高 麗，趙喜燕，趙彩紅

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

關(guān)于特定幸福4次方數(shù)列＊

高 麗，趙喜燕，趙彩紅

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

利用初等方法對(duì)特定幸福4次方數(shù)列及特定幸福n次方數(shù)列進(jìn)行了研究，給出并證明了關(guān)于集合F4的定理，并且得出特定幸福n次方數(shù)列相關(guān)問題的求解方法.

初等方法；特定幸福立方數(shù)；特定幸福4次方數(shù)

1993年，美籍羅馬尼亞著名數(shù)論專家Smarandache教授［1］提出了105個(gè)Smarandache未解決的問題，其中包含Smarandache數(shù)、Smarandache函數(shù)等內(nèi)容.特定幸福立方數(shù)是Jebreel M教授［2］在研究Smarandache問題時(shí)引入的.這些內(nèi)容引起了不少數(shù)論專家學(xué)者的興趣，取得了一系列重要的研究成果［3－5］.

韓迪［6］解決了特定幸福立方數(shù)的相關(guān)問題，即F3＝｛1，153，370，371，407｝.類似于特定幸福立方數(shù)，筆者提出特定幸福4次方數(shù)，即：對(duì)任意正整數(shù)n，如果n的各位數(shù)字的4次方相加所得之值恰好等于n，那么這個(gè)正整數(shù)n就稱為特定幸福4次方數(shù).

例如，1＝14，1 634＝14＋64＋34＋44，8 208＝84＋24＋04＋84，...，則稱1，1 634，8 208等是特定幸福4次方數(shù).設(shè)F4＝｛1，1 634，8 208，9 474，...｝表示所有特定幸福4次方數(shù)的集合.筆者在文獻(xiàn)［7－8］的基礎(chǔ)上，利用初等方法得出如下結(jié)論：

定理1 設(shè)F4表示所有特定幸福4次方數(shù)的集合，則集合F4是有限集，且F4＝｛1，1 634，8 208，9 474｝，即這個(gè)數(shù)列中有4個(gè)元素，并且不包含素?cái)?shù).

在證明定理1之前，先給出以下數(shù)據(jù)：04＝0，14＝1，24＝16，34＝81，44＝256，54＝625，64＝1 296，74＝2 401，84＝4 096，94＝6 561.

證明 設(shè)As是特定幸福4次方數(shù)列｛an｝中的一個(gè)元素，假定As的十進(jìn)制表示式為a1a2...as－1as，其中1≤a1≤9，a2，...，as－1，，as∈［0，9］.于是由特定幸福4次方數(shù)的定義，有

顯然，由（1）式表示不難得出

即s必須滿足不等式10s－1≤94×s.設(shè)函數(shù)f（s）＝10s－1－6 561s，則f′（s）＝10s－1·ln 10－6 561.當(dāng)s≥6時(shí)，顯然有f′（s）＝105·ln 10－6 561＞0，所以當(dāng)s≥6時(shí)，f（s）為遞增函數(shù)且f（6）＝60 634＞0，因此由單調(diào)遞增函數(shù)的性質(zhì)可知對(duì)所有s≥6，有f（s）＞0，從而對(duì)所有整數(shù)s≥6，有不等式10s－1＞94×s.這與不等式（2）矛盾.所以，要使不等式（2）成立，必須有s≤5.以下分s＝1，2，3，4，5這5種情況討論.

當(dāng)s＝5時(shí)，令A(yù)5＝a1a2a3a4a5，并且有1≤a1≤9，a1，a2，a3，a4，a5∈［0，9］.由A5的取值范圍為10 000≤A5≤32 805，可以得出a1＝1，a1＝2或者a1＝3，這時(shí)用計(jì)算機(jī)編程來驗(yàn)證是否存在這樣的A5.計(jì)算機(jī)程序?yàn)镴ava程序，最終答案是否定的.

也可以直接證明5位數(shù)中沒有特定幸福4次方數(shù).事實(shí)上當(dāng)a1＝3時(shí)，max A5≤94×4＋34＝26 325，而此時(shí)30 000≤A5≤32 805，不在A5的取值范圍內(nèi)，故不成立.當(dāng)a1＝2時(shí)，max A5≤94×4＋24＝26 260，則20 000≤A5≤26 260，從不等式不難推出a2＝0，1，2，3，4，5，6.

