李傳兵，伍 村，胡玉梅，，彭 紅，劉 進(jìn)

(1.汽車噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400039;2.重慶大學(xué)，機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

前言

單根多楔帶傳動(dòng)廣泛應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)的前端輪系中，用來(lái)驅(qū)動(dòng)發(fā)電機(jī)、空調(diào)和轉(zhuǎn)向助力泵等附屬設(shè)備。這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)主要特點(diǎn)是引入了一個(gè)自動(dòng)張緊器，能自動(dòng)補(bǔ)償張力的損失，使帶段中的張力保持穩(wěn)定，以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

單根多楔帶傳動(dòng)系統(tǒng)在過(guò)去20年中被廣泛應(yīng)用，對(duì)其振動(dòng)的研究很多，大多只考慮帶輪的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)［1-3］，采用比較簡(jiǎn)單的離散模型。但也有學(xué)者開(kāi)始采用更精確的模型，除帶輪旋轉(zhuǎn)振動(dòng)外，還研究帶的橫向振動(dòng)和連續(xù)帶與離散輪之間的耦合振動(dòng)［4-6］。以上模型都把帶簡(jiǎn)化為弦，但近年來(lái)，已有人將帶簡(jiǎn)化為縱向運(yùn)動(dòng)的伯努利-歐拉梁，建立了輪-帶梁耦合振動(dòng)模型［7-8］。

在特征值靈敏度方面，文獻(xiàn)［9］中基于文獻(xiàn)［4］建立的模型與求解方法，推導(dǎo)了便于直接求解的系統(tǒng)固有頻率對(duì)于張緊機(jī)構(gòu)各設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度控制方程。文獻(xiàn)［10］中推導(dǎo)了一個(gè)N輪多楔帶傳動(dòng)系統(tǒng)的特征值靈敏度的通用表達(dá)式，然后在坐標(biāo)轉(zhuǎn)化中加入路徑搜索以提高搜索效率，并以帶段橫向位移和帶輪振動(dòng)角位移最小為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的優(yōu)化。結(jié)果表明，優(yōu)化后系統(tǒng)振動(dòng)明顯減小。文獻(xiàn)［11］中基于文獻(xiàn)［5］建立的模型與求解方法，推導(dǎo)了多楔帶傳動(dòng)系統(tǒng)的頻率對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度的顯式表達(dá)式。以上的特征值靈敏度分析僅限于輪-帶弦耦合模型，但弦耦合模型(不能考慮帶的彎曲剛度)不能很好地描述多楔帶傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題［8］，使靈敏度分析也有其局限性。本文中基于輪-帶梁耦合振動(dòng)模型［7-8］，利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的矩陣攝動(dòng)理論，推導(dǎo)了系統(tǒng)的固有頻率對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度的顯式表達(dá)式，并應(yīng)用到文獻(xiàn)［8］的三輪系統(tǒng)中，計(jì)算了其1階固有頻率隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化。本文中的靈敏度分析可以揭示系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響，對(duì)解決相關(guān)振動(dòng)和噪聲問(wèn)題具有很好的指導(dǎo)意義。

1 系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立

一個(gè)典型的三輪多楔帶傳動(dòng)模型如圖1所示，此模型包含驅(qū)動(dòng)輪1、張緊輪2、從動(dòng)輪3、張緊臂4和單根多楔帶等元件。圖中:ui和wi(i=1，2，3)分別為帶段的縱向位移和橫向位移，均為時(shí)間t和位置xi的函數(shù)，xi為帶張緊時(shí)各帶段起點(diǎn)至終點(diǎn)的位置坐標(biāo)，其范圍(0，li);li，θi，Ji和 ri分別為帶段的長(zhǎng)度、帶輪的旋轉(zhuǎn)角位移、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和半徑;rt，Jt，θt和Kt分別為張緊臂的臂長(zhǎng)、繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、旋轉(zhuǎn)角位移和張緊器彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度;c為帶的縱向速度;表示帶段下標(biāo)i的設(shè)定:1為輪1與輪2之間的帶段;2為輪2與輪3之間的帶段;3為輪3與輪1之間的帶段。帶段1和帶段2與張緊臂的夾角分別為 β1和 β2。

本文中將帶段看作是縱向運(yùn)動(dòng)的伯努利-歐拉梁，假設(shè)帶以準(zhǔn)靜態(tài)方式伸縮;帶段物理性質(zhì)各向一致;輪-帶間無(wú)滑動(dòng)，各帶輪和張緊臂均看成是剛體。依據(jù)以上的假設(shè)，應(yīng)用Hamilton原理和牛頓第二定律，對(duì)帶段和各旋轉(zhuǎn)件建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程［8］。

