李學(xué)偉，趙萬華，盧秉恒

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實驗室，西安 710054)

0 引言

數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動態(tài)特性，導(dǎo)致實際加工過程中系統(tǒng)輸入與輸出間存在變化的跟隨誤差。進(jìn)給系統(tǒng)的跟蹤性能直接影響數(shù)控機(jī)床的加工精度［1］。Tomizuka［2］提 出 的 零 相 差 跟 蹤 控 制 (zero phase error tracking controller-ZPETC)是一種基于逆系統(tǒng)思想的控制方法，即設(shè)計控制器為控制對象的逆，結(jié)合零極點(diǎn)對消和相位對消，使得控制器和被控對象的串聯(lián)傳遞函數(shù)近似為1，在較大的帶寬范圍減少傳統(tǒng)反饋閉環(huán)系統(tǒng)所帶來的相位誤差和幅值誤差，達(dá)到更高的跟隨精度。

由于零相差控制能夠有效改善機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨特性，提高數(shù)控機(jī)床的加工精度，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了最優(yōu)增益零相差和自適應(yīng)零相差跟蹤前饋補(bǔ)償方法，并對其進(jìn)行了大量改進(jìn)研究和應(yīng)用［3-11］。最優(yōu)增益零相差跟蹤控制主要用于提高進(jìn)給系統(tǒng)的中高頻幅頻特性，前饋控制器設(shè)計相對復(fù)雜。自適應(yīng)零相差跟蹤控制雖然對進(jìn)給系統(tǒng)負(fù)載變引起的系統(tǒng)特性變化具有一定的自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力，但需要實時對系統(tǒng)模型進(jìn)行在線辨識，而系統(tǒng)模型辨識的實時性和準(zhǔn)確性使該方法的應(yīng)用受到很大限制。與最優(yōu)增益零相差和自適應(yīng)零相差跟蹤控制相比，零相差跟蹤算法相對簡單并能保證系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性。對于傳統(tǒng)的數(shù)控機(jī)床，由于數(shù)控系統(tǒng)是封閉的，該方法一直處于實驗室研究和實驗階段，無法在其內(nèi)部實現(xiàn)零相位跟蹤控制算法。

本文以RTX660數(shù)控銑床為研究對象，利用PA數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，將零相差跟蹤控制算法嵌入到數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器中提高了數(shù)控機(jī)床的單軸運(yùn)動控制精度，同時減小了多軸聯(lián)動加工的輪廓誤差。

1 進(jìn)給系統(tǒng)模型辨識

進(jìn)給系統(tǒng)的模型辨識有開環(huán)系統(tǒng)模型辨識和閉環(huán)系統(tǒng)模型辨識［12］。因為插補(bǔ)器位于位置閉環(huán)以外，本文選擇利用偽噪聲序列對進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)模型辨識。

1.1 偽噪聲序列的產(chǎn)生

本文采用線性同余法［9］產(chǎn)生系統(tǒng)辨識所需的偽噪聲信號，線性同余法的計算公式如下：

第一個式子是求(a*z(n－1)+c)與M相除的余數(shù)，第二個式子中的m(n)即為0－1之間的隨機(jī)數(shù)，通過合理配置z(0)、M、a、c可以選擇隨機(jī)序列的頻率分布。

1.2 最小二乘法模型辨識

本文模型辨識采用的算法為最小二乘法［10］。最小二乘法最初是通過解超定方程求最優(yōu)解。設(shè)y為一組自變量X的函數(shù)：

若對y進(jìn)行m次觀測實驗，則有：

存在，即可求出待定參數(shù)：a=(a1，a2，…，an)－1?？勺C明存在唯一解：a=A－1Y。其中：

當(dāng)m＞n時，方程數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)，需要用估計方法估算最佳值?？梢圆捎米钚《朔ㄟM(jìn)行估計：

