李學(xué)偉，趙萬華，盧秉恒

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054)

0 引言

數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，導(dǎo)致實(shí)際加工過程中系統(tǒng)輸入與輸出間存在變化的跟隨誤差。進(jìn)給系統(tǒng)的跟蹤性能直接影響數(shù)控機(jī)床的加工精度［1］。Tomizuka［2］提 出 的 零 相 差 跟 蹤 控 制 (zero phase error tracking controller-ZPETC)是一種基于逆系統(tǒng)思想的控制方法，即設(shè)計(jì)控制器為控制對(duì)象的逆，結(jié)合零極點(diǎn)對(duì)消和相位對(duì)消，使得控制器和被控對(duì)象的串聯(lián)傳遞函數(shù)近似為1，在較大的帶寬范圍減少傳統(tǒng)反饋閉環(huán)系統(tǒng)所帶來的相位誤差和幅值誤差，達(dá)到更高的跟隨精度。

由于零相差控制能夠有效改善機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨特性，提高數(shù)控機(jī)床的加工精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出了最優(yōu)增益零相差和自適應(yīng)零相差跟蹤前饋補(bǔ)償方法，并對(duì)其進(jìn)行了大量改進(jìn)研究和應(yīng)用［3-11］。最優(yōu)增益零相差跟蹤控制主要用于提高進(jìn)給系統(tǒng)的中高頻幅頻特性，前饋控制器設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜。自適應(yīng)零相差跟蹤控制雖然對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)負(fù)載變引起的系統(tǒng)特性變化具有一定的自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力，但需要實(shí)時(shí)對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行在線辨識(shí)，而系統(tǒng)模型辨識(shí)的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性使該方法的應(yīng)用受到很大限制。與最優(yōu)增益零相差和自適應(yīng)零相差跟蹤控制相比，零相差跟蹤算法相對(duì)簡(jiǎn)單并能保證系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性。對(duì)于傳統(tǒng)的數(shù)控機(jī)床，由于數(shù)控系統(tǒng)是封閉的，該方法一直處于實(shí)驗(yàn)室研究和實(shí)驗(yàn)階段，無法在其內(nèi)部實(shí)現(xiàn)零相位跟蹤控制算法。

本文以RTX660數(shù)控銑床為研究對(duì)象，利用PA數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，將零相差跟蹤控制算法嵌入到數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器中提高了數(shù)控機(jī)床的單軸運(yùn)動(dòng)控制精度，同時(shí)減小了多軸聯(lián)動(dòng)加工的輪廓誤差。

1 進(jìn)給系統(tǒng)模型辨識(shí)

進(jìn)給系統(tǒng)的模型辨識(shí)有開環(huán)系統(tǒng)模型辨識(shí)和閉環(huán)系統(tǒng)模型辨識(shí)［12］。因?yàn)椴逖a(bǔ)器位于位置閉環(huán)以外，本文選擇利用偽噪聲序列對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)模型辨識(shí)。

1.1 偽噪聲序列的產(chǎn)生

本文采用線性同余法［9］產(chǎn)生系統(tǒng)辨識(shí)所需的偽噪聲信號(hào)，線性同余法的計(jì)算公式如下：

第一個(gè)式子是求(a*z(n－1)+c)與M相除的余數(shù)，第二個(gè)式子中的m(n)即為0－1之間的隨機(jī)數(shù)，通過合理配置z(0)、M、a、c可以選擇隨機(jī)序列的頻率分布。

1.2 最小二乘法模型辨識(shí)

本文模型辨識(shí)采用的算法為最小二乘法［10］。最小二乘法最初是通過解超定方程求最優(yōu)解。設(shè)y為一組自變量X的函數(shù)：

若對(duì)y進(jìn)行m次觀測(cè)實(shí)驗(yàn)，則有：

存在，即可求出待定參數(shù)：a=(a1，a2，…，an)－1?？勺C明存在唯一解：a=A－1Y。其中：

當(dāng)m＞n時(shí)，方程數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)，需要用估計(jì)方法估算最佳值?？梢圆捎米钚《朔ㄟM(jìn)行估計(jì)：

