汪 磊，戰(zhàn) 強

（北京航空航天大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

與傳統(tǒng)的輪式機器人相比，球形機器人有其固有的優(yōu)勢：滾動中的球自然會選擇阻力最小的路徑，因此球形可以令機器人在不同障礙或地形中運動［1］。在過去的幾十年里提出過的一些典型球形機器人模型存在很多阻礙球形機器人大規(guī)模投入實用的問題，其中最主要的就是運動控制的復(fù)雜性，目前仍然沒有有效的球形機器人控制方法。本文對BHQ－1球形機器人的軌跡跟蹤問題［2］進行了探討，著眼于結(jié)構(gòu)如BHQ－1的球形機器人軌跡跟蹤控制的解決方法［3］。

1 球形機器人模型

1．1 物理系統(tǒng)描述

球形機器人BHQ－1的機械結(jié)構(gòu)如圖1所示，它由電機1和2、空心軸3、重塊4、攝像頭5和一副球殼6組成。兩個電機的轉(zhuǎn)動可使機器人重心改變?nèi)缓螽a(chǎn)生一個重力轉(zhuǎn)矩驅(qū)動機器人運動，因此可以通過控制兩個電機來控制球形機器人的運動。

圖1 BHQ－1球形機器人結(jié)構(gòu)

1．2 運動學(xué)模型

當(dāng)球形移動機器人在平面上運動時，球殼的運動模型可簡化為如圖2所示。其中ΣO｛X，Y，Z｝為慣性坐標(biāo)系與地面固聯(lián)，Σb｛Xb，Yb，Zb｝為球形移動機器人的載體坐標(biāo)系，其中Ob與機器人球殼的中心固聯(lián)，球殼的半徑為R，球殼與地面的接觸點Pc在慣性坐標(biāo)下的坐標(biāo)為（xc，yc），φ、β、ψ分別為繞 Xb、Yb、Zb旋轉(zhuǎn)的角度，采用ZYX 歐拉角表示為（ψ，β，φ），τφ、τβ分別為繞Xb、Yb旋轉(zhuǎn)的剪切應(yīng)力。球形機器人的運動學(xué)方程可寫成：

圖2 球形機器人運動學(xué)模型示意圖

可見球形機器人系統(tǒng)運動學(xué)方程是一個2輸入5輸出的一階非線性方程，并且速度項不可積分，針對輪式機器人提出的非完整性約束系統(tǒng)控制方法無法直接應(yīng)用于球形移動機器人。

2 軌跡跟蹤算法設(shè)計

2．1 動態(tài)軌跡跟蹤

機器人的軌跡跟蹤與路徑跟隨不同，軌跡跟蹤的理想軌跡是一條與時間呈一定關(guān)系的幾何曲線f（xr（t），yr（t），θr（t））。

機器人軌跡跟蹤的誤差模型如圖3所示，機器人的位姿坐標(biāo)為（x，y，θ），跟隨目標(biāo)的位姿坐標(biāo)為（xr，yr，θr），得到的誤差模型可寫成：

其中：de為目標(biāo)參考點位置與機器人位置的絕對距離差；θe為目標(biāo)參考點至機器人連線與此時航向角的差。

圖3 軌跡跟蹤誤差模型示意圖

位置跟蹤控制器的期望輸入位移差為0，當(dāng)目標(biāo)點與機器人的位移差增大，則PID控制輸出足夠大的前進速度指令用于追趕目標(biāo)點以縮小位移差。設(shè)ud為位置跟蹤控制器的輸出值：

其中：kp、kd、ki分別為比例、微分和積分系數(shù)。

航向跟蹤控制器與位置跟蹤控制器類似，通過航向誤差信號θe，由控制器輸出角速度控制指令用于修正機器人的航向角，從而使機器人與目標(biāo)點航向保持一致。設(shè)uθ為航向跟蹤控制器的輸出值：針對不同的輸入變量在同一個參數(shù)的作用下并不能輸出最優(yōu)的控制策略，尤其針對不同軌跡的跟蹤將表現(xiàn)出不同的控制性能。普通的PID控制器并不能有效地抑制外界擾動，當(dāng)擾動過大甚至可能造成控制失效。為此對上述提出的軌跡跟蹤算法提出如下的改進方式［4］。

2．2 模糊自適應(yīng)控制方法

為了提高算法的自適應(yīng)性及魯棒性，采用模糊數(shù)學(xué)方法將規(guī)則條件、控制策略用模糊集合表示，并將這些模糊規(guī)則及策略存儲在嵌入式控制系統(tǒng)中，同時控制器根據(jù)外界實際的輸入變量運用模糊推理在線對PID的參數(shù)進行自適應(yīng)整定，根據(jù)不同軌跡的輸入變量自適應(yīng)調(diào)節(jié)PID參數(shù)。自適應(yīng)模糊PID控制器以誤差e和誤差的變化率ec作為輸入，可以實現(xiàn)在線根據(jù)不同e和ec情況對PID參數(shù)自整定［5］。

