陳志新

(北京物資學(xué)院 物流學(xué)院，北京 101149)

Wigner-Ville分布(WVD)在時頻分析領(lǐng)域占有很重要的地位，不僅因為它是最早問世的二次時頻分布，還因為其它所有二次時頻分布都可以看作是它的加窗形式［1］。與其它的時頻表示如短時Fourier變換譜、小波變換中的時間尺度譜相比，它能更好地描述信號的時變特征［2］。Meng等［3］應(yīng)用 Wigner分布方法來進(jìn)行旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷;石林鎖等［4］研究了基于WVD的譜峭度法在軸承故障診斷中的應(yīng)用;劉立州等［5］將Wigner分布與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT)相結(jié)合，提出了一種基于FrFT的Wigner分布(分?jǐn)?shù)階Wigner分布)的機(jī)械故障診斷方法。

在傳統(tǒng)的信號處理中，高斯信號模型占據(jù)主導(dǎo)地位，這種信號和噪聲的高斯分布的假定在許多情況下是合理的。但是在實踐中人們發(fā)現(xiàn)，在諸如地震勘探、水聲信號處理、生物醫(yī)學(xué)工程等許多領(lǐng)域所遇到的信號和噪聲往往是非高斯分布的。后來出現(xiàn)了關(guān)于高階譜和高階累積量研究的熱潮，如:李志農(nóng)等［6］研究了基于Wigner高階譜的機(jī)械故障診斷方法;左長青等［7］研究了矢Wigner高階譜在齒輪故障診斷中的應(yīng)用;劉衛(wèi)兵等［8］研究了基于局域均值分解和Wigner高階矩譜的機(jī)械故障診斷方法。緊接著又發(fā)展了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量的信號處理理論和方法，如:龍俊波等［9］研究了基于穩(wěn)定分布噪聲的分?jǐn)?shù)低階自適應(yīng)時頻分布;邊勇等［10］研究了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計模型的自適應(yīng)濾波器組譜估計方法;Liu等［11］討論了循環(huán)穩(wěn)定信號在α穩(wěn)定分布的脈沖噪聲環(huán)境下的濾波問題。α穩(wěn)定分布就是包括高斯分布在內(nèi)的適用范圍很廣的一種分布，其特征指數(shù)α∈(0，2］，當(dāng)α=2并且另外一個參數(shù)β=0時，它就是高斯分布，除此之外就是基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量的非高斯分布。本文通過對某現(xiàn)場機(jī)械設(shè)備運(yùn)行的振動信號進(jìn)行分布特性分析，指出這種機(jī)械設(shè)備振動信號的分布符合基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量的非高斯分布——分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布。

在無噪聲或高斯噪聲條件下，WVD具有很好的特性，然而在很多實際情況下，噪聲并不是高斯分布的，而往往服從分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布。因此，研究在分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布下的WVD具有很強(qiáng)的實用價值，分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布(Fractional Lower Order Wigner-Wille Distribution，F(xiàn)LOWVD)實際上是一種抗噪能力更強(qiáng)的WVD。Sekhar等［12］用偽Wigner分布來計算信號的瞬時頻率，本文將研究基于FLOWVD的機(jī)械設(shè)備故障時頻監(jiān)測方法。

1 分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布及其算法

1.1 分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布定義［13－15］

α穩(wěn)定分布比高斯分布具有更普遍的意義，能夠描述更加廣泛的數(shù)據(jù)。其特征函數(shù)表示如下:

式中:

參數(shù) α∈(0，2］為特征指數(shù)，參數(shù) β∈(-1，1)為對稱度參數(shù)，參數(shù)γ≥0為分散度參數(shù)，參數(shù)δ為均值的位置參數(shù)。α用來度量分布函數(shù)拖尾的厚度，其值越小，拖尾越厚，信號的脈沖特性越顯著。α=2時與高斯分布一致。

由以上參數(shù)α的取值范圍可知，在二階和高階統(tǒng)計量之外，還存在低于二階的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量，因此，基于α穩(wěn)定分布的WVD就稱為分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布(FLOWVD)。

常規(guī)WVD是一種得到廣泛重視和應(yīng)用的時頻分析方法，其連續(xù)和離散的定義式如下:

設(shè)x(t)為一連續(xù)時間信號，則:

離散形式為:

式中:x*(t)是x(t)的復(fù)共軛。

FLOWVD是在常規(guī)WVD的基礎(chǔ)上，根據(jù)分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布的相關(guān)理論，把上式中x(t)換成相應(yīng)的分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布下的表達(dá)式x〈b〉(t)，x*(t)換成相應(yīng)的x-〈b〉(t)，所以 FLOWVD的連續(xù)和離散的定義式如下:

連續(xù)形式:

離散形式:

1.2 分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布算法

WVD是信號x(t)的瞬時相關(guān)函數(shù)x(t+τ/2)·x*(t-τ/2)關(guān)于滯后τ的Fourier變換，若信號x(t)以服從分?jǐn)?shù)低階 α 穩(wěn)定分布的形式x＜b＞(t)表示，則FLOWVD 就是信號x＜b＞(t)的瞬時相關(guān)函數(shù)x＜b＞(t+τ/2)x-＜b＞(t-τ/2)關(guān)于滯后τ的Fourier變換。因此，仿照偽WVD(Pseudo-WVD)的算法，F(xiàn)LOWVD算法設(shè)計如下:

(1)確定信號x(t)在α穩(wěn)定分布下的特征指數(shù)α值，按0＜b＜α/2取定b值;

(2)將實信號x(t)經(jīng)Hilbert變換轉(zhuǎn)換成解析信號y(t);