2 零相差跟蹤控制算法

零相差跟蹤控制的基本原理是基于模型的預(yù)測(cè)，利用已知未來信息設(shè)計(jì)系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償，理論上能夠使被控對(duì)象系統(tǒng)的相位差在全頻域內(nèi)為0。其基本結(jié)構(gòu)如圖1。

圖1 零相差控制結(jié)構(gòu)框圖

圖中r，e，u，y和Gp(z)分別表示系統(tǒng)輸入，誤差，控制器輸出，系統(tǒng)輸出以及離散時(shí)間控制對(duì)象。本文中C(z)是基于反饋的PI控制器，Cr(z)是以減小跟蹤誤差為目的而設(shè)計(jì)的零相差跟蹤控制器。已知控制對(duì)象和反饋PI控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)的離散時(shí)間傳遞函數(shù)為：

d表示系統(tǒng)延時(shí)，A和B為互質(zhì)離散不等式。正常情況下機(jī)床系統(tǒng)不應(yīng)該產(chǎn)生震蕩，所以A不包含不穩(wěn)定零點(diǎn)。

此處的A，B，d均由前文中所述辨識(shí)實(shí)驗(yàn)得出。

當(dāng)Gc(z)為非最小相位系統(tǒng)時(shí)，B包含不穩(wěn)定零點(diǎn)。按照zpetc原理，此時(shí)若取Gc(z)的逆為前饋控制器，B的不穩(wěn)定零點(diǎn)將變成Gc(z)的不穩(wěn)定極點(diǎn)，導(dǎo)致控制器的不穩(wěn)定。一種證明有效的解決辦法是將B分解為穩(wěn)定部分Ba(z－1)和不穩(wěn)定部分Bu(z－1)。

Ba(z－1)為單位圓內(nèi)的系統(tǒng)零點(diǎn)組成的多項(xiàng)式，Bu(z－1)為單位圓外和單位圓上的系統(tǒng)零點(diǎn)組成的多項(xiàng)式。根據(jù)Tomizuka提出的設(shè)計(jì)方法，零相差跟蹤控制器可表示為：

其中ω代表頻域算子，可見傳遞函數(shù)無虛部，說明在所有頻率處均無相位差。

此時(shí)經(jīng)過前饋補(bǔ)償矯正后的傳遞函數(shù)為：

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

3.1 試驗(yàn)臺(tái)平臺(tái)及試驗(yàn)流程

本實(shí)驗(yàn)是在RTX660三軸數(shù)控銑床上進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)機(jī)床如圖2所示。

圖2 RTX660三軸數(shù)控銑床試驗(yàn)臺(tái)

該機(jī)床配有PA開放式數(shù)控系統(tǒng)，可通過該系統(tǒng)提供的接口對(duì)加工指令插補(bǔ)后的離散位置坐標(biāo)和反饋位置進(jìn)行實(shí)時(shí)讀取計(jì)算和修改。該算法在每個(gè)插補(bǔ)器時(shí)鐘周期內(nèi)運(yùn)行一次。插補(bǔ)時(shí)鐘周期為2ms。電主軸采用德國(guó)GMN電主軸，最高轉(zhuǎn)速30000r/min。電機(jī)和驅(qū)動(dòng)器采用安川SGMSH-13ACA61，驅(qū)動(dòng)器設(shè)為速度控制模式，控制參數(shù)通過其提供的離線整定方法自動(dòng)確定，X軸和Y軸位置環(huán)增益在數(shù)控系統(tǒng)中分別設(shè)為2.95和3。實(shí)驗(yàn)流程如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)流程

3.2 系統(tǒng)模型辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

在公式(1)中?。簔(0)=7、c=7、a=31、M=1021。此時(shí)隨機(jī)偽噪聲序列時(shí)域和頻率分布如圖4和圖5所示。

圖4 隨機(jī)偽噪聲序列時(shí)域圖

圖5 隨機(jī)偽噪聲序列頻域分布圖

通過數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，在數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器內(nèi)設(shè)置計(jì)數(shù)器，每個(gè)插補(bǔ)周期計(jì)算一個(gè)偽隨機(jī)信號(hào)作為數(shù)控機(jī)床X軸進(jìn)給系統(tǒng)的速度指令輸入，同時(shí)記錄進(jìn)給系統(tǒng)的反饋位置，系統(tǒng)的位置輸入輸出如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)辨識(shí)的輸入輸出

