張華彪，陳予恕

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001;2.中國科學(xué)院 工程熱物理研究所，北京 100190)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械在工程中有非常廣泛的應(yīng)用。為了提高旋轉(zhuǎn)機(jī)械的性能，轉(zhuǎn)靜件之間的間隙被設(shè)計(jì)得越來越小，從而使得系統(tǒng)發(fā)生碰摩可能性的越來越大。轉(zhuǎn)靜碰摩可能導(dǎo)致葉片斷裂、轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，甚至造成嚴(yán)重的運(yùn)行事故。

通常發(fā)生在轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的碰摩有兩種:全周碰摩和局部碰摩。相比于局部碰摩，全周碰摩發(fā)生時(shí)轉(zhuǎn)子和靜子出現(xiàn)連續(xù)的接觸，具有較大的危害性。全周碰摩也可以分為兩類:同步全周碰摩和反向全周碰摩。同步全周碰摩是由轉(zhuǎn)子不平衡導(dǎo)致的受迫振動(dòng)，發(fā)生時(shí)轉(zhuǎn)子與靜子的接觸比較輕微，危險(xiǎn)性相對(duì)較小。反向全周碰摩是一種自激振動(dòng)，其振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)靜間隙，發(fā)生時(shí)可能導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的嚴(yán)重破壞［1］。

國內(nèi)外學(xué)者在轉(zhuǎn)子的反向全周碰摩方面做了大量的研究工作。Black［2］研究了反向全周碰摩發(fā)生的臨界條件。Crandall［3］對(duì) Black的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)子半徑和轉(zhuǎn)靜間隙之比很小的情況下理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)分析吻合的非常好。Lingener［4］指出轉(zhuǎn)子在特定轉(zhuǎn)速下，受到外界擾動(dòng)后可能會(huì)出現(xiàn)反向全周碰摩。Zhang［5］給出了反向全周碰摩發(fā)生的的臨界速度，當(dāng)轉(zhuǎn)子受到一個(gè)反向擾動(dòng)，如果接觸速度大于臨界速度，轉(zhuǎn)子將會(huì)失穩(wěn)進(jìn)入反向全周碰摩。Bently等［6-7］發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)子半徑與間隙之比較大時(shí)，沒有外界擾動(dòng)，同樣會(huì)出現(xiàn)反向全周碰摩。他們通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了另一條通向反向全周碰摩的路徑:無碰摩運(yùn)動(dòng)→同步全周碰摩→局部碰摩→反向全周碰摩。Yu、Muszynska等［8-9］通過實(shí)驗(yàn)和解析討論了不平衡量、摩擦系數(shù)、阻尼等等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)同步全周碰摩運(yùn)動(dòng)向反向全周碰摩轉(zhuǎn)化的影響。Jiang等［10-11］采用解析方法研究了轉(zhuǎn)子反向全周碰摩的存在條件和轉(zhuǎn)子在不平衡激勵(lì)下出現(xiàn)反向全周碰摩的臨界轉(zhuǎn)速。Jiang等［12］研究了一個(gè)轉(zhuǎn)子-靜子耦合系統(tǒng)反向全周碰摩的響應(yīng)特性，求得了反向全周碰摩的頻率和存在邊界。Dai等［13］研究了作大幅度進(jìn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子與限制器碰摩的反向全周碰摩。Wilkes等［14］考慮了轉(zhuǎn)子和機(jī)匣碰摩的非線性接觸力，通過實(shí)驗(yàn)和仿真研究了反向全周碰摩的多重模態(tài)振動(dòng)。

現(xiàn)有的關(guān)于反向全周碰摩的研究工作大都針對(duì)線性剛度轉(zhuǎn)子，而在現(xiàn)代轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)中，越來越多的非線性因素被考慮進(jìn)去，如滾動(dòng)軸承的赫茲接觸力，滑動(dòng)軸承和擠壓油膜阻尼器的油膜力等等。同時(shí)在反向全周碰摩發(fā)生時(shí)，由于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的變形很大，也會(huì)表現(xiàn)出一定的非線性，因此研究非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的反向全周碰摩響應(yīng)更具有工程價(jià)值。

