朱俊飛，周瑞平，胡 義，林 雨

(武漢理工大學(xué)，武漢 430063)

隨著我國船舶工業(yè)的高速發(fā)展，對船用設(shè)備的研究不斷深入。船用大功率齒輪箱一般采用大齒寬、大螺旋角的斜齒輪，大多運(yùn)行于中、低速重載環(huán)境中，齒面受循環(huán)變動接觸應(yīng)力作用，極易造成齒面接觸疲勞，導(dǎo)致齒輪傳動系統(tǒng)失效，甚至改變船舶推進(jìn)軸系的振動特性。

對帶齒輪副的船舶推進(jìn)軸系，研究其扭轉(zhuǎn)振動特性過程中，通常不考慮齒輪箱處嚙合剛度的時(shí)變性，使齒輪副之間的嚙合剛度遠(yuǎn)大于其它部件剛度，即將齒輪副視為準(zhǔn)剛性體計(jì)算［1］。此時(shí)，船舶推進(jìn)軸系的動態(tài)仿真不能反映齒輪箱的基本特性。而對齒輪箱的動態(tài)響應(yīng)分析通常將其視為孤立裝置，未與船舶推進(jìn)軸系運(yùn)行環(huán)境相聯(lián)系，因而忽視了推進(jìn)系統(tǒng)中各部件間的相互作用，不能全面仿真動態(tài)特性［2］。為研究完整推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)，須建立考慮時(shí)變嚙合剛度的推進(jìn)軸系模型。

采用有限元法計(jì)算時(shí)變嚙合剛度，通過直接計(jì)算或回歸經(jīng)驗(yàn)公式等方式得到嚙合剛度的時(shí)變值。但其建模復(fù)雜、計(jì)算量大，故考慮用接觸線長度等效計(jì)算時(shí)變嚙合剛度［3-6］。因單對齒輪副失效(如點(diǎn)蝕、磨損、裂紋、斷齒)后嚙合剛度會降低，Chaari等［7-8］依次引入故障點(diǎn)分析磨損與點(diǎn)蝕對齒輪嚙合剛度影響，獲得單級傳動齒輪副故障的動態(tài)響應(yīng)，同時(shí)研究在不同外部激勵(lì)作用下齒輪傳動系統(tǒng)的響應(yīng)特征。

本文針對船舶推進(jìn)軸系，通過建立基于剛度矩陣單元的扭轉(zhuǎn)振動模型，在傳統(tǒng)的船舶推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動模型中將齒輪嚙合剛度作為有限、時(shí)變值處理，可完整反映推進(jìn)軸系的動態(tài)響應(yīng)。通過合理改變齒輪箱時(shí)變嚙合剛度，提取扭振信號，識別出輪齒特征引起嚙合剛度的變化，仿真獲得故障狀態(tài)的推進(jìn)軸系響應(yīng)信號并分析其特點(diǎn)，為完整推進(jìn)軸系的故障分析提供可靠依據(jù)。

1 推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動模型建立

準(zhǔn)確建立推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動模型是研究動態(tài)響應(yīng)的首要條件，一般采用線性集總參數(shù)式當(dāng)量模型。模型簡化中，將質(zhì)量較大部件如飛輪、法蘭、彈性聯(lián)軸器及氣胎離合器的主、被動盤等，以其回轉(zhuǎn)平面中心為慣量集中點(diǎn)，并將軸段慣量平分加于兩端集中點(diǎn);兩集中點(diǎn)間軸段或彈性件的扭轉(zhuǎn)剛度為相連彈簧剛度。為深入研究齒輪箱特性，不宜將齒輪副等效于單個(gè)集中質(zhì)量點(diǎn)或使齒輪副嚙合剛度無限大，需建立齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動模型［9］。通過基于剛度矩陣單元的齒輪傳動系統(tǒng)模型，以剛度矩陣為載體，考慮由時(shí)變嚙合剛度引起的傳動比變化，可以將圖1(a)中傳動模型轉(zhuǎn)化為以剛度矩陣連接的數(shù)學(xué)模型，如圖1(b)。

圖1 齒輪傳動簡化力學(xué)模型Fig.1 Simplified mechanical model of gear transmission

據(jù)齒輪傳動力學(xué)特性，得:

提取等效外部激勵(lì)項(xiàng)，得嚙合剛度矩陣［9］為:

式中:Kmt為周向嚙合剛度;Rx為主動齒輪半徑;Rx'為從動齒輪半徑。

圖2 某江海直達(dá)貨船推進(jìn)軸系當(dāng)量圖Fig.2 Equivalent figure of propulsion shaft from a river/coastal cargo ship

由當(dāng)量方法與齒輪嚙合剛度矩陣可建立推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)模型，見圖2。圖中，I1～I(xiàn)25為轉(zhuǎn)動慣量;Cx為相連集中質(zhì)量間阻尼;K1～K22為相連集中質(zhì)量間扭轉(zhuǎn)剛度;KT1～KT3為嚙合剛度矩陣。

2 齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算原理

理想狀態(tài)下，船用齒輪箱輪齒嚙合剛度與齒輪副接觸線長度存在線性關(guān)系，可通過齒輪副接觸線長度變化反映齒輪瞬時(shí)嚙合剛度變化規(guī)律，進(jìn)而得到輪齒瞬時(shí)嚙合剛度［6］。

設(shè)嚙合剛度與嚙合線長度完全按線性關(guān)系變化，單位嚙合線長度的嚙合剛度為常數(shù)k0，則齒輪副之間的嚙合剛度可表示為:

式中:L(t)為齒輪t時(shí)刻瞬時(shí)接觸線長度;k(t)為齒輪t時(shí)刻嚙合剛度;k0為單位嚙合線長度嚙合剛度系數(shù)。

設(shè)齒數(shù)為Z，在某段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過齒數(shù)Zτ可用齒輪嚙合周期Tz與時(shí)間t表示，即:

設(shè)接觸線剛進(jìn)入嚙合區(qū)時(shí)τ=0(即Zτ=0)，同時(shí)端面重合度εα大于軸向重合度εβ，則該瞬時(shí)接觸線長度可表示為:

式中:B0(Zτ)為嚙合線長度系數(shù);B為齒寬;βb為基圓螺旋角。

圖3 嚙合線移動示意圖Fig.3 Schematic diagram of meshing line behaviours

由圖3，齒輪嚙合線長度系數(shù)可表示為:

式中:Zp為同時(shí)嚙合的最大齒數(shù);n=0，1，2，…。

函數(shù)B0(Zτ)為以Zp為周期的線性函數(shù)，見圖4。由此展成傅里葉級數(shù)形式為:

圖4 嚙合線長度系數(shù)變化示意圖Fig.4 Schematic diagram of the variation for length coefficient

某時(shí)刻第i條接觸線瞬時(shí)嚙合長度為:

式中:i=0，1，2，…，Zp-1。單齒瞬時(shí)嚙合剛度為:

齒輪副瞬時(shí)嚙合總剛度為:

據(jù)材料力學(xué)性能，嚙合狀態(tài)時(shí)輪齒發(fā)生故障，可假設(shè)在一定外力范圍內(nèi)，嚙合剛度與輪齒裂紋深度、齒面點(diǎn)蝕嚴(yán)重情況呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，單位嚙合線嚙合剛度值有一定變化［10］。設(shè)剛度變化呈方波趨勢，見圖5。

圖5 單位嚙合線剛度系數(shù)變化示意圖Fig.5 Schematic diagram of the variation for stiffness coefficient in per unit length meshing line

由圖5得:

式中:x為故障因子;n=0，1，2，…。

經(jīng)傅里葉級數(shù)展開得:

式中:

故障齒處的嚙合剛度為:

多齒綜合嚙合剛度等于正常齒與故障齒嚙合剛度之和。設(shè)輪齒上僅有一個(gè)輪齒發(fā)生故障，齒輪輸入端軸轉(zhuǎn)速V，齒數(shù)Z，則嚙合剛度隨時(shí)間變化曲線見圖6。上個(gè)輪齒轉(zhuǎn)至下個(gè)輪齒位置所需時(shí)間為60/VZ。因船用斜齒輪重合度較高，在一個(gè)齒輪對作用周期中，經(jīng)歷由嚙入至嚙出階段，故障齒在嚙入、嚙出時(shí)，相鄰輪齒作為主作用齒，對嚙合剛度影響不大，若故障輪齒作為主作用齒，嚙合剛度將顯著下降。