2 零相差跟蹤控制算法

零相差跟蹤控制的基本原理是基于模型的預(yù)測，利用已知未來信息設(shè)計系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償，理論上能夠使被控對象系統(tǒng)的相位差在全頻域內(nèi)為0。其基本結(jié)構(gòu)如圖1。

圖1 零相差控制結(jié)構(gòu)框圖

圖中r，e，u，y和Gp(z)分別表示系統(tǒng)輸入，誤差，控制器輸出，系統(tǒng)輸出以及離散時間控制對象。本文中C(z)是基于反饋的PI控制器，Cr(z)是以減小跟蹤誤差為目的而設(shè)計的零相差跟蹤控制器。已知控制對象和反饋PI控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)的離散時間傳遞函數(shù)為：

d表示系統(tǒng)延時，A和B為互質(zhì)離散不等式。正常情況下機(jī)床系統(tǒng)不應(yīng)該產(chǎn)生震蕩，所以A不包含不穩(wěn)定零點(diǎn)。

此處的A，B，d均由前文中所述辨識實驗得出。

當(dāng)Gc(z)為非最小相位系統(tǒng)時，B包含不穩(wěn)定零點(diǎn)。按照zpetc原理，此時若取Gc(z)的逆為前饋控制器，B的不穩(wěn)定零點(diǎn)將變成Gc(z)的不穩(wěn)定極點(diǎn)，導(dǎo)致控制器的不穩(wěn)定。一種證明有效的解決辦法是將B分解為穩(wěn)定部分Ba(z－1)和不穩(wěn)定部分Bu(z－1)。

Ba(z－1)為單位圓內(nèi)的系統(tǒng)零點(diǎn)組成的多項式，Bu(z－1)為單位圓外和單位圓上的系統(tǒng)零點(diǎn)組成的多項式。根據(jù)Tomizuka提出的設(shè)計方法，零相差跟蹤控制器可表示為：

其中ω代表頻域算子，可見傳遞函數(shù)無虛部，說明在所有頻率處均無相位差。

此時經(jīng)過前饋補(bǔ)償矯正后的傳遞函數(shù)為：

3 實驗設(shè)計及結(jié)果分析

3.1 試驗臺平臺及試驗流程

本實驗是在RTX660三軸數(shù)控銑床上進(jìn)行，實驗機(jī)床如圖2所示。

圖2 RTX660三軸數(shù)控銑床試驗臺

該機(jī)床配有PA開放式數(shù)控系統(tǒng)，可通過該系統(tǒng)提供的接口對加工指令插補(bǔ)后的離散位置坐標(biāo)和反饋位置進(jìn)行實時讀取計算和修改。該算法在每個插補(bǔ)器時鐘周期內(nèi)運(yùn)行一次。插補(bǔ)時鐘周期為2ms。電主軸采用德國GMN電主軸，最高轉(zhuǎn)速30000r/min。電機(jī)和驅(qū)動器采用安川SGMSH-13ACA61，驅(qū)動器設(shè)為速度控制模式，控制參數(shù)通過其提供的離線整定方法自動確定，X軸和Y軸位置環(huán)增益在數(shù)控系統(tǒng)中分別設(shè)為2.95和3。實驗流程如圖3所示。

圖3 實驗流程

3.2 系統(tǒng)模型辨識實驗

在公式(1)中取：z(0)=7、c=7、a=31、M=1021。此時隨機(jī)偽噪聲序列時域和頻率分布如圖4和圖5所示。

圖4 隨機(jī)偽噪聲序列時域圖

圖5 隨機(jī)偽噪聲序列頻域分布圖

通過數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，在數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器內(nèi)設(shè)置計數(shù)器，每個插補(bǔ)周期計算一個偽隨機(jī)信號作為數(shù)控機(jī)床X軸進(jìn)給系統(tǒng)的速度指令輸入，同時記錄進(jìn)給系統(tǒng)的反饋位置，系統(tǒng)的位置輸入輸出如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)辨識的輸入輸出

