李仕華 龔 文 李富娟 姜 珊

燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，066004

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)滿足了微動機器人運動分辨率高（納米級）、響應(yīng)快（數(shù)十赫茲）、體積小、精度高等要求［1］，因此微動機器人多采用并聯(lián)機構(gòu)，通常以柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)運動副，來消除機械摩擦和間隙對精度的影響。

柔性并聯(lián)機構(gòu)剛度的理論分析對設(shè)計、制造一個柔性機構(gòu)至關(guān)重要。當前，對柔性機構(gòu)的剛度分析主要集中在柔性鉸鏈的剛度分析［2－4］和平面柔性機構(gòu)［5］的剛度分析，對空間柔性機構(gòu)［6－7］剛度分析的研究成果并不多。對于空間柔性機構(gòu)，通過建立其剛度的數(shù)學(xué)模型來獲得良好的剛度性能，滿足復(fù)雜工作條件下精確的操作要求。

在柔性機構(gòu)動力學(xué)上，國內(nèi)外大多數(shù)研究停留在對柔性機構(gòu)的運動學(xué)分析及優(yōu)化上，動力學(xué)方面的理論研究［8－9］不多，在一些需要高精度或振動環(huán)境的工況下，基于運動學(xué)的控制方法往往不能很好地達到實際應(yīng)用要求。本文提出一種新型柔性機構(gòu)，并在剛度分析的基礎(chǔ)上，對該柔性機構(gòu)進行了動力學(xué)分析。

1 3－RPC柔性精密平臺模型

如圖1所示，新型3－RPC柔性精密平臺由固定平臺、動平臺及3個RPC分支組成，每個分支由柔性R副、柔性P副和柔性C副構(gòu)成。為獲得空間立方體工作空間，3個分支采用空間正交布置方式，該平臺具有3個自由度，即沿著x、y、z軸的移動。該柔性精密平臺工作時由3路壓電陶瓷驅(qū)動器驅(qū)動，能完成空間微／納米級操作。該平臺具有結(jié)構(gòu)緊湊、運動解耦、易于控制、精度較高等優(yōu)點，具有很好的應(yīng)用前景。

2 剛度分析

2.1 柔性運動副的剛度

組成分支的柔性運動副的基本柔性單元為半圓弧形柔性鉸鏈，如圖2所示，r為切口圓弧半徑，b為鉸鏈寬度，t為柔性轉(zhuǎn)動副最薄弱處的厚度。

圖2 半圓弧柔性鉸鏈

半圓弧柔性鉸鏈的柔度矩陣在圖2建立的坐標系中可表示為

元素c1～c8的具體表達式參見文獻［10］。

柔性P副采用的是柔性橋式微位移放大機構(gòu)。該機構(gòu)采用全對稱設(shè)計，由剛性梁和半圓弧柔性鉸鏈組成，并應(yīng)用線切割技術(shù)在一塊金屬材料上加工而成。圖3中，l、a、a1分別為柔性移動副中兩柔性轉(zhuǎn)動副之間的長度、厚度和空隙長度，t1為柔性移動副中轉(zhuǎn)動副最薄弱處的厚度，r2為柔性移動副中轉(zhuǎn)動副的切口圓弧半徑。

圖3 結(jié)構(gòu)Ⅰ簡圖

根據(jù)圖3，柔性鉸鏈在局部坐標系A(chǔ)ixaiyaizai（i＝1，2）下的柔度矩陣Ci可以通過坐標變換變換到坐標系Bixbiybizbi，轉(zhuǎn)換公式為

如圖4所示，柔性移動副由結(jié)構(gòu)Ⅰ、結(jié)構(gòu)Ⅱ、結(jié)構(gòu)Ⅲ、結(jié)構(gòu)Ⅳ組成，結(jié)構(gòu)Ⅰ、結(jié)構(gòu)Ⅱ串聯(lián)形成柔性移動副的右半部分，結(jié)構(gòu)Ⅲ、結(jié)構(gòu)Ⅳ串聯(lián)形成柔性移動副的左半部分，結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ與結(jié)構(gòu)Ⅲ、Ⅳ以并聯(lián)形式連接固定端和輸出端。分別求出結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的剛度或柔度矩陣，通過柔度矩陣變換法，建立柔性微位移放大機構(gòu)的剛度矩陣：

圖4 柔性移動副

其中，Ry（＊）為局部坐標系到坐標系O2x2y2z2下繞y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣（下同），如圖4所示。

