張清華，張憲民

（華南理工大學(xué)廣東省精密裝備與制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510640）

引 言

為了節(jié)約能源，提高工業(yè)生產(chǎn)率，輕型、高速、高加速度、高精度柔性并聯(lián)機(jī)器人在許多領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用。柔性并聯(lián)機(jī)器人在諸如電子裝配、精密加工與測(cè)量、航空航天領(lǐng)域擁有巨大的市場(chǎng)潛力，因此開展柔性并聯(lián)機(jī)器人的研究具有十分重要的意義。

最近幾十年，各國(guó)學(xué)者廣泛開展了對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的研究［1］。1965年，英國(guó)高級(jí)工程師Stewart提出了一種6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)—Stewart平臺(tái)［2］，該平臺(tái)后來被用于飛行模擬實(shí)驗(yàn)。隨后出現(xiàn)了一大批并聯(lián)機(jī)器人產(chǎn)品，其中最具代表性的是瑞士洛桑學(xué)院的Clavel在1988年開發(fā)的Delta機(jī)器人［1］。歷經(jīng)幾十年的發(fā)展，剛性并聯(lián)機(jī)器人的研究已取得了大量成果。然而柔性并聯(lián)機(jī)器人作為一種新型的、剛－柔混聯(lián)的機(jī)構(gòu)，多剛體動(dòng)力學(xué)的研究方法已不再適用，建立和求解柔性并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型是非常具有挑戰(zhàn)性的工作。

近年來，一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者在柔性并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方面做了一些探索。胡俊峰、張憲民研究了一種新型兩自由度高速并聯(lián)機(jī)械手的彈性動(dòng)力學(xué)特性［3］，采用簡(jiǎn)化 KED（Kineto－Elastodynamic Analysis）方法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型［4］。張憲民、劉濟(jì)科、沈允文等對(duì)連桿機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)建模方法進(jìn)行了探索［5，6］，考慮剛體運(yùn)動(dòng)和彈性運(yùn)動(dòng)的耦合和剪切變形的影響，并具體分析了一款六桿機(jī)構(gòu)。杜兆才，余躍慶等對(duì)平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了分析［7］，采用KED方法建立其動(dòng)力學(xué)模型，該模型沒有考慮剛體運(yùn)動(dòng)和彈性運(yùn)動(dòng)的耦合，對(duì)系統(tǒng)約束方程考慮不夠完全。劉增善在其博士論文中系統(tǒng)地研究了空間3－RRS柔性并聯(lián)機(jī)器人［8］，用簡(jiǎn)化KED方法建立了柔性3－RRS并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。多倫多大學(xué)機(jī)械與工業(yè)工程學(xué)院的非線性控制實(shí)驗(yàn)室長(zhǎng)期以來致力于并聯(lián)機(jī)器人的研究，其中 Wang Xiaoyun，Mills Jeams K等對(duì)平面3－PRR柔性并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了系統(tǒng)地研究［9～12］，并取得了豐碩的成果。Shabana A A系統(tǒng)地闡述了剛－柔混聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模方法［13］。張策、黃永強(qiáng)等詳細(xì)討論了彈性連桿機(jī)構(gòu)的建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)問題［4］。

目前，國(guó)際上有關(guān)并聯(lián)機(jī)器人彈性動(dòng)力學(xué)建模的研究尚處于起步階段，相關(guān)的理論還很不成熟。已有的研究結(jié)果也存在模型過于復(fù)雜難以求解、或未對(duì)模型作詳盡分析，不利于理解并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)特性，也難以在實(shí)際應(yīng)用中提出可有效改善其動(dòng)態(tài)性能的具體策略或方法。

本文對(duì)平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了研究，采用有限元法和Lagrange方程建立了系統(tǒng)剛－彈耦合非線性彈性動(dòng)力學(xué)模型。在求解模型時(shí)，忽略彈性變形運(yùn)動(dòng)對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響，分析了平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)中心的彈性位移、彈性轉(zhuǎn)角以及柔性桿件所承受的最大應(yīng)力隨機(jī)器人位型的變化關(guān)系。

1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)