圖6 齒輪嚙合剛度變化曲線Fig.6 Time-varying curve of gear meshing stiffness

3 實(shí)例計(jì)算

3.1 時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

由圖2的當(dāng)量圖，通過提取齒輪箱處嚙合傳動輪齒，得傳動關(guān)系見圖7。將各齒輪的編號值以ANSYS中計(jì)算模型為準(zhǔn)，可仿真單個(gè)齒發(fā)生故障時(shí)嚙合剛度的變化。

該船用GWC45·49型減速齒輪箱，第一級減速齒輪副(即12#齒輪與13#齒輪)基本參數(shù)見表1。

表1 GWC45·49減速齒輪箱第一級減速齒輪副基本參數(shù)Tab.1 The basic parameters of the first stage gears of GWC45·49

據(jù)以上參數(shù)計(jì)算得端面重合度εα=1.63;軸向重合度εβ=1.58;總重合度ε=3.21。第一級減速齒輪副嚙合中交替出現(xiàn)三個(gè)齒與四個(gè)齒嚙合情況。一個(gè)齒嚙合由開始至結(jié)束轉(zhuǎn)過3.21個(gè)齒位，再轉(zhuǎn)過0.79個(gè)齒位時(shí)，才有一個(gè)新齒進(jìn)入嚙合狀態(tài)。據(jù)式(13)、式(14)，通過MATLAB仿真計(jì)算得齒輪副正常工作狀態(tài)的時(shí)變嚙合剛度，如圖8所示。若單對齒輪副嚴(yán)重點(diǎn)蝕，單位嚙合線剛度降低至原值的5%，其嚙合剛度隨時(shí)間變化曲線如圖9所示。

圖8 正常態(tài)下齒輪嚙合剛度時(shí)變曲線Fig.8 Time-varying curve of gear meshing stiffness in normal

圖9 單齒故障下嚙合剛度時(shí)變曲線Fig.9 Time-varying curve of gear meshing stiffness in failure

圖8為正常狀態(tài)下嚙合剛度隨時(shí)間的變化曲線，波形類似正弦曲線，呈規(guī)則周期性變化，該周期為嚙合周期。在四齒嚙合區(qū)中，嚙合剛度先上升后降低，而三齒嚙合區(qū)則為嚙合剛度曲線波谷。

圖9為單齒嚙合剛度降低情況下嚙合剛度曲線隨時(shí)間變化的局部圖。若某個(gè)輪齒出現(xiàn)斷齒、裂紋、點(diǎn)蝕等故障，則在該齒作用區(qū)域內(nèi)的嚙合剛度均會受影響。此時(shí)嚙合剛度變化周期在嚙合周期基礎(chǔ)上會增加一個(gè)輪齒的轉(zhuǎn)動周期。

根據(jù)以上仿真結(jié)果，對計(jì)算模型參數(shù)做時(shí)變控制，從而可實(shí)現(xiàn)船舶推進(jìn)軸系模型在齒輪變剛度作用下的瞬態(tài)響應(yīng)分析。

3.2 推進(jìn)軸系瞬態(tài)響應(yīng)分析

該船柴油機(jī)型號為G6300 ZC18B/19B，六缸、四沖程、直列式，額定功率1 323 kW，額定轉(zhuǎn)速550 r/min。

計(jì)算中通過有限元分析軟件，建立質(zhì)量、扭轉(zhuǎn)彈簧、剛度矩陣等單元，即將(圖2)船舶推進(jìn)軸系轉(zhuǎn)化為計(jì)算模型。據(jù)廠家提供資料，賦予各單元相應(yīng)參數(shù)值，其中嚙合輪齒處將嚙合剛度視為極大、非時(shí)變值進(jìn)行處理。令模型軸向扭轉(zhuǎn)方向自由度可用。對該模型作模態(tài)分析所得船舶推進(jìn)軸系固有頻率見表2。

表2 船舶推進(jìn)軸系固有頻率Tab.2 Natural frequencies of ship＇s propulsion shaft

圖10 齒輪箱輸入端加速度頻譜Fig.10 Spectrum of the acceleration response at the input end of gear box