同理，可建立柔性C副的剛度矩陣，柔性C副由2條串聯(lián)分支EiFiGi組成，如圖5所示，每條分支包含柔性鉸鏈Ei、Fi、Gi，因此柔性C副的剛度矩陣為

圖5中，w為柔性圓柱副內(nèi)部長度，l3為柔性圓柱副中兩轉(zhuǎn)動副之間距離，r3為柔性圓柱副中轉(zhuǎn)動副的切口圓弧半徑。

圖5 柔性圓柱副C

2.2 分支剛度矩陣

以分支1為例，分支1由1個柔性轉(zhuǎn)動副R、1個柔性移動副P、1個柔性圓柱副C組成。選擇動平臺中心P為參考點，如圖6所示，在每個柔性運動副建立局部坐標系，因此它們相對于參考坐標系的柔度變換矩陣可寫成

其中，l1為坐標系Pxyz原點到坐標系O1x1y1z1的距離；l2為坐標系O1x1y1z1原點到坐標系O2x2y2z2的距離；a0為柔性圓柱副兩側(cè)的厚度；h為正方體上平臺的邊長；rO1、rO2、rO3分別為O1O、O2O、O3O在局部坐標系O1x1y1x1、O2x2y2x2、O3x3y3x3下的表示，如圖6所示。

分支1的柔度矩陣為

式中，Jc1為分支1由局部坐標系到參考坐標系的變換矩陣；J1、J2、J3分別表示柔性R副、柔性P副、柔性C副建立的局部坐標系到參考坐標系的變換矩陣；Cd為分支1的柔

圖6 分支1柔度坐標系

參考坐標系Pxyz下，分支1的剛度矩陣為

同理，分支2和分支3柔度矩陣分別為

其中，柔度變換矩陣Jc2、Jc3由式（5）和分支2與分支3的具體參數(shù)推導(dǎo)而得。

參考坐標系Pxyz下，分支2和分支3的剛度矩陣為

2.3 整體剛度矩陣

3－RPC柔性精密平臺由3個相同分支以并聯(lián)形式組成，考慮到每個分支剛度模型的局部坐標系與整體剛度模型的參考系Pxyz重合，轉(zhuǎn)換矩陣Joj（從第j（j＝1，2，3）支鏈的局部坐標系Ojxjyjzj到參考坐標系Oxyz轉(zhuǎn)換矩陣）變?yōu)閱挝痪仃嚒Ｕw剛度矩陣為

將整體剛度矩陣KP轉(zhuǎn)換到參考坐標系Hxyz中，參考坐標系的原點位于動平臺上表面的中心，則轉(zhuǎn)換后剛度矩陣KH為

參照表1、表2中參數(shù)和材料屬性，利用MATLAB計算參考點H剛度矩陣的KH：

表1 3－RPC并聯(lián)微動機構(gòu)幾何參數(shù) mm

表2 Ti－6Al－4V合金材料屬性

2.4 有限元分析

采用ANSYS對平臺的剛度進行了仿真分析。每個分支添加了2個固定約束，在動平臺的上表面施加1個作用力，材料屬性選擇鈦鋁合金，幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

首先，施加外力Fy＝－1N作用在動平臺上表面的中心H，在H坐標系z軸負向取一點H1，并滿足HH1＝dz，dz為測量點在z方向的位移，如圖7所示?？蓽y得點H、H1處的位移yH、yH1，得到

式中，KFy－uy為Fy引起的y方向位移所產(chǎn)生的剛度；KFy－θx為Fy引起繞y軸轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的剛度。

圖7 有限元分析模型

然后，施加外力Fy＝－1N作用于點H1處，將產(chǎn)生一力偶mx繞x軸轉(zhuǎn)動，點H、H1的位移yH、yH1測出后，通過下式計算剛度：

式中，Kmx－θx為mx引起的x方向轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的剛度。

具體的計算結(jié)果見表3。

表3 平臺的剛度

有限元結(jié)果和理論結(jié)果還存在8%左右的誤差，剛度建模將連接柔性單元的連桿等效為剛性桿，忽略了其柔性特性對剛度模型的影響，這是造成誤差的主要原因，但誤差在合理范圍內(nèi)。

2.5 結(jié)構(gòu)參數(shù)對剛度的影響

根據(jù)建立的平臺剛度模型，以剛度KFy－uy為指標，繪制了幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)a0、a、l1、l2、l3、l4、h、w改變時，剛度的變化情況，見圖8、圖9。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)和剛度之間關(guān)系Ⅰ