平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人示意圖如圖1所示：系統(tǒng)由動(dòng)平臺(tái)C1C2C3、靜平臺(tái)A1A2A3、3條連接動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)的柔性支鏈A1B1C1，A2B2C2和A3B3C3組成，且3條支鏈?zhǔn)峭耆恢碌?，即A1B1＝A2B2＝A3B3，B1C1＝B2C2＝B3C3，主動(dòng)桿與從動(dòng)桿、從動(dòng)桿與動(dòng)平臺(tái)之間用轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接，連桿A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A3B3和B3C3都是柔性桿件，A1，A2和A3是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，B1，C1，B2，C2，B3和C3是被動(dòng)關(guān)節(jié)，O為正三角形靜平臺(tái)A1A2A3的中心，P為正三角動(dòng)平臺(tái)C1C2C3的中心，O－XY為全局固 定 坐 標(biāo) 系，α1，β1，α2，β2，α3，β3分 別 為 連 桿A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A3B3，B3C3與X軸正方向所成的夾角，θ為正三角形C1C2C3的邊C1C2與X軸正方向所成的夾角。

圖1 并聯(lián)機(jī)器人示意圖Fig．1 Diagram of the parallel robot

2 單元?jiǎng)恿W(xué)方程

圖2 單元?jiǎng)恿W(xué)模型Fig．2 Dynamic model of beam element

將支鏈中的柔性連桿視為由梁?jiǎn)卧M成，梁?jiǎn)卧鐖D2所示，O－XY為全局固定坐標(biāo)系，A－xy為固連于單元端點(diǎn)A處的局部坐標(biāo)系，且x軸沿著未變形梁?jiǎn)卧闹行跃€。A，B為單元的兩個(gè)端點(diǎn)，C為單元中軸線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)彈性變形后到達(dá)C′處，假設(shè)單元兩端點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的廣義彈性坐標(biāo)用向量ef＝［e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8］T表示，式中e1，e5為端點(diǎn)A，B的軸向變形位移，e2，e6為其橫向變形位移，e3，e7為其彈性轉(zhuǎn)角，e4，e8為兩端點(diǎn)處的曲率。那么點(diǎn)C′在局部坐標(biāo)系下的位移可以表示為

式中N（x）表示型函數(shù)。

由圖2可知，點(diǎn)C′在固定坐標(biāo)系O－XY中的位移為

在使用Lagrange方程導(dǎo)出單元?jiǎng)恿W(xué)方程之前，首先計(jì)算單元的動(dòng)能和彈性應(yīng)變能。

2．1 單元?jiǎng)幽?/h3>

1）平動(dòng)動(dòng)能

在求得單元上任意一點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的速度后，單元的平動(dòng)動(dòng)能可以表示為

式中mm（q）為廣義坐標(biāo)向量q的函數(shù)。

2）梁?jiǎn)卧孛孓D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能［4］

式中θ（x，t）是寬為dx的微段在真實(shí)運(yùn)動(dòng)中的絕對(duì)轉(zhuǎn)角，dJc＝ρIdx是微段dx繞其自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且

假設(shè)單元兩端點(diǎn)處的集中質(zhì)量分別為mA，mB；集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為JA，JB。

3）集中質(zhì)量的平動(dòng)動(dòng)能［4］

集中質(zhì)量的平動(dòng)動(dòng)能可按如下方法計(jì)算：

則單元端點(diǎn)集中質(zhì)量的平動(dòng)動(dòng)能為

4）集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能［4］

類似于梁?jiǎn)卧孛孓D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，可求得集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

