王 杰，陳鍇鵬

(鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南鄭州450001)

0 引言

預(yù)測控制因其對模型的精度和表達(dá)形式要求不高而受到了廣泛關(guān)注，但是在面臨非線性控制對象時存在著模型失配、魯棒性差的問題.因此研究和改進(jìn)非線性預(yù)測控制是一個非常有意義的課題［1］.

支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)在解決非線性問題上與其它算法相比有泛化能力強(qiáng)、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)［2］.但是LeCun等人的在研究大規(guī)模樣本回歸時發(fā)現(xiàn)，SVM訓(xùn)練的速度要明顯慢于同等精度的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［3］.為了提高SVM的訓(xùn)練速度，筆者提出了一種基于簡化決策函數(shù)的SVM預(yù)測控制器，采用SVM對非線性對象進(jìn)行回歸建模，并通過矩陣變換對SVM的支持向量進(jìn)行約簡，加快了模型訓(xùn)練速度，將對象的SVM模型作為預(yù)測控制中的預(yù)測模型，通過粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)來確定 SVM的最優(yōu)參數(shù)和對預(yù)測控制的最優(yōu)控制律進(jìn)行滾動優(yōu)化［4］.

1 SVM預(yù)測模型

1.1 決策函數(shù)約簡的SVM回歸問題

s.t.yi(〈φ ( xi)，w〉+b )≥1 － ξi，ξi≥0，i∈ N構(gòu)造決策函數(shù)K(·， ·)是將樣本向量映射至高維空間的核函數(shù).根據(jù)基礎(chǔ)線性代數(shù)理論，可以證明支持向量x(k)在特征空間Z中與其它支持向量是線性相關(guān)的，即有為標(biāo)量常數(shù).則決策函數(shù)的表達(dá)式可以寫成如下形式：

已知線性相關(guān)的向量可以用其它向量表示，因此，在表述決策函數(shù)的時候線性相關(guān)的支持向量是不需要的.所以，我們可以對支持向量進(jìn)行消減來簡化決策函數(shù).采取行階次消減的的形式來對決策函數(shù)進(jìn)行簡化［6］.

研究過程中發(fā)現(xiàn)，僅僅通過矩陣線性變換來約簡決策函數(shù)，效果不太明顯，為了提高簡化的效果，引入松弛變量Γ，在通過矩陣變換尋找依賴關(guān)系的時候，如果某一行的元素值全部小于Γ，則該樣本點(diǎn)對應(yīng)的支持向量可以刪除.合理選擇松弛因子的大小，使得訓(xùn)練誤差在可以接受的范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)決策函數(shù)的最簡化.由于決策函數(shù)復(fù)雜度降低，訓(xùn)練的速度得到了明顯提升.

1.2 PSO優(yōu)化SVM參數(shù)

采用Lagrange乘數(shù)法解決上述約束問題

式中：α為拉格朗日乘子.根據(jù)最優(yōu)性條件可以得到原問題的對偶問題：

公式(4)問題的求解通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)集得到.

如何選取最佳的SVM參數(shù)，國際上還未出現(xiàn)一個公認(rèn)的最好方法，目前所用的方法是讓c和g在一定范圍內(nèi)取值，利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)來測試分類準(zhǔn)確率，利用分類準(zhǔn)確率來確定c和g的值［7］.如果遇到多組最優(yōu)的c和g，則采取c值最小的一組數(shù)據(jù).這樣可以避免c值過大引起的過學(xué)習(xí)情況.為了得到最佳的SVM參數(shù)，筆者采用PSO算法對SVM的懲罰參數(shù)c、不敏感損失系數(shù)g及核函數(shù)σ參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最終得到的SVM模型表達(dá)式為：

1.3 SVM模型線性化處理

為使廣義預(yù)測控制器能夠作用于SVM非線性模型，對式(5)進(jìn)行線性化處理：對第k個采樣周期，xk是相應(yīng)的回歸向量，取式(5)在xk處泰勒展開式，得到線性化模型［8］：

取回歸向量：x(k)=［xk(1)…xk(nu+ny)］=［u(k－1)…u(k－nu)y(k－1)…y(k－ny)］

令n=nu+ny，選取RBF核函數(shù)，式(6)可寫為

式(7)可作為預(yù)測控制的預(yù)測模型.