（1）當(dāng)a2＝6時(shí)，A5≤94×3＋64＋24＝20 995，而26 000≤A5≤26 260，不成立.

（2）當(dāng)a2＝5時(shí)，A5≤94×3＋54＋24＝20 324，而25 000≤A5≤25 999，不成立.

（3）當(dāng)a2＝4時(shí)，A5≤94×3＋44＋24＝19 955，而24 000≤A5≤24 999，不成立.

（4）當(dāng)a2＝3時(shí)，A5≤94×3＋34＋24＝19 780，而23 000≤A5≤23 999，不成立.

（5）當(dāng)a2＝2時(shí)，A5≤94×3＋24＋24＝19 780，而22 000≤A5≤22 999，不成立.

（6）當(dāng)a2＝1時(shí)，A5≤94×3＋14＋24＝19 700，而21 000≤A5≤21 999，不成立.

（7）當(dāng)a2＝0時(shí)，A5≤94×3＋04＋24＝19 699，而20 000≤A5≤20 999，不成立.

當(dāng)a1＝1時(shí)，max A5≤94×4＋14＝26 245，則10 000≤A5≤19 999，由此得出0≤a2≤9.

當(dāng)a2＝0時(shí)，即a1＝1，a2＝0，max a4，a5≤9.現(xiàn)在考慮a3的取值范圍，得到14＋04＋＋94×2≥10 000.解此不等式可得a3≥0.

當(dāng)a3＝0時(shí)，即a1＝1，a2＝a3＝0，max a5≤9，14＋04＋04＋＋94≥10 000，解得a4≥8.

（?。┊?dāng)a4＝8時(shí)，A5≤14＋04＋04＋84＋94＝10 658，再考慮a5的取值范圍，14＋04＋04＋84＋≥10 080，解得a5≥9.此時(shí)A5＝14＋04＋04＋84＋94＝10 658≠10 089，不成立.

（ⅱ）當(dāng)a4＝9時(shí)，A5≤14＋04＋04＋94＋94＝13 123，再考慮a5的取值范圍，14＋04＋04＋94＋≥10 090，解得a5≥8.

（a）當(dāng)a5＝8時(shí)，A5＝14＋04＋04＋94＋84＝10 658≠10 098，不成立.

（b）當(dāng)a5＝9時(shí)，A5＝14＋04＋04＋94＋94＝13 123≠10 099，不成立.

用同樣的方法，可以討論a3＝1，...，9的情況，進(jìn)而討論a2＝1，...，9的情況.通過討論發(fā)現(xiàn)，5位數(shù)中沒有特定幸福4次方數(shù).類似地，討論s＝4，3，2，1的情況，得出F4＝｛1，1 634，8 208，9 474｝.從而證明了幸福4次方數(shù)是有限的，且只包含4個(gè)數(shù)，并且沒有素?cái)?shù).

［1］ SMARANDACHE F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago：Xiquan Publishing House，1993.

［2］ MUNEER JEBREEL.Smarandache Sequence of Happy Cube Numbers［J］.Smarandache Notions Journal，2004，1 4（1）：139－140.

［3］ 張 沛.一個(gè)包含偽Smarandache無平方因子函數(shù)的方程［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2008，40（2）：36－38.

［4］ 蔡立翔.一個(gè)包含數(shù)論函數(shù)的方程及其正整數(shù)解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2008，40（2）：33－35.

［5］ WANG Jin-rui.On the Smarandache Function and the Fermat Numbers［J］.Scientia Magna，2008，4（2）：25－28.

［6］ 韓 迪.關(guān)于特定幸福立方數(shù)列［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012，44（3）：20－22.

［7］ 張文鵬.初等數(shù)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2007.

［8］ APOSTOL T M.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Springer-Verlag，1976.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

Sequence of Fixed Happy 4-th Numbers

GAO Li，ZHAO Xi-yan，ZHAO Cai-hong

（School of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，Shaanxi China）

By using the elementary methods，fixed happy 4-th numbers and fixed happy n-th numbers are studied.A theorem about the set of F4is given and proven，and series of solutions of the problems related to fixed happy n-th numbers are obtained.

elementary method；fixed happy cube number；fixed happy 4-th number

O156.4

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.05.001

1007－2985（2013）05－0001－02

2013－03－07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10271093）；陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目（07JK430）；延安大學(xué)自然科學(xué)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（YDZ2013－04）

高 麗（1966－），女，陜西綏德人，延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)論研究.