因此總的動(dòng)能

式中m＝mm＋mcm＋mr＋mcr。

2．2 單元應(yīng)變能

忽略剪切和屈曲應(yīng)變能，根據(jù)材料力學(xué)，單元應(yīng)變能可以表示為

2．3 單元?jiǎng)恿W(xué)方程

根據(jù)拉格朗日方程，可以導(dǎo)出單元的動(dòng)力學(xué)方程

式中pe為單元所受廣義外力，pv為單元的的二次速度向量，包括運(yùn)動(dòng)單元的科氏力和離心力且是廣義坐標(biāo)q和˙q的函數(shù)。

利用虛功原理可以導(dǎo)出單元的廣義外力，設(shè)F為作用在單元上任意一點(diǎn)C′處的外力或外力矩，那么在外力F作用下的虛功可以表示為

根據(jù)式（2）有

把式（14）代入式（13）得

又有

比較式（15）和（16），可得點(diǎn)C′處的廣義外力為

因此整個(gè)單元的廣義外力為

為了形成系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，必須把在局部坐標(biāo)系下描述的單元?jiǎng)恿W(xué)方程轉(zhuǎn)移到固定坐標(biāo)系上來。首先，定義8×8階的固定坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)移矩陣B，則

式中Ef為單元在固定坐標(biāo)系下的廣義坐標(biāo)向量。

式（19）對(duì)時(shí)間t求1和2階導(dǎo)數(shù)

把式（19）和（20）代入式（12），并左乘矩陣

可得

3 約束方程

分析平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人，動(dòng)平臺(tái)在XY平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)。3條柔性支鏈通過剛性動(dòng)平臺(tái)相連，使得各支鏈的彈性位移存在非線性耦合關(guān)系。因?yàn)橄到y(tǒng)是完全對(duì)稱的，僅對(duì)其中一條支鏈Ai－Bi－Ci－P進(jìn)行分析。如圖 3 所示，L1，L2，L3，L4分別為向量AiBi，BiCi，CiP，OAi的長(zhǎng)度。

3．1 剛體運(yùn)動(dòng)約束

把式（22）寫成沿X，Y軸的分量形式，可得如下6個(gè)約束方程

圖3 支鏈Fig．3 The kinematic chain

式中XAi，YAi分別表示點(diǎn)Ai在固定坐標(biāo)系O－XY中沿X，Y軸的坐標(biāo)分量。

3．2 彈性坐標(biāo)約束

可得

式中 I表示2階單位矩陣。

同時(shí)動(dòng)平臺(tái)彈性轉(zhuǎn)角與動(dòng)平臺(tái)相連的柔性桿末端點(diǎn)的彈性轉(zhuǎn)角有如下的關(guān)系

4 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)U是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量，考慮約束方程式（23）～（25），組裝單元?jiǎng)恿W(xué)方程式（21），可得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

上兩式中α＝［α1，α2，α3］T，U＝［U11，U12，…，U1n，…，U3n，ΔXP，ΔYP，Δε］T。

5 仿真計(jì)算

假設(shè)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡為

所有柔性桿件和動(dòng)平臺(tái)的材料都是硬鋁合金，彈性模量為E＝0．7×105MPa，泊松比μ＝0．3，密度ρ＝2 712kg／m3，彈性桿件的橫截面寬d＝0．04 m，高h(yuǎn)＝0．01m，動(dòng)平臺(tái)厚c＝0．017 1m，L1＝AiBi＝0．245m，L2＝BiCi＝0．242m，L3＝CiP＝0．108m，L4＝AiP＝0．4m，i＝1，2，3，關(guān)節(jié)處的集中質(zhì)量和集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為0．15kg和0．000 5 kg·m2，假設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼ζ＝0．003，每根柔性桿件被劃分為3個(gè)梁?jiǎn)卧?，單元?jiǎng)澐趾凸?jié)點(diǎn)坐標(biāo)編號(hào)如圖3所示。

圖4 動(dòng)平臺(tái)中心X方向彈性位移Fig．4 Xdirection elastic displacement of center of the moving platform

圖5 動(dòng)平臺(tái)中心Y方向彈性位移Fig．5 Y direction elastic displacement of center of the moving platform