2 PSO滾動優(yōu)化的預(yù)測控制

預(yù)測控制的任務(wù)就是使系統(tǒng)輸出y(t+j)盡可能逼近輸出設(shè)定值yr(t+j).性能指標(biāo)函數(shù)如下［9］：

式中：E{·}表示取數(shù)學(xué)期望，一般工業(yè)過程中最終輸出設(shè)定值為常值c，為了使輸出平穩(wěn)，令yr(k+j)=αjy(k)+(1－αj)c，α∈［0，1)為柔化因子;N1和N2分別為優(yōu)化時域的起始與終止時刻;nu為控制時域［10］.為了計(jì)算預(yù)測控制器的控制律，采用粒子群算法進(jìn)行迭代計(jì)算.

設(shè)定待優(yōu)化的控制量u(k+1)為PSO算法中的位置向量，SVM預(yù)測輸出量為yM(k+j+1)，系統(tǒng)實(shí)際的輸出量和預(yù)測輸出量之間的偏差為e(k+j)=y(k+j)－yM(k+j)，誤差修正后估計(jì)輸出為yP(k+j+1)=yM(k+j+1)+e(k+j).PSO適應(yīng)度函數(shù)選取為預(yù)測控制的性能指標(biāo)函數(shù).輸出gbest為最優(yōu)控制量u(k+1).粒子更新的公式為［11］

式中：θini和θend為慣性權(quán)重的初始值和終值，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，m為最大迭代次數(shù).慣性權(quán)重的大小代表算法的全局和局部的搜索能力.學(xué)習(xí)因子c1和c2反映了粒子群之間的信息交流［12］.

3 算法流程

基于以上算法的描述及分析，筆者算法流程如圖1所示.

圖1 筆者算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart this paper proposed

4 仿真研究

4.1 SVM決策函數(shù)約簡數(shù)學(xué)仿真

為了驗(yàn)證決策函數(shù)約簡對支持向量個數(shù)減少的效果，我們采用kinfamily數(shù)據(jù)庫中的4 000個數(shù)據(jù)點(diǎn)來進(jìn)行驗(yàn)證，簡化后的結(jié)果如表1所示.

4.2 回轉(zhuǎn)窯數(shù)據(jù)預(yù)測控制仿真

為驗(yàn)證筆者方法在實(shí)際工業(yè)過程中的有效性，以水泥回轉(zhuǎn)窯窯尾煙室溫度模型為控制對象進(jìn)行控制仿真.選取分解爐出口溫度、預(yù)燃室下部溫度、入窯二次風(fēng)溫、五級筒出口溫度和窯尾煙室溫度歷史值5個變量為輸入量，輸出量為窯尾煙室溫度.數(shù)據(jù)采樣間隔為每分鐘采樣一次，選取水泥回轉(zhuǎn)窯連續(xù)正常工作3 d時5 000組數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，前4 000組用來建模，后1 000組用來測試.采取PSO算法來確定SVM的參數(shù)，Cbest=86.301 8，gbest=0.01模型的預(yù)測誤差由圖2所示.

表1 RBF核函數(shù)SVM決策函數(shù)簡化結(jié)果Tab.1 Results of SVM decision functions simplification using RBF kernels

圖2 SVM建模誤差Fig.2 modeling error rate of SVM

由圖2可以看出LSSVM建立的模型誤差基本在－0.05～+0.05之間.根據(jù)相關(guān)工藝經(jīng)驗(yàn)，窯尾煙室的最佳溫度為1 200℃左右.因此設(shè)定期望輸出值c=1 200，優(yōu)化時域?yàn)镹2－N1=10，控制時域nu=5，μ=0.9，PSO算法中粒子數(shù)m=10，θ=0.5 最大迭代次數(shù)為 200，c1=1.6 ，c2=1.5.系統(tǒng)響應(yīng)圖為圖3.從圖3中可以看出在對回轉(zhuǎn)窯窯尾煙室溫度模型的控制過程當(dāng)中，筆者所采用的方法能夠有效地減少系統(tǒng)的超調(diào)量，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.

圖3 筆者方法與傳統(tǒng)GPC控制效果對比Fig.3 Control effect of GPC and method we proposed

5 結(jié)論

采取對決策函數(shù)進(jìn)行約簡的方式來對SVM進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明這種方法能夠在不影響模型精度的情況下有效地減少SVM的支持向量個數(shù).廣義預(yù)測控制具有對模型精度要求不高的特性，因此約簡后的模型精度上完全滿足預(yù)測模型的精度要求，實(shí)現(xiàn)了廣義預(yù)測控制對非線性模型的控制.通過對水泥回轉(zhuǎn)窯窯尾煙室溫度模型的仿真結(jié)果上表明該算法在實(shí)際工業(yè)過程中的適用性.

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