黃 強(qiáng) 張根保 王 健

1.重慶理工大學(xué)，重慶，400054 2.重慶大學(xué)，重慶，400044 3.四川普什寧江機(jī)床有限公司，都江堰，611830

0 引言

機(jī)械產(chǎn)品的公差設(shè)計(jì)質(zhì)量是影響其功能、質(zhì)量及成本的決定性因素［1］。隨著計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)（CAT）的出現(xiàn)和發(fā)展，利用計(jì)算機(jī)建模進(jìn)行公差分析、公差綜合以及公差優(yōu)化的研究和應(yīng)用工作已在國(guó)際范圍內(nèi)展開并取得了顯著的成效。在這些研究與應(yīng)用中，各種公差建模思想和表示形式在不同的應(yīng)用目標(biāo)下各有所長(zhǎng)［2－7］。在現(xiàn)代企業(yè)中，CAD／CAE／CAPP／CAM 已逐步趨于集成。為了與企業(yè)現(xiàn)有產(chǎn)品開發(fā)系統(tǒng)相適應(yīng)，國(guó)內(nèi)針對(duì)三維造型體的公差建模研究也逐漸增多，這類建模主要基于數(shù)學(xué)定義或小位移旋量［8－10］。產(chǎn)品的公差設(shè)計(jì)是面向功能的設(shè)計(jì)。目前，面向功能的公差設(shè)計(jì)研究往往以可裝配性為目標(biāo)。在機(jī)床精度設(shè)計(jì)中，機(jī)床輸出精度是一項(xiàng)必須保障的最終功能目標(biāo)。機(jī)床系統(tǒng)的最終輸出精度在很大程度上取決于機(jī)床零部件的公差設(shè)計(jì)，在零部件的公差語(yǔ)義中增加對(duì)系統(tǒng)精度的作用屬性，就可以通過數(shù)字化方法分析相關(guān)公差項(xiàng)目對(duì)系統(tǒng)精度的約束效應(yīng)，為機(jī)床公差設(shè)計(jì)提供直接依據(jù)。基于這一目標(biāo)，本文以機(jī)床總裝中最常見的安裝接觸表面——平面要素為例，分析并完善其在裝配系統(tǒng)中的公差語(yǔ)義，并建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

1 對(duì)TTRS的公差語(yǔ)義需求

1.1 需求分析

零件由各種類型的表面圍成，這些表面的不同功用決定了它們加工要求的不同。Bourbet于1987年提出了“與工藝和拓?fù)湎嚓P(guān)表面”（topologically and technologically related surface，TTRS）的概念，之后逐步發(fā)展成為目前較為成熟且應(yīng)用廣泛的一種公差表示方法。TTRS的定義如下：一個(gè)TTRS是同一實(shí)體上因功能原因而彼此聯(lián)系的表面。因此，應(yīng)用TTRS理論可較好地表示零件層面的公差信息，也為在裝配層面中確定與該零件相關(guān)的公差拓?fù)潢P(guān)系提供了條件。在對(duì)系統(tǒng)精度的定量分析及公差設(shè)計(jì)中，還存在對(duì)基于TTRS的公差語(yǔ)義及其數(shù)學(xué)模型新的需求。下面舉例說明。

圖1為某機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖，為敘述簡(jiǎn)明，圖中略去部分部件如工作臺(tái)、導(dǎo)軌等。下標(biāo)1、2、3、4分別表示床身、立柱、主軸箱及主軸，相鄰部件的接觸此處視為廣義配合。在整機(jī)層公差設(shè)計(jì)中，將每一個(gè)部件視為一個(gè)誤差單元，即公差控制對(duì)象。其公差數(shù)字化分析及設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要方案如圖2所示。

圖1 某機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 機(jī)床系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)方案簡(jiǎn)圖

（1）建立機(jī)床在整機(jī)層面上的數(shù)字化誤差模型。機(jī)床誤差建模基于多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和齊次坐標(biāo)變換原理［11］，在裝配層面上，模型能準(zhǔn)確反映機(jī)床各個(gè)部件之間的幾何位置、姿勢(shì)、運(yùn)動(dòng)關(guān)系以及誤差傳遞規(guī)律。該模型是計(jì)算機(jī)輔助系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)的核心，將用于機(jī)床誤差單元的敏感性分析、公差控制效果的數(shù)字化檢驗(yàn)以及單項(xiàng)公差對(duì)系統(tǒng)輸出精度的作用規(guī)律分析。

