韓 穎，楊志龍

（河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作454000）

沖擊地壓和煤與瓦斯突出是煤礦開采中的兩種嚴(yán)重的動(dòng)力災(zāi)害，在煤礦開采尤其是條帶開采中礦柱起著十分重要的作用。近年來隨著煤礦開采的深度越來越大，礦柱沖擊地壓現(xiàn)象在煤炭開采中時(shí)有發(fā)生，所以研究影響礦柱沖擊地壓的因素及其機(jī)理顯得尤為重要。目前，許多學(xué)者對礦（煤）柱沖擊地壓進(jìn)行了多方面的研究，谷惠棠、胡慧明[1]結(jié)合材料力學(xué)理論，建立了巖梁－礦柱的尖點(diǎn)突變模型，提出了系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)破壞的條件及發(fā)生失穩(wěn)破壞時(shí)系統(tǒng)釋放的能量。李忠華、潘一山[2]提出應(yīng)用煤層塑性軟化理論和材料失穩(wěn)的動(dòng)力判別準(zhǔn)則，對煤柱沖擊地壓進(jìn)行的解析分析方法。王玉山[3]提出了壓機(jī)－巖樣加載系統(tǒng)模型來描述礦柱的失穩(wěn)行為，并用之解釋了國內(nèi)典型礦山中礦柱系統(tǒng)失穩(wěn)破壞的災(zāi)變特征。王存文、姜福興等[4]通過建立下保護(hù)層中殘留孤島煤柱的結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，用力學(xué)原理分析了殘留煤柱及被保護(hù)層煤體中的應(yīng)力狀態(tài)，得到煤柱誘發(fā)沖擊地壓的機(jī)理。李江騰、曹平[5]應(yīng)用能量原理及突變理論推導(dǎo)礦柱失穩(wěn)的臨界載荷及臨界應(yīng)力，提出礦柱發(fā)生失穩(wěn)的屈曲模型。作為一種嘗試，本文在前人的基礎(chǔ)上將礦柱近似為由彈性元件和塑性軟化元件串聯(lián)組成，建立了頂板－礦柱圍巖系統(tǒng)的力學(xué)模型；應(yīng)用突變理論建立了頂板－礦柱圍巖系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)生沖擊地壓的尖點(diǎn)突變模型。

1 力學(xué)模型

沖擊地壓是煤巖體快速、突然釋放彈性能的現(xiàn)象。在礦井開采過程中常常留有礦柱，有的是三面采空的“孤島”礦柱，有的是上下工作面間留設(shè)的區(qū)段保護(hù)礦柱.這些礦柱由于采后殘余支承壓力的影響，通常在煤巖體中造成很大的應(yīng)力集中[6]。礦柱是地下巖體中唯一承受單軸壓縮荷載的構(gòu)件[7]。頂?shù)装澹V柱圍巖系統(tǒng)和巖樣的單軸壓縮非常相似，巖樣在進(jìn)行單軸壓縮時(shí)，隨著荷載的增大首先出現(xiàn)線彈性變形，當(dāng)巖樣應(yīng)力達(dá)到峰值強(qiáng)度時(shí)，此后，巖樣出現(xiàn)應(yīng)變軟化現(xiàn)象。本文引用文獻(xiàn)[8]中的試驗(yàn)機(jī)與巖樣聯(lián)合作用的力學(xué)模型作為頂?shù)装澹V柱圍巖系統(tǒng)的力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，將老頂作用在頂?shù)装澹V柱圍巖系統(tǒng)的荷載簡化為集中荷載P，直接頂視為彈性介質(zhì)用剛度為Km的彈簧來代替。礦柱可視為由剛度為KR的彈簧和具有塑性軟化性質(zhì)的元件R組成。力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 頂?shù)装澹V柱圍巖系統(tǒng)力學(xué)模型

礦柱峰后塑性軟化的本構(gòu)關(guān)系[9]：

式中：A＝2（1－n）／（m－1）（m2＋m－2）；B＝－3Am／2；εg／εc＝m；σg／σc＝n；σc為峰值強(qiáng)度，MPa；εc為峰值強(qiáng)度對應(yīng)的應(yīng)變；σg為峰后曲線拐點(diǎn)處的應(yīng)力，MPa；εg為峰后曲線拐點(diǎn)處應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變。

2 系統(tǒng)的勢函數(shù)

在研究巖石破裂失穩(wěn)破壞的過程中發(fā)現(xiàn)，礦柱發(fā)生失穩(wěn)破壞都是在其荷載－變形關(guān)系曲線峰值后發(fā)生的。巖石的變形失穩(wěn)根源在于巖石應(yīng)變?nèi)趸姆蔷€性本構(gòu)關(guān)系[1]。為了行文方便，假設(shè)礦柱高H，礦柱的塑性應(yīng)變能相當(dāng)于長寬為L，高為H的四方體全部發(fā)生塑性軟化變形的應(yīng)變能。設(shè)直接頂?shù)脡嚎s量為u1（剛度為Km的壓縮量），礦柱的壓縮量為u（剛度為KR的壓縮量），則老頂?shù)南鲁亮繛椋海╱1＋u）。由于模型中彈簧K、KR為串聯(lián)關(guān)系，當(dāng)?shù)V柱以準(zhǔn)靜態(tài)被壓縮時(shí)可近似認(rèn)為：Kmu1＝KRu。