對于模糊控制器，誤差信號與微分信號的輸入效果十分重要。為了更好地獲得一個信號的最佳逼近同時獲取該信號的微分，本課題采用非線性跟蹤微分器（NTD）來實現(xiàn)［6］。跟蹤微分器的動態(tài)系統(tǒng)可描述為［7］：

由于PID控制器是一個參數(shù)敏感的控制方式，其

其中：r為跟蹤速度因子，決定了跟蹤效果的快慢，當(dāng)r值較大時跟蹤速度越快；T 為采樣周期；fst［x1（k），x2（k），v（k），r，T］為用于跟蹤信號v（k）的二階導(dǎo)數(shù)，其定義如下：

其中：v（t）為輸入信號；輸出信號x1為v（t）的跟蹤信號；x2為v（t）的微分信號。

為了更好地實現(xiàn)嵌入式系統(tǒng)，將其進行離散化處理，得到：

其中：δ為跟蹤信號v（k）的變化量；

y（k）＝x1（k）－v（k）＋Tx2（k）。

根據(jù)各參數(shù)修正的模糊規(guī)則進行在線推理，得到了相應(yīng)的模糊輸出子集，由于被控對象只能接收一個精確的控制量，無法接收這種模糊控制量，因此必須經(jīng)過清晰化處理將其轉(zhuǎn)換為精確量，本設(shè)計采用加權(quán)平均法進行去模糊處理。處理后的控制變量乘以一個量化因子α后作用在相應(yīng)的PID參數(shù)上，即模糊自適應(yīng)PID控制器的參數(shù)可表示為：

其中：Kp、Ki、Kd分別為去模糊處理后的修正比例、積分、微分系數(shù)；Kp0、Ki0、Kd0分別為上述系數(shù)的初始值。

3 仿真研究

為了驗證設(shè)計算法的可行性，以BHQ－1球形機器人為模型對象，針對式（1）球形機器人運動學(xué)模型，對直線軌跡下的軌跡跟蹤問題進行了仿真，球形機器人原始位姿為（x＝0，y＝0，ψ＝－π／2，β＝0，φ＝0）。目標(biāo)跟蹤軌跡為x＝0．2t，y＝0，即目標(biāo)點跟蹤速度為0．2m／s。普通和變參數(shù)PID控制器的仿真曲線分別如圖4、圖5所示。

圖4 普通PID控制器的直線軌跡跟蹤仿真曲線

采用了模糊自適應(yīng)PID控制器后，機器人能夠迅速地跟蹤上目標(biāo)路徑，調(diào)節(jié)時間小于1s，并且系統(tǒng)超調(diào)微小。

4 結(jié)論

雖然傳統(tǒng)的動態(tài)軌跡跟蹤算法對于非完整移動機器人具有良好的跟蹤性能，但仿真結(jié)果表明，這并不適合2自由度擺球形機器人。采用經(jīng)典PID控制策略雖然能夠有效地跟蹤上目標(biāo)曲線，但是由于各個PID參數(shù)固定，針對不同路徑的跟蹤表現(xiàn)出的性能不盡相同。而模糊自適應(yīng)PID控制器能夠根據(jù)機器人與目標(biāo)位置的誤差信號實時調(diào)整PID參數(shù)，使機器人的位姿得到最優(yōu)的調(diào)整。

圖5 變參數(shù)PID控制器的直線軌跡跟蹤仿真曲線

［1］ Armour Ｒ Ｈ，Vincent Ｊ Ｆ Ｖ．Rolling in nature and robotics：a review［J］．Journal of Bionic Engineering，2006，3：195－208．

［2］ Zhan Q，Liu Z，Cai Y．A back－stepping based trajectory tracking controller for a non－chained nonholonomic spherical robot［J］．Chinese Journal of Aeronautics，2008，21：472－480．

［3］ Chen M，Zhan Q，Liu Z．Optimal trajectory planning based on Hamiltonian function of a spherical mobile robot［J］．Chinese High Technology Letters，2008，14：289－293．

［4］ 曹承志．微型計算機控制新技術(shù)［M］．北京：機械工業(yè)出版社，2000．

［5］ 孫增圻，鄧志東，張再興．智能控制理論與技術(shù)［M］．北京：清華大學(xué)出版社；南寧：廣西科學(xué)技術(shù)出版社，2006．

［6］ 韓京清，王偉．非線性跟蹤—微分器［J］．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1994，14（2）：177－183．

［7］ 解永清，鄭恩讓．帶有微分－跟蹤器的無模型自適應(yīng)控制研究［J］．電氣自動化，2009，31（2）：16－19．