圖6 動(dòng)平臺(tái)彈性轉(zhuǎn)角Fig．6 Angle of deflection of the moving platform

圖7 彈性連桿的最大應(yīng)力Fig．7 Maximal stress of the flexible links

采用KED假設(shè)，忽略機(jī)器人彈性變形運(yùn)動(dòng)對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響。用MATLAB軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，并和簡(jiǎn)化KED方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較［4］。動(dòng)平臺(tái)按式（29）給定的圓軌跡運(yùn)動(dòng)一周后停止。仿真結(jié)果如圖4～7所示，圖中0～0．2s時(shí)間段的曲線分別表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)平臺(tái)中心沿X軸彈性振動(dòng)位移、Y軸的彈性振動(dòng)位移、動(dòng)平臺(tái)的彈性轉(zhuǎn)角以及柔性連桿的最大應(yīng)力變化，0．2～0．8s時(shí)間段的曲線是系統(tǒng)運(yùn)行一周后動(dòng)平臺(tái)的殘余振動(dòng)情況和柔性連桿的最大殘余應(yīng)力變化情況。其中虛線表示簡(jiǎn)化KED方法的計(jì)算結(jié)果，實(shí)線表示本文方法的計(jì)算結(jié)果。從圖4～7可知：采用本文的建模方法，在X方向，動(dòng)平臺(tái)中心的最大、最小彈性位移分別是0．916 4和－1．016mm；在Y方向，其最大、最小彈性位移分別是0．738 3和－0．797 8mm；動(dòng)平臺(tái)的最大、最小彈性轉(zhuǎn)角分別是0．000 894 1和－0．001 087 rad；柔性連桿的最大應(yīng)力為75．05MPa。而采用簡(jiǎn)化KED方法，在X方向，動(dòng)平臺(tái)中心的最大和最小彈性位移分別是2．464和－2．316mm；在Y方向，其最大、最小彈性位移分別是1．943和－2．027mm；動(dòng)平臺(tái)的最大、最小彈性轉(zhuǎn)角分別是0．000 924 6和－0．002 071rad；柔性連桿的最大應(yīng)力是167MPa。

分析圖4～6，可知兩種建模方法計(jì)算的彈性變形位移和柔性連桿的最大應(yīng)力相差很大，主要原因是本文的建模方法考慮了科氏加速度和牽連加速度中的剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)彈性運(yùn)動(dòng)的影響，同時(shí)由于坐標(biāo)變換矩陣的時(shí)變性，從而引起系統(tǒng)的阻尼和剛度發(fā)生變化。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)用本文的建模方法計(jì)算的彈性位移要小于簡(jiǎn)化KED方法計(jì)算得到的結(jié)果，那是因?yàn)楸疚慕７椒紤]了變換矩陣的時(shí)變性以及計(jì)入了剛體運(yùn)動(dòng)的科式力和離心力，導(dǎo)致廣義質(zhì)量、阻尼、剛度以及廣義外力矩陣發(fā)生變化，進(jìn)而使得彈性位移減少。因此在建立平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，不能過分地簡(jiǎn)化，科氏加速度等因素對(duì)系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)特性的影響是至關(guān)重要的。比較發(fā)現(xiàn)，兩曲線的變換趨勢(shì)具有一致性，因此從定性分析層面講，簡(jiǎn)化KED法具有一定的理論意義。

6 結(jié)束語

本文基于浮動(dòng)坐標(biāo)系法、有限元方法以及拉格朗日方程和虛功原理建立了平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)模型，該模型考慮了剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形運(yùn)動(dòng)的耦合，詳細(xì)考慮了剛體運(yùn)動(dòng)約束和彈性坐標(biāo)約束關(guān)系，所建立的模型是二階時(shí)變非線性耦合微分方程。結(jié)合具體實(shí)例，在給定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡的情況下，運(yùn)用Matlab軟件求解了本文所建立的彈性動(dòng)力學(xué)模型。在求解過程中，忽略了彈性變形運(yùn)動(dòng)對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響，計(jì)算了動(dòng)平臺(tái)的彈性位移和彈性轉(zhuǎn)角和柔性連桿在不同位姿下的最大應(yīng)力。通過比較本文的建模方法與簡(jiǎn)化KED方法，結(jié)果表明：剛體運(yùn)動(dòng)的科氏力和離心力以及坐標(biāo)變換矩陣的時(shí)變性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有至關(guān)重要的影響。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)正在搭建之中，今后將結(jié)合實(shí)驗(yàn)對(duì)平面3－RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)建模作進(jìn)一步地研究。對(duì)系統(tǒng)的耦合特性作更深入地分析。

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