（2）機(jī)床誤差單元的敏感性分析。應(yīng)用前述模型，通過對(duì)誤差單元的六自由度誤差進(jìn)行單位誤差設(shè)定，可以預(yù)測(cè)分析各個(gè)誤差單元對(duì)機(jī)床輸出誤差的影響權(quán)重，尤其是在加工誤差敏感方向上的影響權(quán)重，從而為機(jī)床整機(jī)的公差分配及裝配調(diào)整提供重要依據(jù)。詳細(xì)的建模、分析方法以及對(duì)具體樣機(jī)的分析示例可參閱文獻(xiàn)［12］。

（3）公差制定。在該層面上，只對(duì)各個(gè)部件中的部分TTRS進(jìn)行公差限定，即針對(duì)影響機(jī)床整機(jī)輸出精度的裝配結(jié)合面。限于目前計(jì)算機(jī)智能及推理能力的發(fā)展水平，公差類型主要采用人工制定，如床身－立柱安裝面與工作臺(tái)－導(dǎo)軌安裝面之間的平行度、主軸軸線與主軸箱主軸輸出端面的垂直度等。確定這些公差大小的依據(jù)來源于以下三個(gè)方面：①誤差敏感性分析結(jié)果，越敏感的誤差制定越嚴(yán)格的公差；②企業(yè)現(xiàn)有工藝和加工設(shè)備的精度保障能力；③企業(yè)的公差設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)沉淀。

（4）公差控制效果檢驗(yàn)及公差調(diào)整。在完成公差的初步制定后，其控制效果是否滿足設(shè)計(jì)要求是未知的，必須對(duì)各項(xiàng)相關(guān)公差的積累控制效果進(jìn)行數(shù)字化預(yù)測(cè)檢驗(yàn)。如果預(yù)測(cè)檢驗(yàn)的結(jié)果不合格或者不理想，就需要結(jié)合敏感性分析的結(jié)果選擇公差調(diào)整對(duì)象并進(jìn)行針對(duì)性的調(diào)整，而確定調(diào)整量大小，則需要先分析該項(xiàng)公差對(duì)系統(tǒng)輸出精度的量化作用規(guī)律。這是一項(xiàng)人機(jī)交互式的循環(huán)工作，直到設(shè)計(jì)結(jié)果滿意為止。要完成這兩項(xiàng)工作，都需要相關(guān)TTRS的公差具有面向系統(tǒng)的語(yǔ)義及與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

1.2 TTRS的公差語(yǔ)義范疇

上述需求分析表明，TTRS的公差語(yǔ)義應(yīng)涵蓋兩個(gè)層面：

（1）零件層。零件層公差語(yǔ)義表達(dá)零件的自身屬性，即描述公差的原始定義，主要用于零件的加工工藝編制及檢驗(yàn)等工作，此處不再贅述。

（2）裝配層。裝配層公差語(yǔ)義表達(dá)該零件作為系統(tǒng)的一個(gè)環(huán)節(jié)而具有的屬性，即在系統(tǒng)中對(duì)其廣義配合件的作用輸出，因此也可稱之為對(duì)外作用語(yǔ)義。例如，設(shè)圖1中床身與立柱的結(jié)合表面為P，其公差為TP，則該公差的零件層語(yǔ)義是該平面的最大允許變動(dòng)范圍和方向。在功能層面或者說裝配層面上，該公差所控制的誤差對(duì)最終執(zhí)行主軸的作用效果，是在系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)中必須掌握的關(guān)鍵要素。平面P在公差范圍內(nèi)的變動(dòng)，通過部件2、3傳遞到主軸4，并最終導(dǎo)致主軸4偏離理論位置和姿勢(shì)（簡(jiǎn)稱位姿）而影響機(jī)床功能。公差TP的直接作用效應(yīng)是使部件2在六自由度上偏離其理想位姿，即沿X向、Y向和Z向的平移以及繞X軸、Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，本文用ΔX、ΔY、ΔZ、Δα、Δβ和Δγ表示，這一組輸出變量可定義為公差TP的對(duì)外作用語(yǔ)義。

在TTRS理論中，零件的TTRS被劃分為7個(gè)基本類，平面只是其中一類，本文選取機(jī)床總裝中最常見的安裝接觸表面——平面這一要素為對(duì)象，建立和探討其兩層語(yǔ)義對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2 平面公差的數(shù)學(xué)模型建立

