)，已淹沒(méi)在噪聲中?？梢?jiàn)在內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)信噪比較低的情況下，基于線調(diào)頻小波路徑追蹤的階比多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)效果要明顯優(yōu)于基于Wigner－Ville的階比跟蹤效果。

6 結(jié) 論

（1）線調(diào)頻小波路徑追蹤算法能在不額外安裝硬件的情況下得到軸承的故障特征頻率曲線，從而能將轉(zhuǎn)速波動(dòng)的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)化為角域的平穩(wěn)信號(hào)，降低了滾動(dòng)軸承故障診斷的復(fù)雜度，節(jié)約了成本。用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法獲得軸承故障特征頻率曲線的過(guò)程不會(huì)受到二次時(shí)頻交叉干擾項(xiàng)的影響，不需要通過(guò)帶通濾波器對(duì)其他頻率分量進(jìn)行“掩蓋”，使得其估計(jì)精度高于峰值跟蹤法。

（2）多尺度形態(tài)學(xué)的尺度系數(shù)由信號(hào)產(chǎn)生，具有一定的自適應(yīng)性，能夠提取振動(dòng)信號(hào)中含有的特定尺度的沖擊成分，對(duì)各尺度形態(tài)學(xué)分析結(jié)果取平均能有效抑制噪聲，因此多尺度形態(tài)學(xué)階次分析比包絡(luò)階次分析更能有效地突出沖擊成分，抑制噪聲。

（3）仿真與應(yīng)用實(shí)例表明，將線調(diào)頻小波路徑追蹤算法和多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法相結(jié)合，能很好對(duì)變轉(zhuǎn)速下的滾動(dòng)軸承外圈與內(nèi)圈故障進(jìn)行識(shí)別。

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