錢大帥，劉占生，劉鎮(zhèn)星，葉建槐

(哈爾濱工業(yè)大學 動力機械振動與噪聲控制技術(shù)研究所，哈爾濱 150001)

干摩擦振動系統(tǒng)重要特性之一是當激勵與結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足一定條件時，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)“粘滑”現(xiàn)象。粘著發(fā)生時，摩擦單元無相對運動，干摩擦系統(tǒng)耗能減振特性會因此受影響。另外，摩擦副之間粘著可能會加劇某些運動結(jié)構(gòu)中的有害摩擦。因此，研究粘滑運動對預防及利用干摩擦效應(yīng)具有重要意義。

但干摩擦定律的間斷特性限制了各常規(guī)分析方法在干摩擦系統(tǒng)研究中的應(yīng)用，為粘滑特性仿真與解析研究帶來了困難。目前對干摩擦系統(tǒng)響應(yīng)的解析求解多采用等效粘性阻尼方法、光滑函數(shù)法或分段拼接法［1］，而分段與拼接方法應(yīng)用最普遍。Hong 等［2］通過對無粘著運動響應(yīng)進行分段解析與拼接分析，獲得響應(yīng)表達式，并給出避免粘著所需最小簡諧力幅值。郭樹起等［3-4］在文獻［2］基礎(chǔ)上，通過分段解析方法，采用弱化的假設(shè)條件，給出不同粘性阻尼條件下純滑動運動的統(tǒng)一解析表達式及粘著發(fā)生的參數(shù)邊界。文獻［5］采用分段分析方法，獲得簡諧激勵下無粘性阻尼干摩擦振子的粘滑運動解析解，認為干摩擦振子運動為含有“滑動-粘著”轉(zhuǎn)換的兩階段運動，并給出形式簡單的“滑動-滑動”條件，繪制出在參數(shù)平面內(nèi)無粘性阻尼干摩擦振子粘著次數(shù)分布圖。Liu等［6-7］對粘滑運動進行分段處理，認為采用依賴速度的干摩擦模型系統(tǒng)中存在發(fā)生粘著運動的臨界傳動速度。Duan等［8］采用光滑化方法，結(jié)合分段處理手段，研究純滑至粘滑狀態(tài)的邊界預測問題，發(fā)展了基于扭矩假設(shè)和速度輪廓的解析方法。楊紹普等［9］通過分段求解，給出激勵頻率為固有頻率的三分之一時，無粘性阻尼干摩擦振子雙stop粘滑運動的精確解，對響應(yīng)特性及粘著條件進行了分析。

等效粘性阻尼法與光滑化方法是近似逼近方法，不能給出精確解;分段拼接法思路簡單，可給出精確解，但求解過程繁瑣，解的形式較復雜，且解析解非全局普遍解，因而限制其應(yīng)用及推廣。故需對粘滑運動特性進行分析，給出形式簡單、能對粘著及滑動狀態(tài)進行統(tǒng)一描述的粘滑運動解析解。本文利用諧波平衡方法對單自由度干摩擦系統(tǒng)粘滑運動中最常見的雙粘著粘滑運動進行分析，尋求雙粘著運動響應(yīng)的級數(shù)解析形式，分析雙粘著粘滑運動特性，研究參數(shù)對雙粘著運動影響，討論粘著條件及粘滑邊界。

1 干摩擦振子雙粘著運動

在簡諧激勵作用下，含粘性阻尼的單自由度干摩擦振動系統(tǒng)動力學方程為:

其中:F0，ω分別為簡諧激勵力幅值、角頻率，φ為位移響應(yīng)落后于簡諧激勵力的相位角。Ff為摩擦力，遵守集值庫侖定律:

式中:μ為動摩擦系數(shù)，N為正壓力。取最大靜摩擦力值Fs等于滑動摩擦力幅值，即:

式(1)的干摩擦振動系統(tǒng)會出現(xiàn)雙粘著粘滑運動。雙粘著運動響應(yīng)曲線示意圖見圖1。由動力學方程及響應(yīng)曲線知:

(1)雙粘著運動響應(yīng)具有周期性，其周期T即簡諧激勵周期;

(2)雙粘著運動響應(yīng)具有對稱性，即:

(3)在一個時間周期內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可劃分為“滑動(ta至tb)-粘著(tb至tc)-反向滑動(tc至td)-粘著(td至te)”四個階段。粘著階段，系統(tǒng)位移保持不變，靜摩擦力大小由受力平衡決定。

圖1 雙粘著運動的響應(yīng)和摩擦力曲線Fig.1 Response and frictional force curves of double-stick motion

2 雙粘著運動級數(shù)形式解析解

2.1 摩擦力函數(shù)級數(shù)形式

摩擦力函數(shù)式(5)可展開為傅里葉級數(shù)形式:

其中:a0，an，bn為傅里葉級數(shù)系數(shù)。

定義半周期內(nèi)滑動階段對應(yīng)的幅角長度為:

則:

式(8)表示半周期內(nèi)粘著階段對應(yīng)的幅角長度。

積分得各項系數(shù)a0，an，bn為:

n=1時:

所得各諧波項級數(shù)表達式中只含奇次諧波項，與數(shù)值仿真頻譜分析結(jié)果一致。因此摩擦力函數(shù)可表達為:

2.2 諧波平衡過程

令:

利用式(14)、(15)，將動力學方程改寫為:據(jù)式(16)右端項力函數(shù)特點，設(shè)系統(tǒng)位移響應(yīng)為:

將式(17)代入式(16)，并令方程兩端同次諧波項系數(shù)相等，可解出式(17)系數(shù)表達式，得位移響應(yīng)級數(shù)形式解為:

由式(19)可看出，雙粘著運動響應(yīng)與力幅比、頻率比、粘性阻尼比有關(guān)。

由推導過程與級數(shù)解形式知，粘著與滑動階段解的形式可統(tǒng)一。因此級數(shù)解為全局形式解。雖級數(shù)解各單項表達式形式復雜，但總體形式簡單、求解思路易理解、計算方便。且級數(shù)解推導無高次方程求根、開方及反三角函數(shù)等運算，可避免文獻［9］中解析求解對參數(shù)范圍及無意義解的取舍。

2.3 待定參數(shù)求解

式(19)的響應(yīng)表達式中有三個未知參數(shù):xa，T1，φ，其求解條件為:

(1)t=0 時，x|t=0=-xa，即:

由式(20)～式(22)導出關(guān)于xa，T1，φ的非線性代數(shù)方程組，求解三參數(shù)，可得雙粘著粘滑響應(yīng)與摩擦力函數(shù)。

3 雙粘著運動特性分析

3.1 與仿真結(jié)果對比

取系統(tǒng)參數(shù):F0=2 N，k=6π N/m，R=0.5，ζ=2.65 ×10-2，ξ=0.4。諧波項取前3 000 項。據(jù)上述方程組，解得:

圖2、圖3為上述參數(shù)對應(yīng)級數(shù)解與數(shù)值解結(jié)果的對比圖。由響應(yīng)曲線看出，級數(shù)形式解析解能較好地描述雙粘著運動，對系統(tǒng)粘著階段及滑動階段表述清晰，與數(shù)值結(jié)果吻合較好。由級數(shù)解所得響應(yīng)振幅略小于數(shù)值解結(jié)果，但與數(shù)值解差異小于數(shù)值解幅值的0.4‰。將求得的參數(shù)值代入式(14)、式(5)，摩擦力函數(shù)的級數(shù)解與直接分段函數(shù)吻合較好(見圖4)，級數(shù)解對摩擦力函數(shù)的描述也是正確的。

圖2 雙粘著運動位移響應(yīng)Fig.2 Displacement response of double-stick stick-slip motion

圖3 雙粘著運動速度響應(yīng)Fig.3 Velocity response of double-stick stick-slip motion

圖4 雙粘著運動過程中摩擦力變化曲線Fig.4 Frictional force curve of double-stick stick-slip motion

3.2 參數(shù)對雙粘著運動粘著時間長度影響

據(jù)式(8)對β'的定義，考察參數(shù)對雙粘著運動粘著階段長度的影響。β'變化情況見圖5。由圖5看出，當力幅比R增大時，粘著時間變長。由于較大力幅比對應(yīng)最大靜摩擦力，非摩擦合外力需更長時間以達到并克服最大靜摩擦力。

當激勵頻率比ξ大于1時(圖5(b)、(d))，隨著粘性阻尼增加，雙粘著運動的粘著時間增長。當激勵頻率比小于1時，粘著時間隨參數(shù)的變化更復雜(圖5(a))。當力幅比小于0.57時，粘性阻尼越大，粘著時間越短，而在力幅比大于0.57時，粘著阻尼增加會導致粘著時間增長?？傊?，力幅比與頻率比越大，粘性阻尼對粘著時間影響越小。

3.3 參數(shù)對雙粘著運動位移幅值影響

不同頻率比、不同粘性阻尼比情況下雙粘著運動位移幅值的變化曲線見圖6。摩擦力增大會導致響應(yīng)幅值減小，當力幅比趨于1時，位移響應(yīng)趨于零，即振子無法運動，始終粘著。粘性阻尼增大同樣會導致響應(yīng)幅值減小，激勵頻率不同影響程度不一。在主共振頻率(ξ=1.0)處影響最明顯;頻率比 ξ=10.0時，粘性阻尼影響較小。

圖5 粘著階段長度變化Fig.5 Variation of sticking duration

圖6 粘著階段位移幅值變化Fig.6 Variation of sticking displacement amplitude

4 粘著發(fā)生參數(shù)邊界分析

無粘著運動過程中，摩擦力函數(shù)以方波形式變化:

此方波函數(shù)展的傅里葉系數(shù)為:

式(25)為式(10)～式(13)在 β=π時的化簡形式。因此無粘著運動響應(yīng)解可由式(19)導出，據(jù)此可知參數(shù)平面內(nèi)有、無粘著運動分界線。

將式(22)代入式(15)并消去xa，將An，Bn按 φ 整理為:

其中:n=1時有:

將式(26)、(27)代入式(20)、(21)，整理得:

式(28)可進一步變形為:

定義輔助函數(shù)f:

雙粘著運動系統(tǒng)參數(shù)應(yīng)滿足:

由于β為上半周期內(nèi)粘著階段開始點對應(yīng)的相位角，因此干摩擦振子不發(fā)生粘著的純滑動參數(shù)條件為:

由式(32)可解出干摩擦振子粘著發(fā)生的臨界條件，即粘滑邊界線表達式為:

ξ-R參數(shù)平面內(nèi)粘著邊界線見圖7。給定激勵頻率比，當系統(tǒng)力幅比R大于邊界力幅比時，系統(tǒng)將發(fā)生粘著，反之發(fā)生純滑動運動。粘性阻尼對粘滑邊界線影響較大，粘性阻尼增大導致純滑動參數(shù)區(qū)域范圍縮小，在頻率比較小(ξ＜30)時尤其顯著。當激勵頻率比較大(ξ＞30)時，粘性阻尼對粘著邊界線影響相對較小。當頻率比較大(ξ＞100)時，邊界力幅比趨向于穩(wěn)定值R=0.537 1，粘性阻尼比對粘滑邊界線基本無影響。

ζ=0時，系統(tǒng)中不存在粘性阻尼，由式(18)，粘著邊界條件式(33)可簡化為:當 ξ=1/i(i=3，5，7，…)時，有:

當n≠i時，Pn為有限值，對式(34)進行極限分析可知:

上式說明:當ξ=1/i(i=3，5，7，…)時，粘著邊界線會無限接近于零。因此，當無粘性阻尼時，在奇次分數(shù)倍頻處，摩擦力再小，粘著總會發(fā)生。在該頻率比處，粘著邊界線取局部極小值，因此，粘滑邊界線在低頻范圍內(nèi)會出現(xiàn)凸凹交替特征，如圖8所示。

考慮粘性阻尼情況下，據(jù)式(19)，位移響應(yīng)第n階諧波項幅值可寫為關(guān)于頻率比ξ的函數(shù):

圖7 粘滑邊界線Fig.7 Stick-slip boundary curve

圖8 粘滑邊界線凸凹交替曲線Fig.8 Concave-convex alternation of stick-slip boundary curve

式中:An，Bn與ξ無關(guān)，使xan取極值的駐點表達式為:

解得使xan取極值的駐點頻率比為:

式(33)可視為關(guān)于頻率比的函數(shù)R(ξ)?？梢则炞C，當粘性阻尼比足夠小(0≤ζ≤2)時，式(39)的頻率比值均滿足:

在此頻率比處，粘著邊界線為局部極小值(圖8)。隨著粘性阻尼比增大，力幅比函數(shù)R的局部極小值逐漸增大，力幅比函數(shù)曲線的局部極小谷值從左至右會依次消失。當粘性阻尼比增加至ζ≈0.165 2時，粘滑邊界線最右側(cè)對應(yīng)頻率比為1/3的局部極小谷值消失，凸凹轉(zhuǎn)換特征消失，粘滑邊界線呈現(xiàn)單調(diào)變化。

5 結(jié)論

基于諧波平衡方法給出干摩擦振子雙粘著運動響應(yīng)的級數(shù)形式解析解。利用該解析解對雙粘著運動特性及粘著參數(shù)邊界進行分析，結(jié)論如下:

(1)本文所給級數(shù)解形式簡單，能對粘著及滑動階段特性統(tǒng)一描述，為全局形式解。與數(shù)值結(jié)果對比表明，級數(shù)解能較好描述雙粘著運動;

(2)頻率比、力幅比及粘性阻尼對雙粘著運動的響應(yīng)幅值及粘著時間影響較大。同一激勵頻率下，力幅比增大會導致位移幅值減小及粘著時間變長。粘性阻尼對幅值及粘著時間影響與頻率比與力幅比相關(guān)，頻率比與力幅比增加會削弱粘性阻尼影響;

(3)由所給參數(shù)平面內(nèi)干摩擦振子的粘滑邊界線方程知，粘滑邊界線受粘性阻尼影響較大，粘性阻尼增加能縮小純滑動參數(shù)區(qū)域;頻率比較小時影響更明顯。當粘性阻尼較小時，粘滑邊界線在奇次分數(shù)倍頻處存在局部極小值，出現(xiàn)凹凸轉(zhuǎn)換特征。

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