2.1 建模原則

（1）“一般”到“特殊”的原則?？臻g直角坐標(biāo)系中，平面可分為坐標(biāo)面平行面、坐標(biāo)面垂直面和一般位置平面三種，前兩者為特殊位置平面。盡管特殊位置平面在零件中出現(xiàn)頻率更高，但由于一般位置平面更具代表性，故建模從“一般”狀態(tài)入手，“特殊”狀態(tài)由“一般”狀態(tài)退化而成。

（2）實(shí)用性原則。目前，零件的三維幾何造型技術(shù)及應(yīng)用已相當(dāng)普及，而幾何形體在原始造型時(shí)就攜帶公差信息的技術(shù)尚未進(jìn)入實(shí)用階段。為便于工程應(yīng)用，公差建模基于已完成造型零件的便于捕捉的幾何特征。

（3）統(tǒng)一性原則。平面要素盡管具有兩個(gè)層面的公差語(yǔ)義，但其數(shù)學(xué)模型應(yīng)涵蓋兩個(gè)層面。

（4）針對(duì)性原則。兩層公差語(yǔ)義有不同的適用場(chǎng)合，模型表達(dá)形式應(yīng)符合使用場(chǎng)合的需要。

2.2 平面的公差域及其數(shù)學(xué)表達(dá)

2.2.1 平面的公差域范疇及公差原則分析

對(duì)一個(gè)指定的平面，在不同情況下有不同的公差約束形式，如尺寸公差，相對(duì)其他要素（平面和直線）的平行度、垂直度、傾斜度、對(duì)稱度以及本身的平面度。公差域由4個(gè)要素決定，平面的公差域具有相同的形狀，所以不同的平面公差約束形式（項(xiàng)目）體現(xiàn)為位置、大小和方向的不同。

公差原則分成兩類：獨(dú)立原則和相關(guān)原則。盡管相關(guān)原則包含包容要求、最大實(shí)體要求、最小實(shí)體要求和可逆要求，但它們的公差域均是由尺寸公差和形位公差的包容或疊加而成的，可統(tǒng)一視為一個(gè)不同構(gòu)成的公差域。獨(dú)立原則由于是尺寸公差和形位公差單獨(dú)約束并檢驗(yàn)的，可劃入公差模型的兩次使用問題。

2.2.2 公差域的數(shù)學(xué)表達(dá)

公差域選擇基于點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。這樣選的原因如下：一是三點(diǎn)法是最基本的一種平面表示方式；二是三維造型體中的點(diǎn)坐標(biāo)最易捕捉。另外，在公差檢驗(yàn)，尤其是CMM（coordinate－measuring machine）測(cè)量中，點(diǎn)坐標(biāo)是最直接的檢測(cè)量。

圖3 平面公差的幾何模型示意圖

如圖3所示，一空間理想平面P，其總的公差要求為TP（上下界分別為PT1和PT2），并符合如下設(shè)定：①平面具有規(guī)則形狀，文中以矩形為例。平面被指定后，4個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)至少三點(diǎn)可捕捉（已知），其坐標(biāo)為Mi（xi，yi，zi），i＝1，2，3，用于表達(dá)該平面公差域的四要素。②公差TP為平面法向n上的總公差要求，包括尺寸公差、形位公差以及公差原則。其兩個(gè)極限邊界的形狀與平面P相同且到平面P的法向距離均為TP／2（其他情況可轉(zhuǎn)換為該模式）。

平面P的方向由法向矢量表示：

應(yīng)用點(diǎn)法式得平面P的理想位置方程為

按照平面公差的原始定義：實(shí)際平面P′應(yīng)包容在由理想平面P及其公差TP決定的極限平面PT1與PT2內(nèi)。平面公差的檢測(cè)一般基于“與理想要素相比較”的原則，在該原則下，該語(yǔ)義又可描述為實(shí)際平面P′上的所有點(diǎn)M′i（x′i，y′i，z′i）在法向n上的偏離量絕對(duì)值不超過TP／2。即

由式（1）、式（3）推導(dǎo)出P平面公差的兩個(gè)極限（上下界）平面方程：

式（1）～式（5）構(gòu)成了一般位置平面公差域的完整數(shù)學(xué)描述，同時(shí)也表達(dá)了該平面在零件層的公差語(yǔ)義，不僅可作為軟件量規(guī)直接應(yīng)用于平面公差的一致性檢驗(yàn)，也為公差的對(duì)外輸出特性求解提供了基礎(chǔ)。

