蔡 萍，唐駕時(shí)

(1.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082;2.漳州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，福建 漳州 363000)

非線性振動(dòng)系統(tǒng)分岔研究為非線性動(dòng)力學(xué)研究的重要課題，具有自身的理論意義及應(yīng)用背景［1］。工程中，分岔控制目的是避免分岔給系統(tǒng)造成不利行為。Hopf分岔作為重要的動(dòng)態(tài)分岔，其控制已引起數(shù)學(xué)、物理及工程領(lǐng)域極大關(guān)注。郁培等［2］利用非線性狀態(tài)反饋，提出推遲、消除Hopf分岔及改變分岔解穩(wěn)定性的控制方法;劉曾榮等［3］結(jié)合反饋與非反饋控制，提出非線性系統(tǒng)分岔控制的混合方法。劉爽等［4］通過(guò)設(shè)計(jì)非線性反饋控制器，控制系統(tǒng)Hopf分岔發(fā)生、極限環(huán)穩(wěn)定性及幅值，研究耦合非線性相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。沈建和等［5］通過(guò)正規(guī)型計(jì)算多尺度攝動(dòng)過(guò)程，獲得極限環(huán)振幅與頻率的解析近似表達(dá)式，用于一類三維系統(tǒng)。

Van der Pol振子作為自激振動(dòng)系統(tǒng)具有典型的Hopf分岔特征。最先出現(xiàn)在非線性電路中，繼而在機(jī)械、生物、化學(xué)、生態(tài)學(xué)等諸多工程與科學(xué)領(lǐng)域中亦發(fā)現(xiàn)其存在。Lee等［6］提出非線性能量吸收法，討論Van der Pol振子極限環(huán)振幅抑制的兩種結(jié)構(gòu)控制方法。唐駕時(shí)等［7］基于非線性反饋控制，利用多尺度法，獲得Van der Pol振子極限環(huán)振幅與反饋系數(shù)的解析關(guān)系。

對(duì)弱非線性問(wèn)題研究已較成熟，求解強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題也有一些方法，如Cheung等［8］提出改進(jìn)的L-P法，解決了一類強(qiáng)非線性振動(dòng)方程的近似求解問(wèn)題。唐駕時(shí)等［9］利用改進(jìn)的L-P法研究參數(shù)激勵(lì)與強(qiáng)迫激勵(lì)共同作用的一類強(qiáng)非線性系統(tǒng)余維1分岔問(wèn)題。Pakdemirli等［10］將L-P展開技術(shù)與多尺度法結(jié)合提出改進(jìn)的多尺度法，并成功應(yīng)用于求解含大參數(shù)的強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題。對(duì)廣義Van der Pol型強(qiáng)非線性振子，本文利用改進(jìn)的多尺度法，獲得穩(wěn)定周期解幅值表達(dá)式;設(shè)計(jì)適當(dāng)線性、非線性反饋控制器，獲得極限環(huán)振幅與控制增益之間的近似解析式，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)姆答佅禂?shù)達(dá)到控制極限環(huán)振幅目的。并數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析的正確性及可行性。

1 極限環(huán)振幅計(jì)算

考慮廣義Van der Pol振子為:

式中:參數(shù)ε為較大數(shù)值時(shí)，即為強(qiáng)非線性振動(dòng)方程。令 τ=ωt，則式(1)變?yōu)?

應(yīng)用L-P法［11］，將ω2展成冪級(jí)數(shù)形式:

與傳統(tǒng)L-P法不同，采用:

按多尺度法［12］將式(2)的解展成冪級(jí)數(shù)形式:

其中:Ti=εit(i=0，1，…)。將式(4)、(5)代入式(2)，得:

令ε同次冪系數(shù)相等，得:

設(shè)式(7)的解為:

將式(9)代入式(8)，為避免方程解中出現(xiàn)永年項(xiàng)，令 eiT0系數(shù)為0，得:

按改進(jìn)的多尺度法［10］，若選取D1A=0，則由式(10)解得:

此時(shí)ω1較復(fù)雜，顯然選擇不合理。故選取ω1=0，則由式(10)解得:

2 極限環(huán)振幅控制

2.1 線性狀態(tài)反饋控制

式(16)可視為另一個(gè)廣義Van der Pol方程:

由上節(jié)計(jì)算過(guò)程，可得受控系統(tǒng)式(16)的極限環(huán)幅值表達(dá)式為:

極限環(huán)幅值隨控制增益k變化，且:① 若k=0，則式(18)與式(14)完全相同;② 若k=-μ，則極限環(huán)幅值可控制到最小a=0。

2.2 立方非線性狀態(tài)反饋控制

顯然，若k=0，則式(19)、(20)與式(14)完全相同且極限環(huán)幅值均隨控制增益k變化。

2.3 平方非線性狀態(tài)反饋控制

2.4 聯(lián)合控制器

極限環(huán)幅值隨控制增益k1及k2變化，且:① 若k1=k2=0，則式(21)與式(14)完全相同;② 若k1=-μ，則極限環(huán)幅值可控制到最小a=0;③ 比較式(18)、(20)、(21)可知，在相同控制強(qiáng)度下，聯(lián)合控制更有效。