本文對(duì)一個(gè)具有非線性剛度的單盤轉(zhuǎn)子的反向全周碰摩進(jìn)行研究，通過解析和數(shù)值計(jì)算討論了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非線性轉(zhuǎn)子反向全周碰摩響應(yīng)和存在性的影響，以期對(duì)轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)提供一定的理論支持。

1 非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩反向全周碰摩的運(yùn)動(dòng)方程

圖1 非線性剛度的單盤轉(zhuǎn)子模型Fig.1 The single disc rotor with nonlinear stiffness

其中:c是系統(tǒng)阻尼，k和α分別是轉(zhuǎn)子的線性和非線性剛度系數(shù)，e是轉(zhuǎn)子的偏心量，碰摩力由線性接觸力和庫倫摩擦力組合而成的(見圖2)，有:

圖2 碰摩力模型Fig.2 The model of rubbing forces

其中:vr表示碰摩點(diǎn)處的相對(duì)速度，有vr=ωrdisc+ωwr，ω是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，ωw是轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)角速度，rdisc是轉(zhuǎn)子圓盤的半徑，r0表示轉(zhuǎn)靜間隙，μ是庫倫摩擦系數(shù)，kb為接觸剛度。對(duì)方程進(jìn)行無量綱化，取X=x/r0，Y=y/r0和新的時(shí)間尺度τ=ω0t，可得:

她看了那雙眼睛一下。她幾乎沒有一點(diǎn)表情。她甚至可能和原來沒有我的出現(xiàn)時(shí)一樣地照常做著她應(yīng)該去做的事。她讓我感覺到了我的多余。在這個(gè)世界上，我已經(jīng)成了一個(gè)地地道道的多余者了。

其中:

無量綱形式的碰摩力可寫作:

其中:

2 非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩反向全周碰摩的數(shù)值仿真

對(duì)方程(3)進(jìn)行數(shù)值仿真，圖3～5分別給出了在β=0.05和β=0時(shí)系統(tǒng)升降速的幅頻曲線和三維譜圖。圖6給出了Bently等［6-7］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。顯然，相比于線性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，本文所研究的非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)果從定性特征上與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加接近，這說明在轉(zhuǎn)子反向全周碰摩的研究中考慮非線性因素的影響是有必要的。

圖7分別給出了非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和其對(duì)應(yīng)線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)反向全周碰摩的軸心軌跡、頻譜和碰摩點(diǎn)處相對(duì)速度隨時(shí)間的變化，可以看到非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和其對(duì)應(yīng)線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)反向全周碰摩從運(yùn)動(dòng)形式上看是非常相似的，運(yùn)動(dòng)的軸心軌跡都是圓，進(jìn)動(dòng)方向與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方向反向，但是渦動(dòng)時(shí)接觸點(diǎn)的相對(duì)速度隨時(shí)間的變化有著明顯的不同，線性系統(tǒng)在接觸點(diǎn)的相對(duì)速度近似于零，而非線性系統(tǒng)在接觸點(diǎn)的相對(duì)速度是恒大于零的。文獻(xiàn)［11］對(duì)線性轉(zhuǎn)子的反向全周碰摩做了詳細(xì)的描述，指出線性轉(zhuǎn)子的反向全周碰摩是由于接觸點(diǎn)相對(duì)速度方向的改變導(dǎo)致摩擦力方向的改變而產(chǎn)生的。轉(zhuǎn)子受到大的擾動(dòng)發(fā)生碰摩，開始時(shí)振幅較小有Vr=RdiscΩ+RΩw＞0，摩擦力方向和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。在干摩擦的作用下，轉(zhuǎn)子開始做反進(jìn)動(dòng)，同時(shí)振幅將不斷增大。振幅增大到一定程度，當(dāng)Vr=RdiscΩ+RΩw＜0時(shí)，摩擦力的方向發(fā)生改變，和轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同。此時(shí)轉(zhuǎn)子的反進(jìn)動(dòng)無法通過干摩擦效應(yīng)獲取能量，在阻尼的作用下振幅將會(huì)減小。當(dāng)干摩擦輸入的能量和阻尼消耗的能量達(dá)到一個(gè)平衡時(shí)，系統(tǒng)就出現(xiàn)了穩(wěn)定的反向全周碰摩運(yùn)動(dòng)。對(duì)于線性轉(zhuǎn)子，如果假設(shè)Rdisc→∞(即摩擦力方向恒與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反)，系統(tǒng)的振幅將趨于無窮。對(duì)于本文所研究的非線性剛度的轉(zhuǎn)子，顯然圖7(b)中所示的反向全周碰摩過程中摩擦力的方向并沒有發(fā)生改變。因此雖然表現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)形式相似，但圖7所示的非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)反向全周碰摩的本質(zhì)是有區(qū)別的。