從圖8、圖9可以看出，剛度KFy－uy隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)a0、a的增加而增大，當a0＝a＝4.5mm時出現(xiàn)了一個峰值，而后又逐漸減?。▓D8a）；隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)a1、a2的增大而非線性增大（圖8b）；隨參數(shù)a3、a4的增加呈線性減小（圖8c）；隨結(jié)構(gòu)參數(shù)l1、l2的增加而增大，在l1＝l2＝42mm達到一個峰值后又非線性遞減（圖9a）；隨參數(shù)l4、h0非線性遞減（圖9b、圖9c）；隨結(jié)構(gòu)參數(shù)h、w的增加而增大，在h＝w＝52mm達到一個峰值后又非線性遞減（圖9d）。

3 動力學(xué)分析

3.1 動力學(xué)方程的建立

利用拉格朗日方法建立機械系統(tǒng)的動力學(xué)方程。該方法只需計算系統(tǒng)的動能和勢能，不需考慮約束力的影響。選取廣義坐標q＝［q1q2q3］T，平臺的動能和勢能可用選取的廣義坐標及其變化形式表示。

圖9 結(jié)構(gòu)參數(shù)和剛度之間關(guān)系Ⅱ

柔性轉(zhuǎn)動副R的能量方程為

柔性移動副P的能量方程為

柔性圓柱副能量方程為

以第二分支為例，柔性圓柱副C的動能為

柔性圓柱副C的彈性勢能為

同理，其他2個分支的動能與勢能很容易求得。

機構(gòu)的動平臺的勢能只來源于重力，因此動平臺的動能為

機構(gòu)的重力勢能為

其中，m0～m7如圖6所示。

機構(gòu)拉格朗日方程為

式中，LR、LP、LC分別為柔性轉(zhuǎn)動副R、移動副P、圓柱副C的能量表達式。

拉格朗日方程一般形式為

式中，qk為第k個廣義坐標；Fk為第k個驅(qū)動力。

根據(jù)式（18），再考慮各變量與廣義坐標之間關(guān)系，可推導(dǎo)出微動機構(gòu)動力學(xué)方程為

式中，G為重力矩陣；F為驅(qū)動力矩陣；F1、F2、F3分別為第一、第二、第三分支的驅(qū)動力；A為放大器的放大倍數(shù)；k1為第i分支第一個柔性轉(zhuǎn)動副R的一個近似轉(zhuǎn)動剛度；k2為第i分支柔性移動副P的一個近似剛度；k3為第i分支柔性圓柱副C的一個近似剛度。

微動平臺的自然頻率為

3.1 模態(tài)分析和有限元仿真驗證

基于振動理論，對機構(gòu)進行了模態(tài)分析和有限元仿真驗證。由有限元仿真可以分析得到表4的結(jié)果。通過表4所示的有限元結(jié)果與式（20）所計算的理論值進行對比，可以看出，理論值和有限值存在10.8%的誤差，原因是橋式位移放大器理論模型沒有考慮變形對柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動慣量的影響，但誤差在合理范圍內(nèi)，驗證了理論模型的合理性。

表4 機構(gòu)前6階自然頻率 Hz

表4中的前3階振型是分別沿著3個坐標軸的移動，后3階振型是分別繞著3個坐標軸的轉(zhuǎn)動。由于機構(gòu)結(jié)構(gòu)的對稱性，前3階自然頻率相等，后3階自然頻率也相等。

自然頻率隨r1、r2、r3的增大而均呈現(xiàn)非線性遞減，隨r1的變化如圖10a所示；自然頻率隨b1、b2、b3的增大均呈現(xiàn)線性遞增，隨b1的變化如圖10b所示；自然頻率隨t1、t2、t3的增加均呈現(xiàn)非線性遞增，隨t1的變化如圖10c所示。柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對頻率影響的研究有利于設(shè)計面向工程需要的三維微動平臺。

圖10 自然頻率與柔性鉸鏈參數(shù)變化曲線

4 結(jié)論

（1）提出了一種新型3－RPC并聯(lián)精密平臺，該平臺具有結(jié)構(gòu)緊湊、運動解耦、易于控制、精度較高等優(yōu)點，具有很好的應(yīng)用前景。

（2）采用柔度矩陣變換法建立了新型空間并聯(lián)柔性精密平臺的剛度模型，并用有限元方法對剛度模型進行了驗證，討論了柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對平臺剛度的影響。

（3）采用拉格朗日法建立了柔性精密平臺的動力學(xué)方程，并利用有限元對其進行了模態(tài)分析，得到了柔性精密平臺的前6階振動頻率；進一步討論了柔性精密平臺的自然頻率與柔性鉸鏈參數(shù)變化規(guī)律。

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