各帶段的運(yùn)動(dòng)方程為

式中:m為帶的線密度;EI為帶的彎曲剛度;Pi和?Pi分別為帶段的穩(wěn)態(tài)張力和動(dòng)態(tài)張力。

各帶輪的運(yùn)動(dòng)方程為

再利用伽遼金法［8］將帶的橫向位移分離為時(shí)間函數(shù)和空間函數(shù)乘積求和形式，選擇的空間基函數(shù)為正弦函數(shù)。Ni表示帶段i所選基函數(shù)的數(shù)目，本文取Ni=6，則各帶段橫向位移可表示為

為了后面靈敏度表達(dá)式的簡(jiǎn)潔，設(shè)

將式(7)代入式(1)～式(5)系統(tǒng)方程中并寫成矩陣形式:

對(duì)式(9)矩陣方程應(yīng)用復(fù)模態(tài)理論可求解系統(tǒng)的固有特性和位移響應(yīng)。

2 特征值靈敏度分析

本文中在靈敏度表達(dá)式推導(dǎo)中考慮帶速為0的情況，而帶速不為0的情況其方法也相同。當(dāng)系統(tǒng)某設(shè)計(jì)參數(shù)κ發(fā)生小變化時(shí)，可通過(guò)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的改變反映出來(lái)。假設(shè)參數(shù)κ發(fā)生改變后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為

式中:ε為一個(gè)小參數(shù);M0和K0分別為原系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;εM1和εK1分別為參數(shù)κ發(fā)生小變化引起的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的變化。根據(jù)文獻(xiàn)［12］可得到系統(tǒng)特征值1階攝動(dòng)如下:

式中:εK1/Δκ和εM1/Δκ可表示為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣對(duì)參數(shù) κ 求偏導(dǎo)，即 ?K/?κ 和 ?M/?κ，因此特征靈敏度可表示為

式中:K'表示剛度矩陣對(duì)參數(shù)κ求偏導(dǎo);M'表示質(zhì)量矩陣對(duì)參數(shù) κ 求偏導(dǎo)，即 ?K/?κ 和 ?M/?κ。其中κ是具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)和力學(xué)參數(shù)，即本文中張緊臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、扭轉(zhuǎn)剛度和張緊臂的長(zhǎng)度等參數(shù)。

根據(jù)式(12)就可方便地求出系統(tǒng)第i階固有頻率對(duì)某參數(shù)κ的靈敏度。下面將給出系統(tǒng)第i階固有頻率對(duì)具體結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度顯式表達(dá)式。

觀察剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，可發(fā)現(xiàn)張緊器無(wú)量綱剛度ks僅與剛度矩陣有關(guān)。系統(tǒng)第i階固有頻率對(duì)張緊器剛度ks的靈敏度μ|ks可表示為

系統(tǒng)第i階固有頻率對(duì)張緊臂長(zhǎng)度rt的靈敏度計(jì)算公式為

3 算例

3.1 固有特性計(jì)算

本文中系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立采用文獻(xiàn)［8］的方法，在正確模型的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了式(13)～式(15)特征值靈敏度的顯式表達(dá)式。為了驗(yàn)證本文對(duì)文獻(xiàn)［8］中模型數(shù)值計(jì)算的正確性，對(duì)該三輪模型的固有頻率進(jìn)行了計(jì)算和對(duì)比。三輪系統(tǒng)的參數(shù)［8］見(jiàn)表1。

表1 3個(gè)帶輪相關(guān)參數(shù)

圖2是本文中計(jì)算的各階固有頻率隨帶的彎曲剛度的變化曲線與文獻(xiàn)［8］中曲線的對(duì)比。由圖可見(jiàn)，它們吻合良好，說(shuō)明本文對(duì)文獻(xiàn)［8］中模型數(shù)值計(jì)算的正確性。

表2是帶的無(wú)量綱彎曲剛度為0.05時(shí)系統(tǒng)前6階的固有頻率，圖3是系統(tǒng)前4階的陣型。從圖3中可以看出帶的橫向振動(dòng)與帶輪的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)始終是耦合的，這與實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)輪系的振動(dòng)是吻合的［8］。而弦耦合模型，則存在橫向振動(dòng)占優(yōu)、旋轉(zhuǎn)振動(dòng)占優(yōu)和耦合振動(dòng)3種類型模態(tài)［6］，耦合振動(dòng)耦合度不高。因此，梁耦合模型相對(duì)于弦耦合模型更能揭示發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際的振動(dòng)情況。