圖3 系統(tǒng)在升降速時(shí)的三維瀑布圖(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20，β =0.05)Fig.3 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down

圖4 系統(tǒng)在升降速時(shí)的三維瀑布圖(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20，β =0)Fig.4 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down

圖 5 系統(tǒng)在升降速時(shí)的幅頻曲線(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20)Fig.5 The frequency-amplitude curve at the rotor’s run-up and run-down

圖6 Bently等［6-7］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Test result of Bently et al［6-7］

圖 7 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩反向全周碰摩響應(yīng)的數(shù)值仿真(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0，Rdise=20，Ω =1.3，初值(5，0，0，0))Fig.7 Numerical simulation of reverse full annular rub motion

3 反向全周碰摩的解析解

文獻(xiàn)［8］指出外激勵(lì)不是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)反向全周碰摩的必要條件，圖7中數(shù)值計(jì)算的結(jié)果也印證了這一點(diǎn)，因此為了簡(jiǎn)單起見，忽略方程(3)中的外激勵(lì)項(xiàng)。設(shè)系統(tǒng)反向全周碰摩的解為:

考慮到反向全周碰摩響應(yīng)的特征，反向全周碰摩解應(yīng)滿足約束條件A≥1，Ωw＜0。

考慮到反向全周碰摩的振幅很大，系統(tǒng)的非線性項(xiàng)不能認(rèn)為是小項(xiàng)，根據(jù)基于同倫分析的平均法［16］，有:

令A(yù)'=0，θ'=0，可得系統(tǒng)定常解的表達(dá)式為:

其中式(11)可寫為:

顯然可能存在的反向全周碰摩的頻率可以看做是接觸情況下碰摩系統(tǒng)的等效線性頻率。由式(10)、(11)可以看到當(dāng)Vr＜0時(shí)，系統(tǒng)不存在滿足約束條件的解;當(dāng)Vr＞0時(shí)，系統(tǒng)存在兩組(圖中曲線d-e和d-b所示)滿足約束條件的解。為了確定哪一組解是真實(shí)存在的，有必要對(duì)解的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。

圖8 摩擦系數(shù)對(duì)反向全周碰摩振幅的影響Fig.8 Influence of friction coefficient on the amplitude of reverse full annular rub

4 反向全周碰摩解的穩(wěn)定性

為了判斷反向全周碰摩解的穩(wěn)定性，對(duì)式(7)做小擾動(dòng)有:

其中:

這樣，系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為周期系數(shù)系統(tǒng)(14)的零解穩(wěn)定性問題。周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常采用Floquet理論進(jìn)行判斷，但是計(jì)算Floquet乘子矩陣的解析表達(dá)式是很困難的。下面將采用一種近似方法［16］求取Floquet乘子矩陣的表達(dá)式。

Floquet乘子Φ的近似表達(dá)式如下:

根據(jù)Floquet理論，式(14)的零解穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)其所對(duì)應(yīng)的Floquet乘子矩陣Φ的所有特征值的模小于1。通過穩(wěn)定性計(jì)算可知圖8中d-e段曲線是不穩(wěn)定的，d-b段曲線是穩(wěn)定的。d-b段曲線表示的就是圖7(b)所示的反向全周碰摩運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)從本質(zhì)上說是干摩擦和轉(zhuǎn)子非線性剛度共同作用的結(jié)果。與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的摩擦力將導(dǎo)致轉(zhuǎn)子反進(jìn)動(dòng)振幅的增大，同時(shí)非線性剛度使得轉(zhuǎn)子受到的回復(fù)力也迅速的增大，回復(fù)力的增大反過來限制了振幅的增長，當(dāng)兩方面的作用達(dá)到平衡時(shí)，系統(tǒng)就出現(xiàn)了圖7(b)所示的反向全周碰摩運(yùn)動(dòng)。

同時(shí)我們對(duì)Vr=0附近系統(tǒng)的響應(yīng)很感興趣?？紤]到系統(tǒng)的反向全周碰摩響應(yīng)軌跡為圓，可以假定系統(tǒng)的振幅和頻率恒滿足式(12)，將式(12)代入到方程(8)中有:

圖8中系統(tǒng)的定常解和Vr=0將參數(shù)平面分成三個(gè)區(qū)域，下面分別討論各區(qū)域內(nèi)A'的符號(hào)來確定Vr=0附近系統(tǒng)的響應(yīng)。對(duì)于區(qū)域Ⅰ，有Vr＜0，因此有:

對(duì)于區(qū)域Ⅱ，有Vr＞0，同時(shí)有:

對(duì)于區(qū)域Ⅲ，有Vr＞0，同時(shí)

在直線b-c上，有Vr=0，因此:

定義直線b-c所對(duì)應(yīng)的振幅大小為Ac，當(dāng)擾動(dòng)使得系統(tǒng)的響應(yīng)接近b-c直線時(shí)，如果響應(yīng)大于等于Ac，由于A'＜0，振幅將會(huì)減小;響應(yīng)小于Ac，由于A'＞0，振幅將會(huì)增大。這時(shí)系統(tǒng)的振幅在Ac附近不斷的振蕩(如圖9所示)，由于振蕩的幅度很小，從宏觀上表現(xiàn)出類似于周期運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式，但由于此處不存在穩(wěn)定的周期解，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式不可能是周期運(yùn)動(dòng)，這就是通常所說的摩擦力改變導(dǎo)致的反向全周碰摩。

圖9 反向渦動(dòng)響應(yīng)的振幅在Ac附近不斷的震蕩Fig.9 The amplitude of dry friction whirl nearby Ac

5 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響

圖10～13給出了轉(zhuǎn)靜摩擦系數(shù)、接觸剛度、系統(tǒng)阻尼和轉(zhuǎn)速對(duì)反向全周碰摩振幅和頻率的影響，其中實(shí)線表示非線性剛度導(dǎo)致的穩(wěn)定的反向全周碰摩解;虛線表示不穩(wěn)定解;點(diǎn)劃線表示摩擦力方向改變導(dǎo)致的反向全周碰摩，三角形表示數(shù)值計(jì)算的結(jié)果?？梢钥吹侥Σ亮Ψ较蚋淖儗?dǎo)致的反向全周碰摩的振幅和頻率隨轉(zhuǎn)速的增大而增大，與轉(zhuǎn)靜接觸剛度、摩擦系數(shù)、系統(tǒng)阻尼無關(guān)。而非線性剛度引起的反向全周碰摩隨碰摩接觸剛度、摩擦系數(shù)的增大而增大，隨著系統(tǒng)阻尼的增大而減小，與系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的變化無關(guān)。因此在工程設(shè)計(jì)中，增大系統(tǒng)阻尼，減小碰摩接觸剛度和轉(zhuǎn)靜之間的摩擦系數(shù)都可以減小反向全周碰摩的振幅。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果很好地驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖10 轉(zhuǎn)靜摩擦系數(shù)對(duì)反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.10 Influence of friction coefficient on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖11 轉(zhuǎn)靜接觸剛度對(duì)反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.11 Influence of contact stiffiness on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖12 系統(tǒng)阻尼對(duì)反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.12 Influence of damping on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖13 轉(zhuǎn)速對(duì)反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.13 Influence of rotation speed on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖14 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)反向全周碰摩存在性的影響Fig.14 Influence of system parameters on the existence of reverse full annular rub