采用前述最小二乘法對激勵信號數(shù)據(jù)和反饋位置數(shù)據(jù)估算進(jìn)給估算，逐步加大模型階數(shù)，直至殘差變動很小為止。采用以上方法獲取的X軸進(jìn)給系統(tǒng)模型為：

3.3 基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的零相位跟蹤控制

根據(jù)辨識的系統(tǒng)模型可知，存在6個零點(diǎn)不能作為控制器極點(diǎn)，因此，根據(jù)公式(7)獲取的零相差跟蹤控制算法公式為：

設(shè)當(dāng)前時刻為k，插補(bǔ)數(shù)據(jù)為r(k)此時通過零相差跟蹤控制算法計算后輸入到位置環(huán)的指令為：

公式(11)表明，為了使進(jìn)給系統(tǒng)獲取好的跟蹤性能，零相差跟蹤控制器需要預(yù)讀9個插補(bǔ)數(shù)據(jù)。將算法嵌入開放式數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器中，每個插補(bǔ)器時鐘周期實時更新插補(bǔ)數(shù)據(jù)和計算該周期輸入到位置環(huán)的校正值并發(fā)送到運(yùn)動控制器。

3.4 實驗結(jié)果分析

3.4.1 單軸跟隨特性比較

在開放式數(shù)控系統(tǒng)嵌入零相差跟隨控制算法前后，對X軸進(jìn)給系統(tǒng)輸入正弦曲線指令，通過開放式數(shù)控系統(tǒng)實時讀取其輸出位置，通過計算工作臺當(dāng)前輸出位置與當(dāng)前指令位置的差，獲得進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨誤差，數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器嵌入零相差控制算法前后其跟隨誤差如圖7所示。

實驗結(jié)果表明，嵌入零相差跟蹤控制后，跟隨誤差基本消除，圖中的幾個尖峰是由于進(jìn)給軸反向時由于摩擦力的低速非線性造成的。

3.4.2 兩軸聯(lián)動圓軌跡切削輪廓誤差比較

為了比較零相差控制對聯(lián)動加工輪廓誤差的影響效果，進(jìn)行了兩軸聯(lián)動加工圓軌跡實驗，切削材料為鋁合金，進(jìn)刀量0.2mm，切削圓軌跡半徑為40mm，切削速度為6m/min，主軸轉(zhuǎn)速20000r/min。如圖8所示。

圖7 嵌入零相差跟隨控制前后跟隨誤差比較

圖8 圓軌跡切削實驗

通過開放式數(shù)控系統(tǒng)記錄實際反饋位置后得到加工過程中的輪廓誤差。采用相同方法設(shè)計Y軸零相差控制算法，將零相差控制算法嵌入插補(bǔ)器前后的輪廓誤差比較如圖9所示。

圖9 嵌入零相差跟蹤控制前后圓軌跡加工輪廓誤差比較

實驗結(jié)果表明，由于兩軸機(jī)械傳動系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)選取的不同，插補(bǔ)器嵌入零相差控制算法前，造成兩軸聯(lián)動圓軌跡存在超過50μm的輪廓誤差，在插補(bǔ)器中嵌入零相差控制算法對兩個軸分別進(jìn)行前饋補(bǔ)償后，其除了由于低速摩擦特性造成過象限誤差外的輪廓誤差得到很好地補(bǔ)償。

4 結(jié)論

本文基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，對數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行了模型辨識，設(shè)計了零相差跟蹤控制器，并通過在插補(bǔ)器內(nèi)預(yù)讀插補(bǔ)位置數(shù)據(jù)和嵌入零相差跟蹤控制算法，實現(xiàn)了進(jìn)給系統(tǒng)的零相差前饋控制。通過單軸跟隨特性和兩軸聯(lián)動加工的實驗，驗證了該方法能夠有效的改善單軸進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨性能以及多軸聯(lián)動加工的輪廓精度。

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