變動(dòng)體法是一種利用底層CAD進(jìn)行系統(tǒng)公差分析與設(shè)計(jì)的方法［7］，是實(shí)現(xiàn)CAD／CAT／CAM集成的一種基礎(chǔ)解決方案。如果采用上述公差域描述形式，將更有利于變動(dòng)體的高效構(gòu)建。所謂高效構(gòu)建變動(dòng)體，是指零件表面中只有被公差約束的幾何要素發(fā)生局部變動(dòng)，即構(gòu)造局部變形體。例如，圖3零件中的平面P為公差約束表面，該零件的變動(dòng)是局部的且受公差TP約束，其變動(dòng)量直接體現(xiàn)為4個(gè)角點(diǎn)M1，M2，M3，M4的坐標(biāo)變化，變動(dòng)范圍的求解分為以下兩種情況：

（1）棱邊與平面P垂直。直接使用式（2）、式（3）；

（2）棱邊與平面P傾斜。需要進(jìn)行棱邊與極限平面PT1與PT2的求交運(yùn)算。

2.3 平面裝配層公差語(yǔ)義的數(shù)學(xué)表達(dá)

平面在裝配層的公差語(yǔ)義，應(yīng)準(zhǔn)確描述平面公差對(duì)廣義配合體的作用效應(yīng)。直觀地講，圖3中部件1的實(shí)際表面P在其上下界PT1與PT2內(nèi)變動(dòng)，必然導(dǎo)致其廣義配合體2偏離理想位姿，這一位姿變化可用其局部坐標(biāo)系的6個(gè)自由度變化輸出描述。

2.3.1 參量求解

在6個(gè)輸出參量中，三個(gè)線位移輸出的最大值ΔX、ΔY和ΔZ已由式（3）得到，這里還需要補(bǔ)充三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度輸出Δα、Δβ 和Δγ 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

如圖3所示，在平面P的中心建立局部坐標(biāo)系OiXiYiZi，Xi和Yi軸分別平行于矩形的兩條邊，Zi軸平行于平面法向量n。設(shè)矩形邊長(zhǎng)分別為2a和2b（也可由角點(diǎn)坐標(biāo)差表示），在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，平面法線n在公差TP范圍內(nèi)的最大轉(zhuǎn)動(dòng)偏移量為

式中，dθx、dθy和dθz分別為平面法矢量n與Xi、Yi和Zi軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)量。

從式（6）可以看出，該組參量的值取決于平面的大小及其公差，而在零件原始坐標(biāo)系OXYZ中的輸出值Δα、Δβ和Δγ則與平面的位姿有關(guān)，其關(guān)系如下：

其中，Tr為局部坐標(biāo)系OiXiYiZi與零件原始坐標(biāo)系OXYZ之間的旋量矩陣：

式中，aij分別為局部坐標(biāo)系OiXiYiZi中三個(gè)坐標(biāo)軸與零件原始坐標(biāo)系OXYZ中三個(gè)坐標(biāo)軸夾角的余弦。

Zi軸的矢量已在式（1）中求出，Xi軸和Yi軸矢量表達(dá)式如下：

根據(jù)式（1）、式（9）和式（10）可求出式（8）中的各參量：

將式（6）和式（8）代入式（7）可得：

2.3.2 數(shù)學(xué)表達(dá)形式

按照“針對(duì)性原則”，公差數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式應(yīng)符合使用場(chǎng)合的需要。在前述機(jī)床系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)方案中，機(jī)床誤差建模基于多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和齊次坐標(biāo)變換原理，相鄰體i和j之間的實(shí)際位姿變換矩陣為［11］

其中，Tij為相鄰體之間的理想位姿變換矩陣，而ΔTij是兩者之間的誤差變換矩陣。公差用于約束指定的誤差，所以在系統(tǒng)的三維公差分析與設(shè)計(jì)中，公差應(yīng)具有與誤差ΔTij一致的表達(dá)形式：

其中，三個(gè)線位移輸出的極限范圍已由式（2）給定；而三個(gè)轉(zhuǎn)角的極限輸出范圍分別為。

式（12）針對(duì)性地表示了一般位置平面P在公差TP約束下對(duì)相鄰體的輸出特性，以下略去模型從一般位置平面退化到特殊位置平面的推導(dǎo)過程及結(jié)果。

3 應(yīng)用示例

面向系統(tǒng)的公差語(yǔ)義及其數(shù)學(xué)模型的建立，為實(shí)施圖2所示的系統(tǒng)數(shù)字化精度分析及公差設(shè)計(jì)方案提供了必要的支持。由于整機(jī)的公差設(shè)計(jì)效果預(yù)測(cè)（積累效應(yīng)分析）包括一系列的公差項(xiàng)目，涉及過多的設(shè)定與分析描述，所以本文選取一個(gè)單項(xiàng)公差的作用規(guī)律分析作為應(yīng)用示例。