同時(shí)可以看到對(duì)應(yīng)某些系統(tǒng)參數(shù)，不存在穩(wěn)定的反向全周碰摩響應(yīng)。在實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，如果將系統(tǒng)參數(shù)選擇在這些區(qū)域，就可以避免反向全周碰摩的出現(xiàn)。圖14給出了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)反向全周碰摩存在性的影響，其中陰影部分表示反向全周碰摩不存在的區(qū)域。

6 結(jié)論

本文通過解析和數(shù)值方法對(duì)非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩的反向全周碰摩響應(yīng)進(jìn)行研究，取得了如下成果:

(1)通過數(shù)值計(jì)算結(jié)果和前人實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，認(rèn)為在反向全周碰摩的研究中，考慮轉(zhuǎn)子的非線性的影響是有必要的。

(2)發(fā)現(xiàn)非線性轉(zhuǎn)子和線性轉(zhuǎn)子的反向全周碰摩是不同的。非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)既存在摩擦力方向改變引起的反向全周碰摩，同時(shí)轉(zhuǎn)子的非線性和干摩擦的共同作用也能導(dǎo)致系統(tǒng)的反向全周碰摩響應(yīng)，這種反向全周碰摩是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。

(3)討論了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)反向全周碰摩響應(yīng)和存在性的影響，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了一定的理論支持。

［1］ Yu J J.On occurrence of reverse full annular rub ［J］.Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2012，134:012505.

［2］Black H F.Interaction of a whirling rotor with a vibrating stator across a clearance annulus［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，1968，10(1):1-12.

［3］Crandall S.From whirl to whip in rotordynamics［C］//Transactions of IFToMM 3rd International Conference on Rotordynamics.Lyon，F(xiàn)rance:IFToMM，1990:19-26.

［4］Lingener A.Experimental investigation of reverse whirl of a flexible rotor［C］//Transactions of IFToMM 3rd International Conference on Rotordynamics.Lyon:IFToMM，1990:13-18.

［5］Zhang W.Dynamic instability of multi-degree-of-freedom flexible rotorsystemsdue to fullannularrub ［J］.International Mechanical Engineering，1988，252(88):305-308.

［6］ Bently D E，Yu J J，Goldman P.Full annular rub in mechanicalseals， partI:experimentresults ［C］//ISROMAC-8 Conference，Honolulu，Hawaii，March 2000:995-1002.

［7］ Bently D E，Yu J J，Goldman P.Full annular rub in mechanical seals，part II:analytical study［C］//ISROMAC-8Conference， Honolulu， Hawaii， March2000:1003-1010.

［8］ Yu J J，Goldman P，Bently D E.Rotor/seal experimental and analytical study on full annular rub［J］.ASME Journal of Engineering Gas Turbine Power，2002，124:340-350.

［9］Muszynska A. Rotordynamics ［M］. Florida:CRC Press，2005.

［10］ Jiang J.The analytical solution and the existence condition of dry friction backward whirl in rotor-to-stator contact systems［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2007，129(2):260-264.

［11］ Jiang J，Ulbrich H.The physical reason and the analytical condition for the onset of dry whip in rotor-to-stator contact systems［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2005，127(6):594-603.

［12］ Jiang J，Shang Z Y，Hong L.Characteristics of dry friction backward whirl-A self-excited oscillation in rotor-to-stator contact systems［J］.Science China Technological Sciences，2010，53(3):674-683.

［13］ Dai X J，Dong J P.Self-excited vibrations of a rigid rotor rubbing with the motion-limiting stop ［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2005，47(10):1542-1560.

［14］ Wilkes J C，Childs D W，Dyck B J，et al.The numerical and experimental characteristics of multimode dry-friction Whip and Whirl［J］.Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2010，132(5):052503.

［15］劉延彬.強(qiáng)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的若干分岔與混沌問題研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.

［16］韓茂安，顧圣士.非線性系統(tǒng)的理論和方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.