計(jì)算瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，可據(jù)柴油機(jī)發(fā)火順序，在柴油機(jī)六個(gè)氣缸處的集中質(zhì)量點(diǎn)上施加激勵(lì)力矩。由上節(jié)計(jì)算所得正常態(tài)與故障態(tài)輪齒嚙合剛度變化特性，可將剛度矩陣單元作為嚙合剛度時(shí)變性載體，將剛度值變化反映進(jìn)整個(gè)瞬態(tài)響應(yīng)過程，從而使時(shí)變嚙合剛度影響體現(xiàn)在推進(jìn)軸系動態(tài)響應(yīng)計(jì)算中。

設(shè)柴油機(jī)運(yùn)行額定轉(zhuǎn)速為550 r/min，齒輪嚙合剛度按圖8綜合剛度變化趨勢穩(wěn)定變化，所得齒輪箱輸入端角加速度頻譜見圖10。圖中出現(xiàn)的主要頻率為:① 共振頻率，4.01 Hz、14.25 Hz 及不明顯頻率 43.21 Hz、62.72 Hz均與系統(tǒng)固有頻率相同;② 柴油機(jī)發(fā)火頻率在27.5 Hz下出現(xiàn)最大峰值;③ 嚙合頻率，處于416 Hz與417.9 Hz之間，與計(jì)算結(jié)果 416.67 Hz較吻合。④ 邊頻，因系統(tǒng)中低頻段固有頻率較多，在嚙合頻率段兩側(cè)出現(xiàn)距嚙合頻率約4 Hz、13 Hz、27 Hz的三種邊頻，其余頻率段峰值均不明顯。由圖10(a)知，將齒輪箱的時(shí)變嚙合剛度引入船舶推進(jìn)軸系計(jì)算模型后，仿真所得扭轉(zhuǎn)振動信號更多，通過系統(tǒng)固有頻率、柴油機(jī)發(fā)火頻率及輪齒嚙合頻率的綜合作用使響應(yīng)頻譜更豐富與真實(shí)。

設(shè)柴油機(jī)轉(zhuǎn)速為550 r/min時(shí)，12#齒輪的旋轉(zhuǎn)頻率為9.166 7 Hz，由于減速比的作用，13#齒輪旋轉(zhuǎn)頻率為12.5 Hz。當(dāng)12#齒輪的一個(gè)輪齒嚙合剛度降低后，綜合嚙合剛度按圖9變化，在50～150 Hz及嚙合頻率段兩側(cè)出現(xiàn)間隔約9.2 Hz的邊頻，見圖10(b)。13#齒輪一個(gè)輪齒嚙合剛度降低時(shí)，綜合嚙合剛度按圖9趨勢變化后，在50～150 Hz及嚙合頻率段兩側(cè)出現(xiàn)邊頻段，邊頻間隔約12.6 Hz，見圖10(c)。仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果十分吻合。

4 結(jié)論

(1)通過建立帶剛度矩陣單元的推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，使推進(jìn)軸系中輪齒嚙合剛度時(shí)變性得以考慮?；诟道锶~變換得到時(shí)變嚙合剛度計(jì)算公式，引入故障因子作為輪齒故障態(tài)下剛度值變化的度量，得出正常狀態(tài)與單齒故障狀態(tài)時(shí)齒輪嚙合剛度時(shí)變值。并據(jù)該時(shí)變值，在瞬態(tài)分析推進(jìn)軸系動態(tài)特性過程中，準(zhǔn)確、實(shí)時(shí)修改推進(jìn)軸系特征參數(shù);

(2)通過對推進(jìn)軸系瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)分析求得的信號頻譜圖同時(shí)包含系統(tǒng)固有頻率、柴油機(jī)發(fā)火頻率及輪齒嚙合頻率相關(guān)信息，實(shí)現(xiàn)完整船舶推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動仿真，獲得豐富仿真信號。

(3)通過分析扭轉(zhuǎn)振動信號中頻率特征能有效識別齒輪箱故障輪齒位置，為帶齒輪副船舶推進(jìn)軸系動態(tài)響應(yīng)仿真研究中柴油機(jī)激勵(lì)力、齒輪箱激勵(lì)力響應(yīng)信號相關(guān)性分析奠定基礎(chǔ)。

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