集中荷載P對系統(tǒng)所做的功為：

剛度為Km的彈簧的彈性能為：

礦柱的應(yīng)變能分為彈性應(yīng)變能UE和塑性軟化應(yīng)變能Us：

式中us為塑性軟化應(yīng)變能密度。

將式（6）代入式（5）可得

系統(tǒng)的總勢能為

將式（2）、式（3）、式（4）、式（7）代入式（8）可得系統(tǒng)的總勢能為：

3 礦柱沖擊的突變模型

突變理論是法國數(shù)學(xué)家Thom于20世紀(jì)70年代初提出的，主要是研究某一系統(tǒng)或過程，由一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的躍進(jìn)[10]。礦柱的突然失穩(wěn)－巖爆具有尖點(diǎn)突變的五條典型性質(zhì)，即突跳、滯后、發(fā)散、雙模態(tài)、不可達(dá)[11]。所以，本文用突變理論研究礦柱沖擊地壓。取礦柱的壓縮量u為狀態(tài)變量，從系統(tǒng)的總勢能函數(shù)可以看出礦柱發(fā)生失穩(wěn)的啟動(dòng)過程屬于尖點(diǎn)突變類型。

平衡曲面方程為：

由平衡曲面的光滑性質(zhì)，可知在尖點(diǎn)處有：

從而可得尖點(diǎn)：

將平衡曲面方程在u1處進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，并將尖點(diǎn)值u1代人其中，按突變理論，截取前3次項(xiàng)不影響方程的定性性質(zhì)，取無量綱量x＝（uu1）／u1，因此可將平衡曲面方程式（10）化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

突變點(diǎn)集方程為：

聯(lián)立式（11）、式（12）消去x可得分叉集方程為：

平衡曲面為一具有褶皺的光滑曲面，由上、中、下三葉構(gòu)成，如圖2所示。其中上葉和下葉是穩(wěn)定的，中葉是不穩(wěn)定的。當(dāng)p、q達(dá)到褶皺曲面的邊緣時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生突變，這時(shí)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。在無擾動(dòng)的情況下，分叉集的左支曲線為突變發(fā)生的臨界啟動(dòng)條件。當(dāng)控制變量p、q一旦超過臨界啟動(dòng)條件，x將跳躍式的增大，這時(shí)系統(tǒng)將由準(zhǔn)靜態(tài)破壞狀態(tài)進(jìn)入失穩(wěn)狀態(tài)。

圖2 尖點(diǎn)突變模型

4 突變模型分析

由式（13）可知，當(dāng)控制參數(shù)p、q在分叉集以外變化時(shí)，如圖3中箭頭所示，這時(shí)x只能以較小的值保持在下葉，不可可能跳躍到上葉，系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)破壞。只有當(dāng)p≤0時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生突變，但是從圖2和是（13）可知當(dāng)p＝0時(shí)，q＝0；這時(shí)，在外界的擾動(dòng)下，系統(tǒng)雖然失穩(wěn)，但是馬上就進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，所以這時(shí)不會(huì)發(fā)生沖擊地壓，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生沖擊地壓時(shí)，系統(tǒng)的突變?nèi)鐖D4中箭頭所示。發(fā)生沖擊地壓的必要條件為：p＜0，即：

式中：Ec＝σc／εc；K1＝（Km＋KR）KR／Km。

由尖點(diǎn)突變理論可知：當(dāng)控制變量p、q滿足分叉集方程時(shí)，系統(tǒng)才會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，分叉集方程是系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的充要條件。并且當(dāng)p＜0時(shí)，系統(tǒng)才會(huì)發(fā)生突變，沖擊地壓才能發(fā)生。故該系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的充要條件為：

圖3 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的平衡曲面與分支曲線

圖4 系統(tǒng)失定時(shí)的平衡曲面與分支曲線

由式（15）可看出只有在p＜0，即3AH2K1／LB2Ec－1＜0時(shí)，礦柱才能失穩(wěn)發(fā)生沖擊地壓由此可以看出礦柱失穩(wěn)與頂板巖層和礦柱本身的剛度、礦柱的幾何尺寸、礦柱達(dá)到應(yīng)力峰值時(shí)的應(yīng)力和對應(yīng)的應(yīng)變以及礦柱發(fā)生塑性軟化區(qū)域的大小有關(guān)，還與礦柱峰后曲線拐點(diǎn)處的應(yīng)力應(yīng)變有關(guān)，這些參數(shù)都是反映礦柱自身的材料性質(zhì)，是影響礦柱穩(wěn)定的內(nèi)在因素。礦柱發(fā)生塑性軟化的區(qū)域越大且礦柱達(dá)到應(yīng)力峰值時(shí)對應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變比值也越大，這樣就越容易發(fā)生礦柱沖擊地。由突變理論可知，只要把控制參數(shù)p、q控制在尖點(diǎn)區(qū)域以外就可以有效的防止突變的發(fā)生。

4 結(jié)束語

本文通過建立頂板－礦柱圍巖系統(tǒng)的力學(xué)模型；應(yīng)用突變理論建立了圍巖－礦柱系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)生沖擊地壓的尖點(diǎn)突變模型。應(yīng)用突變理論得出了礦柱失穩(wěn)的充要條件，礦柱失穩(wěn)是由頂板巖層和礦柱本身的剛度、礦柱的幾何尺寸、礦柱達(dá)到應(yīng)力峰值時(shí)的應(yīng)力和對應(yīng)的應(yīng)變以及礦柱發(fā)生塑性軟化區(qū)域的大小、礦柱峰后曲線拐點(diǎn)處的應(yīng)力應(yīng)變等內(nèi)在因素決定。在生產(chǎn)實(shí)際中只要合理布置礦柱尺寸大小，控制礦柱塑性軟化區(qū)域的發(fā)展，把控制參數(shù)p、q控制在尖點(diǎn)區(qū)域以外可以有效的防止礦柱沖擊地壓的發(fā)生。

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