表2 系統(tǒng)的前6階固有頻率

3.2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)靈敏度計(jì)算的影響

本文中在推導(dǎo)式(13)～式(15)時(shí)忽略了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，一方面是因?yàn)榉€(wěn)態(tài)響應(yīng)隨參數(shù)的變化值不大，另一方面是因?yàn)橥茖?dǎo)時(shí)穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)無(wú)法用顯式表達(dá)式表達(dá)。這是因?yàn)榉€(wěn)態(tài)響應(yīng)方程［7］包含微分方程、代數(shù)方程和積分方程，難以與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的線性矩陣方程［8］直接組合在一起，只能把穩(wěn)態(tài)過(guò)程當(dāng)成一個(gè)常量，對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行特征靈敏度分析。

為了說(shuō)明穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)本文中計(jì)算的靈敏度影響不大，在此計(jì)算了帶段1和帶段3的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨張緊器彈簧扭轉(zhuǎn)剛度Kr、張緊臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jt和張緊臂長(zhǎng)度rt的變化曲線，如圖4～圖6和表3所示。

圖4～圖6和表3均說(shuō)明，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨各參數(shù)的變化值確實(shí)不大，推導(dǎo)時(shí)忽略了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響是合理的。

3.3 靈敏度計(jì)算

系統(tǒng)的低階頻率通常是關(guān)注的重點(diǎn)，因此本文中將通過(guò)計(jì)算第1階固有頻率對(duì)張緊器彈簧扭轉(zhuǎn)剛度Kr、張緊臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jt和張緊臂長(zhǎng)度rt等的靈敏度，從而總結(jié)第1階固有頻率隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。同時(shí)，為了驗(yàn)證推導(dǎo)的靈敏度公式的正確性，對(duì)計(jì)算的1階固有頻率隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化曲線通過(guò)差分方法［10］得到系統(tǒng)的靈敏度曲線與本文中推導(dǎo)的式(13)～式(15)靈敏度顯式表達(dá)式得到的曲線進(jìn)行了對(duì)比，如圖7～圖9所示。

表3 各參數(shù)對(duì)帶段1、3穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響

由圖7可見(jiàn)，第1階固有頻率對(duì)張緊器扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度始終為正數(shù)，說(shuō)明固有頻率始終隨張緊器扭轉(zhuǎn)剛度的增大而增大，這與圖中帶“o”的曲線所表達(dá)的趨勢(shì)一致;固有頻率對(duì)于張緊器扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度隨張緊器剛度的增大而減小，說(shuō)明固有頻率隨張緊器剛度的增大而增大的趨勢(shì)在逐漸減小。

由圖8可見(jiàn):靈敏度始終為負(fù)值，與圖中第1階固有頻率逐漸下降對(duì)應(yīng)，且下降的變化率是一條類似二次開(kāi)口向上的拋物線。

從圖7～圖9中差分法得到的靈敏度曲線與靈敏度顯式表達(dá)式得到的靈敏度曲線不重合與各參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響分析對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，本文中推導(dǎo)的靈敏度公式有誤差是由于忽略穩(wěn)態(tài)響應(yīng)引起的(主要在圖9中)，且誤差的大小與此參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響大小呈正比，這從對(duì)比圖7～圖9中的曲線與表3中的數(shù)據(jù)可看出。

4 結(jié)論

(1)建立了輪-帶梁耦合振動(dòng)模型，通過(guò)攝動(dòng)分析，給出了用設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算固有頻率的通用表達(dá)式，然后推導(dǎo)了系統(tǒng)固有頻率對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度的顯式表達(dá)式。

(2)計(jì)算了梁模型前4階的固有模態(tài)，計(jì)算結(jié)果表明梁模型中帶的橫向振動(dòng)和輪的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)始終是耦合的，而弦模型中僅與張緊輪相鄰的帶段與輪是耦合的，因此兩模型的振動(dòng)形式是不同的。

(3)通過(guò)靈敏度曲線分析了固有頻率隨某些設(shè)計(jì)參數(shù)而變化的規(guī)律，并通過(guò)各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析，解釋了本文中推導(dǎo)的靈敏度表達(dá)式存在誤差的原因。

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