(3)設(shè)w(k)是中心在n處的時間窗函數(shù)，且具有長度M=2L-1，則離散FLOWVD表達(dá)式如下:

式中:p(k)=w(k)w*(k)，mπ/M是圓頻率。對每個固定的時刻n計算上式即得到FLOWVD。

2 機(jī)械設(shè)備故障時頻監(jiān)測方法

在機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測中對時頻的監(jiān)測是一個重要的考查內(nèi)容［3］，因為時頻監(jiān)測能同時考慮時域和頻域信息，能盡可能完善的反映設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)。本文提出基于FLOWVD的機(jī)械設(shè)備故障時頻監(jiān)測方法，該方法通過監(jiān)測設(shè)備的頻率的時變信息來判斷設(shè)備狀態(tài)。

2.1 仿真信號

2.1.1 無噪聲情況下的調(diào)頻信號

取調(diào)頻信號x=cos(400πt+10cos(20πt))，采樣頻率為 2 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù) 512點(diǎn)。其 WVD和FLOWVD(取參數(shù)b=0.1)如圖1?？梢?在無噪聲情況下FLOWVD的時頻表現(xiàn)效果絲毫不比WVD差。

圖1 無噪聲情況下的調(diào)頻信號的WVD和FLOWVDFig.1 WVD and FLOWVD of FM signal in no noise case

2.1.2 加上非高斯噪聲情況下的調(diào)頻信號

現(xiàn)加上人為噪聲，該噪聲在分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布下的參數(shù)取值為:α =1.5，β =0，γ =0.3，δ=0，在高斯分布下參數(shù)取值為:α =2，β=0，γ =0.3，δ=0。調(diào)頻信號和采樣頻率同圖1，采樣點(diǎn)數(shù)取512點(diǎn)。

圖2 時域信號Fig.2 Time-domain signal

圖3 加上高斯噪聲和非高斯噪聲情況下的調(diào)頻信號的WVD和FLOWVDFig.3 WVD and FLOWVD of FM signal with gaussian noise and non-gaussian noise

各信號的時域圖如圖2，混合信號的 WVD和FLOWVD如圖3。對比圖3(c)和圖3(d)可見:在加上高斯噪聲情況下FLOWVD比WVD沒有明顯的優(yōu)勢，但在表達(dá)時頻特征上絲毫不遜色。而對比圖3(a)和圖3(b)可見:在加上非高斯噪聲情況下FLOWVD仍能很好地表現(xiàn)出了混合信號的時頻特性，而此時WVD卻表達(dá)不清。總之可以說FLOWVD明顯比WVD有更好的抗噪能力。

2.2 實際信號

以下是鞍鋼某軋機(jī)950軸承座上測得的實際信號，故障情況下采集512點(diǎn)，采樣頻率2 400 Hz，采集的是豎直方向上的振動信號。電機(jī)轉(zhuǎn)速:80 r/min，功率:4 760 W，這是典型的低速重載工況。該實際信號的原始和濾波后的時域及頻譜圖如圖4。

故障情況下該振動信號在分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布下的參數(shù)取值為:α =1.26，β =0.21，γ =0.92，δ=-0.13。其 P-P 概率圖(probability-probability plot)如圖5所示。P-P圖以樣本的累計概率為橫軸，以指定理論分布的累計概率為縱軸繪制散點(diǎn)圖，主要用于驗證樣本數(shù)據(jù)是否服從某個指定的分布，當(dāng)數(shù)據(jù)符合指定分布時，P-P圖中各點(diǎn)近似呈一條直線［16］。圖5(a)是用α穩(wěn)定分布擬合時的P-P圖，圖5(b)是假設(shè)數(shù)據(jù)為高斯分布時的P-P圖。從圖5可以看出:該設(shè)備在故障情況下的振動信號的分布服從分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布，而對高斯分布誤差相對較大。

圖4 實際信號的原始和濾波后的時域及頻譜圖Fig.4 Time-domain and frequency spectrum diagram of the actual signal respectively in the original and filtered case

圖5 分布擬合數(shù)據(jù)時的P-P圖Fig.5 The fitted P-P diagram

FLOWVD中取b=0.2。該實際信號經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVD分別如圖6。又測得該設(shè)備在正常工況下的實際信號經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVD分別如圖7。

圖6 實際故障信號經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVDFig.6 WVD and FLOWVD of Actual fault signal by filtering

從圖4、圖6、圖7中可以看出，軋機(jī)在故障情況下受到了很大的周期性的外力的作用，從圖6中的WVD和FLOWVD都可以看出這個外力產(chǎn)生的頻率約為3.5/512*2 400=16.4 Hz，正常工況下的約 50 Hz的頻率受到該16.4 Hz的調(diào)制，但是該圖中 FLOWVD比WVD能更清晰地表現(xiàn)這種時變特征。圖7中也是FLOWVD比WVD能更清晰地表現(xiàn)頻率的時變特征。

圖7 實際正常信號經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVDFig.7 WVD and FLOWVD of Actual normal signal by filtering

3 結(jié)論

(1)在機(jī)械設(shè)備故障診斷領(lǐng)域引入了一種比常規(guī)Wigner-Ville分布(WVD)抗噪能力更強(qiáng)的分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布(FLOWVD)，仿真信號和實際信號的驗證表明，F(xiàn)LOWVD是一種比WVD更具有實際應(yīng)用價值、應(yīng)用更加廣泛的新的時頻分析工具。

(2)機(jī)械設(shè)備運(yùn)行現(xiàn)場的振動信號的統(tǒng)計分布特性有些服從分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布。因此在作機(jī)械設(shè)備的故障診斷時要考慮噪聲的非高斯分布特性。

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