采用前述最小二乘法對(duì)激勵(lì)信號(hào)數(shù)據(jù)和反饋位置數(shù)據(jù)估算進(jìn)給估算，逐步加大模型階數(shù)，直至殘差變動(dòng)很小為止。采用以上方法獲取的X軸進(jìn)給系統(tǒng)模型為：

3.3 基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的零相位跟蹤控制

根據(jù)辨識(shí)的系統(tǒng)模型可知，存在6個(gè)零點(diǎn)不能作為控制器極點(diǎn)，因此，根據(jù)公式(7)獲取的零相差跟蹤控制算法公式為：

設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為k，插補(bǔ)數(shù)據(jù)為r(k)此時(shí)通過零相差跟蹤控制算法計(jì)算后輸入到位置環(huán)的指令為：

公式(11)表明，為了使進(jìn)給系統(tǒng)獲取好的跟蹤性能，零相差跟蹤控制器需要預(yù)讀9個(gè)插補(bǔ)數(shù)據(jù)。將算法嵌入開放式數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器中，每個(gè)插補(bǔ)器時(shí)鐘周期實(shí)時(shí)更新插補(bǔ)數(shù)據(jù)和計(jì)算該周期輸入到位置環(huán)的校正值并發(fā)送到運(yùn)動(dòng)控制器。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.4.1 單軸跟隨特性比較

在開放式數(shù)控系統(tǒng)嵌入零相差跟隨控制算法前后，對(duì)X軸進(jìn)給系統(tǒng)輸入正弦曲線指令，通過開放式數(shù)控系統(tǒng)實(shí)時(shí)讀取其輸出位置，通過計(jì)算工作臺(tái)當(dāng)前輸出位置與當(dāng)前指令位置的差，獲得進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨誤差，數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器嵌入零相差控制算法前后其跟隨誤差如圖7所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，嵌入零相差跟蹤控制后，跟隨誤差基本消除，圖中的幾個(gè)尖峰是由于進(jìn)給軸反向時(shí)由于摩擦力的低速非線性造成的。

3.4.2 兩軸聯(lián)動(dòng)圓軌跡切削輪廓誤差比較

為了比較零相差控制對(duì)聯(lián)動(dòng)加工輪廓誤差的影響效果，進(jìn)行了兩軸聯(lián)動(dòng)加工圓軌跡實(shí)驗(yàn)，切削材料為鋁合金，進(jìn)刀量0.2mm，切削圓軌跡半徑為40mm，切削速度為6m/min，主軸轉(zhuǎn)速20000r/min。如圖8所示。

圖7 嵌入零相差跟隨控制前后跟隨誤差比較

圖8 圓軌跡切削實(shí)驗(yàn)

通過開放式數(shù)控系統(tǒng)記錄實(shí)際反饋位置后得到加工過程中的輪廓誤差。采用相同方法設(shè)計(jì)Y軸零相差控制算法，將零相差控制算法嵌入插補(bǔ)器前后的輪廓誤差比較如圖9所示。

圖9 嵌入零相差跟蹤控制前后圓軌跡加工輪廓誤差比較

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，由于兩軸機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)選取的不同，插補(bǔ)器嵌入零相差控制算法前，造成兩軸聯(lián)動(dòng)圓軌跡存在超過50μm的輪廓誤差，在插補(bǔ)器中嵌入零相差控制算法對(duì)兩個(gè)軸分別進(jìn)行前饋補(bǔ)償后，其除了由于低速摩擦特性造成過象限誤差外的輪廓誤差得到很好地補(bǔ)償。

4 結(jié)論

本文基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行了模型辨識(shí)，設(shè)計(jì)了零相差跟蹤控制器，并通過在插補(bǔ)器內(nèi)預(yù)讀插補(bǔ)位置數(shù)據(jù)和嵌入零相差跟蹤控制算法，實(shí)現(xiàn)了進(jìn)給系統(tǒng)的零相差前饋控制。通過單軸跟隨特性和兩軸聯(lián)動(dòng)加工的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法能夠有效的改善單軸進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨性能以及多軸聯(lián)動(dòng)加工的輪廓精度。

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