2.5 其它形式控制器

反饋控制器亦可設(shè)計(jì)成多種形式(方法相同):

3 數(shù)值模擬

由上述討論知，系統(tǒng)(1)線性反饋控制器不僅能使幅值a為零，也能使a隨著k的增大而增大;平方非線性反饋控制器在一次近似下不能控制極限環(huán)振幅;立方非線性反饋控制器所得幅值預(yù)測(cè)表達(dá)式中含近似頻率ω2，相比另一類三次非線性反饋控制器預(yù)測(cè)效果稍差;而比較式(20)、式(18)，據(jù)方程根及系數(shù)關(guān)系可知，相同反饋強(qiáng)度下，三次控制器較線性控制器更有效;聯(lián)合控制器也能控制幅值到零，且可設(shè)計(jì)多種組合，達(dá)到更好的控制效果。取參數(shù) ε=2=μ=β=1，ξ=-0.2，不同反饋控制器對(duì)應(yīng)的極限環(huán)見圖1?？刂魄皹O限環(huán)幅值為:a=1.765。對(duì)選取的三類反饋控制器，控制后極限環(huán)幅值分別為:a=2.065，a=1.263，a=1.932。數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了幅值控制的有效性。

圖1 系統(tǒng)(1)在不同反饋控制器下極限環(huán)Fig.1 Limit cycles in the system(1)for different controllers

表1 不同控制參數(shù)下極限環(huán)幅值Tab.1 Amplitudes of the limit cycle for various control parameters

4 結(jié)論

通過(guò)討論廣義Van der Pol型強(qiáng)非線性振子極限環(huán)振幅控制，在不改變振動(dòng)頻率情況下，選擇適當(dāng)?shù)姆答伩刂破鳎酶倪M(jìn)的多尺度法，在一次近似下，所得解析結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本吻合;在不同控制參數(shù)下，對(duì)較大參數(shù)ε=2，相對(duì)誤差不超過(guò)1%，仍具有較高精確度。

［1］ Chen G R，Moiola J L，Wang H O.Bifurcation control theories，methods and application［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2000，10(3):511-548.

［2］ Yu P，Chen G R.Hopf bifurcation control using nonlinear feedback with polynomial functions［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2004，14(5):1683-1704.

［3］Liu Z R，Chung K W.Hybrid control of bifurcation in continuous nonlineardynamicalsystemscoupled chaotic systems［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2005，15(12):3895-3903.

［4］劉 爽，劉浩然，聞 巖，等.一類耦合非線性相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的 Hopf分岔控制［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59(8):5223-5228.

LIU Shuang， LIU Hao-ran， WEN Yan， etal. Hopf bifurcation control in a coupled nonlinear relative rotation dynamical system［J］.Acta Physica Sinica，2010，59(8):5223-5228.

［5］沈建和，陳樹輝.非線性振動(dòng)系統(tǒng)極限環(huán)振幅與頻率的控制［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(6):90-92.

SHEN Jian-he，CHEN Shu-hui.Control of amplitude and frequency of limit cycles in nonlinear oscillatory systems［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(6):90-92.

［6］ Lee Y S，Vakakis A F，Bergman L A，et al.Suppression of limit cycle oscillations in the van der Pol oscillator by means of passive nonlinear energy sinks［J］.Structural of Control and Health Monitoring，2006，13(1):41-75.

［7］ Tang J S，Chen Z L.Amplitude control of limit cycle in van der Pol system［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2006，16(2):487-495.

［8］ Cheung Y K，Chen S H，Lau S L.A modified Lindstedtpoincare method for certain strongly nonlinear oscillators［J］.Int J Non-linear Mech，1991，26(3-4):367-378.

［9］唐駕時(shí)，尹小波.一類強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分叉［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，1996，28(3):363-369.

TANG Jia-shi，YIN Xiao-bo.Bifurcation of a class of strongly nonlinear oscillation systems［J］.Acta Mechanica Sinica，1996，28(3):363-369.

［10］ Pakdemirli M， KarahanM M F， BoyaciH. A new perturbation algorithm with better convergence properties:multiple scales lindstedt poincare method［J］.Mathematical and Computational Applications，2009，14:31-44.

［11］ Nayfeh A H.Problems in perturbation［M］.New York:Wiley，1985.

［12］ Nayfeh A H，Mook D T.Nonlinear oscillations［M］.New York:Wiley，Inter-Science，1979.