張 明，何慶中，王志鵬，郭 帥，段 朋

(四川理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，四川自貢 643000)

0 引言

近年來，隨著物流業(yè)的信息化與自動(dòng)化不斷發(fā)展，尤其是自動(dòng)倉庫的出現(xiàn)，也對(duì)碼垛技術(shù)提出更高的要求和更廣泛的應(yīng)用。針對(duì)物品的不同特點(diǎn)，碼垛機(jī)器人可在短時(shí)間內(nèi)迅速作出在線調(diào)整，以滿足碼垛作業(yè)的需要［1］。

所謂碼垛機(jī)器人的工作空間，指的是機(jī)器人在正常運(yùn)行時(shí)的末端執(zhí)行器上的參考點(diǎn)所能到達(dá)的所有點(diǎn)的集合。碼垛機(jī)器人的工作空間是衡量機(jī)器人工作能力的重要指標(biāo)。工作空間可以分為兩類：一種是可達(dá)工作空間;另一種是靈活工作空間。在可達(dá)工作空間的邊緣，機(jī)器人只能以某種位姿才能實(shí)現(xiàn)，而靈活工作空間是機(jī)器人以任何姿態(tài)都能實(shí)現(xiàn)［2］。

機(jī)器人的工作空間可定義為：在結(jié)構(gòu)限制下末端執(zhí)行器能夠達(dá)到的所有位置集合(在三維空間R3中)，該集合稱為可達(dá)工作空間［3］，這可以看做是關(guān)節(jié)空間變量與工作空間的映射，即為：

其中：WR是工作空間;q是廣義關(guān)節(jié)變量;Q是關(guān)節(jié)空間。

1 碼垛機(jī)器人的工作節(jié)拍

該關(guān)節(jié)型碼垛機(jī)器人是為白酒包裝自動(dòng)化生產(chǎn)線上的酒箱上下線以及碼垛所研制的。其工作效率是600箱/小時(shí)，即工作節(jié)拍是6秒/箱。本碼垛機(jī)器人按照?qǐng)D1所示的生產(chǎn)線布置方式進(jìn)行布置。

圖1 碼垛機(jī)器人生產(chǎn)線布置方式

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立

該碼垛機(jī)器人采用平行四邊形機(jī)構(gòu)，有四個(gè)自由度，且均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。此結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是：穩(wěn)定性好、承載能力大、結(jié)構(gòu)緊湊。

根據(jù)碼垛機(jī)器人的總體結(jié)構(gòu)方案繪制出該機(jī)器人的臂部結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示。J1軸為碼垛機(jī)器人底座的旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)范圍是330°。J2軸為機(jī)器人后臂與底座的減速器旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)范圍是100°。J3軸為機(jī)器人前后臂之間連接的減速器旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)范圍是130°。J4軸為機(jī)器人末端執(zhí)行器的轉(zhuǎn)動(dòng)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)范圍是330°。底座的旋轉(zhuǎn)是J1軸繞著z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)中心為O0點(diǎn);后大臂的轉(zhuǎn)動(dòng)是J2圍繞O1的旋轉(zhuǎn);前臂的轉(zhuǎn)動(dòng)是J3軸繞著O2軸旋轉(zhuǎn);由于采用的是平行四邊形結(jié)構(gòu)，所以O(shè)3軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是從動(dòng)的，手腕部的轉(zhuǎn)動(dòng)就是J4軸繞著z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)中心為O4點(diǎn)。在圖3 中，O0、O1、O2、O3、O4分別為旋轉(zhuǎn)中心以及各個(gè)連桿的坐標(biāo)系原點(diǎn)，機(jī)構(gòu)的主要參數(shù)為：l1=150mm，l2=500mm，l3=360mm，l4=84.9mm，d1=195mm。