圖4為國(guó)內(nèi)第一臺(tái)基于零傳動(dòng)技術(shù)的高精度高效滾齒機(jī)三維裝配示意圖，圖中工件主軸部件2安裝在床身9上。圖5為兩者接觸面以及工件主軸部件的坐標(biāo)示意圖，此處將床身上的該平面簡(jiǎn)稱為P。工件主軸軸線應(yīng)平行于軸向進(jìn)給導(dǎo)軌（部件8和部件9之間的導(dǎo)軌）是機(jī)床設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要要求，床身上的平面P與軸向進(jìn)給導(dǎo)軌安裝面之間的平行度要求，是保障該項(xiàng)設(shè)計(jì)要求的主要因素之一。

圖4 YK3610樣機(jī)的三維裝配示意圖

圖5 工件主軸部件安裝表面坐標(biāo)示意圖

分析目標(biāo)：預(yù)測(cè)分析平面P在平行度公差TP約束下工件芯棒軸線的變動(dòng)范圍及規(guī)律，用圖5中X1和Y1兩個(gè)方向的跳動(dòng)值表征。

在工件芯棒軸線上設(shè)定分析點(diǎn)Q（0，0，L），L的取值范圍為工件安裝范圍。根據(jù)機(jī)床系統(tǒng)誤差建模結(jié)果［11］，Q點(diǎn)到床身坐標(biāo)系的傳遞關(guān)系為

基于這一傳遞關(guān)系，設(shè)此時(shí)工件主軸部件到工件芯棒之間無誤差，即ΔT21為單位矩陣，再將ΔT92設(shè)為式（13）所示公差，就可以預(yù)測(cè)平面P的平行度公差TP在指定目標(biāo)下的約束效果及調(diào)整量。

（1）TP的約束效果預(yù)測(cè)。設(shè)圖5中X1和Y1兩個(gè)方向跳動(dòng)值的設(shè)計(jì)要求為300∶0.015mm。如果公差TP的初始設(shè)計(jì)值為0.02mm，P平面誤差可以引起的最大跳動(dòng)值如下：X1方向——0.001mm；Y1方向 ——0.0208mm。預(yù)測(cè)結(jié)果表明：如果TP＝0.02mm，即使不考慮主軸芯棒自身誤差及軸向進(jìn)給導(dǎo)軌誤差的情況下，Y1方向的最大跳動(dòng)值已超標(biāo)，所以，TP需要調(diào)整。另外，X1方向的跳動(dòng)值對(duì)TP十分不敏感，這對(duì)后續(xù)分析及今后的設(shè)計(jì)和加工十分有利。

（2）TP與作用結(jié)果之間的關(guān)系。圖6是TP大小與Y1方向最大跳動(dòng)值之間的映射關(guān)系；如果P平面誤差在TP范圍內(nèi)服從正態(tài)分布，則造成的Y1方向最大跳動(dòng)值的統(tǒng)計(jì)分布如圖7所示。依據(jù)圖6、圖7，可反求滿足要求的TP值。由于影響X1和Y1兩個(gè)方向跳動(dòng)值的因素包括TP、軸向進(jìn)給導(dǎo)軌誤差以及主軸芯棒自身誤差等，所以TP的調(diào)整應(yīng)建立在合理的精度分配基礎(chǔ)之上。

圖6 TP與Y1方向最大跳動(dòng)值之間的映射關(guān)系

4 結(jié)論

（1）在機(jī)床整機(jī)層面的數(shù)字化精度分析及其公差設(shè)計(jì)中，需要零件的相關(guān)TTRS具有面向系統(tǒng)的公差語(yǔ)義，該語(yǔ)義可定義為該公差對(duì)其廣義配合件在6個(gè)自由度上的作用輸出。

圖7 TP范圍內(nèi)Y1方向最大跳動(dòng)值的統(tǒng)計(jì)分布

（2）基于造型特征點(diǎn)的平面公差域描述更有利于在零件和裝配兩個(gè)層面中的應(yīng)用；公差的對(duì)外作用語(yǔ)義表示為齊次坐標(biāo)變換矩陣的形式，可以將公差數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)誤差模型統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)公差設(shè)計(jì)效果的數(shù)字化預(yù)測(cè)以及公差大小的針對(duì)性調(diào)整。

（3）建立公差與控制目標(biāo)之間的映射關(guān)系，可以為公差大小的合理調(diào)整提供量化依據(jù)。

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