圖2 碼垛機(jī)器人總體結(jié)構(gòu)方案

圖3 碼垛機(jī)器人臂部結(jié)構(gòu)簡圖

利用D-H法可以建立關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系統(tǒng)，規(guī)定θi為連桿轉(zhuǎn)角，即關(guān)節(jié)變量;di為兩個(gè)連桿之間的距離;αi－1為連桿的扭轉(zhuǎn)角;ai－1為連桿i－ 1 的長度。由于關(guān)節(jié)4(O4)為從動(dòng)關(guān)節(jié)，所以可以得到它與關(guān)節(jié) 2、3(O2、O3)的關(guān)系為：

再由于碼垛機(jī)器人的末端執(zhí)行器只有平動(dòng)，沒有自身的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)5滿足關(guān)系為：

根據(jù)圖3的運(yùn)動(dòng)簡圖可得到碼垛機(jī)器人的D-H參數(shù)，表中，θ1、θ2、θ3、θ4為各個(gè)連桿的關(guān)節(jié)變量;l1、l2、l3、l4、l5為連桿常量;關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍是碼垛機(jī)器人在工作時(shí)的工作要求范圍，即機(jī)器人抓取酒箱以及放下酒箱時(shí)關(guān)節(jié)應(yīng)該轉(zhuǎn)動(dòng)的角度范圍。如表1所示。

表1 碼垛機(jī)器人的D-H參數(shù)表

由于碼垛機(jī)器人的四個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，所以應(yīng)用廣義連桿變換齊次矩陣的一般表達(dá)式：

式(6)～式(9)就是該碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，其含義就是末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系相對(duì)于底座坐標(biāo)系的位姿。其中ci、si分別表示 cosθi、sinθi，i=1、2、3、4、5，cijk、sijk分別表示 cos(θi+θj+ θk)、sin(θi+θj+ θk)，i、j、k分別為 2、、3、4。當(dāng)關(guān)節(jié)變量已知的情況下，就能得出碼垛機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿。這是進(jìn)行碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)。

再根據(jù)式(2)和式(3)的關(guān)系式，可以得到末端執(zhí)行器的齊次變換矩陣即碼垛機(jī)器人位姿正解為：

碼垛機(jī)器人手腕處的位移相對(duì)于底座坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

對(duì)于該碼垛機(jī)器人而言，關(guān)節(jié)的數(shù)目和末端連桿的自由度數(shù)目都可認(rèn)為是三個(gè)，其中關(guān)節(jié)5與關(guān)節(jié)1可看成是相關(guān)聯(lián)的，所以該機(jī)器人的雅可比矩陣是3 階的方陣［4］。

3 碼垛機(jī)器人工作空間分析

對(duì)于機(jī)器人的工作空間的算法中，常用解析法、圖解法和數(shù)值解法三種。解析法是通過多次求解包絡(luò)線來把工作空間的邊界用方程表示出來，這種方法的直觀性不強(qiáng)而且十分的繁瑣。圖解法是得到工作空間的截面或剖面線。數(shù)值法的實(shí)質(zhì)就是盡可能多的選取獨(dú)立的關(guān)節(jié)變量，在用正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程算出機(jī)器人末端執(zhí)行器的坐標(biāo)集合。坐標(biāo)越多，工作空間就越真實(shí)。

在綜合設(shè)計(jì)工作空間時(shí)，一般都要以一個(gè)最小的正方體來進(jìn)行，這個(gè)正方體包含了機(jī)器人的所有的工作點(diǎn)，這樣就可以確定機(jī)器人關(guān)節(jié)活動(dòng)的范圍。對(duì)于一個(gè)機(jī)器人來說，與工作空間的體積相關(guān)的體積指數(shù)和與末端執(zhí)行器靈活性相關(guān)的靈活性指標(biāo)是評(píng)價(jià)機(jī)器人工作空間的指標(biāo)。機(jī)器人的靈活性其實(shí)就是機(jī)器人完成任務(wù)的能力，在設(shè)計(jì)機(jī)器人時(shí)，最先考慮的就應(yīng)該是機(jī)器人的靈活性。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)典型的工作空間，讓機(jī)器人在這個(gè)空間內(nèi)工作，由此來評(píng)價(jià)機(jī)器人的性能是簡單而可行的［5］。

碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是由D-H法求得的，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，借助MATLAB軟件來實(shí)現(xiàn)工作空間的仿真設(shè)計(jì)，這樣可更直觀的表達(dá)機(jī)器人的工作空間。運(yùn)用MATLAB來進(jìn)行碼垛機(jī)器人的工作空間域的仿真是盡可能多地獲得關(guān)節(jié)變量的組合，通過MATLAB編程來求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后將求得的位置點(diǎn)以圖形的方式顯示出來［6］。

對(duì)于MATLAB的算法，應(yīng)該在碼垛機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)變量能夠轉(zhuǎn)動(dòng)的范圍內(nèi)，從第一個(gè)關(guān)節(jié)開始，依次以各自的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)(或移動(dòng)關(guān)節(jié)進(jìn)行移動(dòng))，直至最后一個(gè)關(guān)節(jié)。在變化的過程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)讓最后的關(guān)節(jié)優(yōu)先?？梢韵纫?guī)定一個(gè)步長的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)，再讓其下一個(gè)關(guān)節(jié)在自身的變化范圍內(nèi)從最小步長到最大步長變化，得到的是多個(gè)關(guān)節(jié)的變量的組合，再將這些變量導(dǎo)入至末端執(zhí)行器的位姿方程中，就可以求的末端執(zhí)行器的位姿的集合，這個(gè)集合就構(gòu)成了工作空間。

根據(jù)式(11)以及各個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍，利用數(shù)值算法，在MATLAB中進(jìn)行計(jì)算，繪制出機(jī)器人的工作范圍，可以直觀的表達(dá)出來。循環(huán)程序如下：

碼垛機(jī)器人的可達(dá)工作空間的三維圖如圖4所示。

圖4 碼垛機(jī)器人可達(dá)工作空間三維圖

再根據(jù)可達(dá)工作空間的三維圖，可以得到工作空間在xoy平面上的投影，如圖5所示。當(dāng)任取一個(gè)θ1的值時(shí)，就能得到工作空間的xoz平面的截圖，如圖6所示，同理，當(dāng)任取一個(gè)θ2的值時(shí)，就能得到y(tǒng)oz平面的截圖，如圖7所示。

圖5 xy坐標(biāo)平面投影圖

圖6 xz坐標(biāo)平面投影圖

圖7 yz坐標(biāo)平面投影圖

由圖4可以看出，碼垛機(jī)器人的工作可達(dá)空間是一個(gè)近似的橢球體構(gòu)成，由于機(jī)器人工作范圍的限制，此橢球體有一個(gè)扇形的缺口，并且有一個(gè)空心區(qū)域。

對(duì)可達(dá)空間進(jìn)行驗(yàn)證，可任意給定一個(gè)關(guān)節(jié)角度，令 θ1=45°，θ2=60°，θ3=30°，代入到式(11)中，可得到px=342.8243，py=342.8243，pz= －868，此坐標(biāo)在可達(dá)工作的工作空間內(nèi)，可以再取不同的θi的值，邊界曲線都在切面內(nèi)很好地包絡(luò)了這個(gè)二維的“云圖”，從而驗(yàn)證了方法的正確性。

4 結(jié)論

本文通過D-H法確定了關(guān)節(jié)碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，再用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角來確定步距角的轉(zhuǎn)動(dòng)，得到了關(guān)節(jié)變量的集合，再根據(jù)這個(gè)集合下所有末端執(zhí)行器的點(diǎn)的向量，分析出碼垛機(jī)器人的可達(dá)的工作空間并對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。從仿真的結(jié)果來看，該機(jī)器人的工作空間緊湊，同時(shí)也驗(yàn)證了用此法來求解機(jī)器人工作空間的確有很好的效果，也可為機(jī)器人的進(jìn)一步優(yōu)化以及控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

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