莫海平

（綏化學院 黑龍江綏化 152061）

一、引言

實變函數(shù)是數(shù)學相關(guān)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，這門課程對于培養(yǎng)數(shù)學專業(yè)人才和不同層次的數(shù)學教師都會發(fā)生潛移默化的，不可估量的積極影響。實變函數(shù)課程理論體系的嚴謹性，思維方法的抽象性，問題論證的技巧性，內(nèi)容應(yīng)用的廣泛性，使得學生對學習實變函數(shù)課程既有熱情又信心不足，提升學生學習實變函數(shù)課程的效果總是存在巨大的空間。對于綏化學院一類新建地方本科院校的數(shù)學相關(guān)專業(yè)來說問題尤其突出。掌握實變函數(shù)的基本概念和基本方法是這一類高校實變函數(shù)課程教學的基本目標，要實現(xiàn)這個基本目標并達到令人比較滿意的教學效果，是一個需要不斷認真研究并在教學實踐中努力探索的艱巨任務(wù)；如何達到學生掌握實變函數(shù)的基本概念和基本方法，進而掌握實變函數(shù)的基本技巧并把實變函數(shù)基本理論應(yīng)用于理解其他相關(guān)課程中去，這是實變函數(shù)課程建設(shè)的基本問題。綏化學院開設(shè)實變函數(shù)課程三十多年圍繞上述建設(shè)目標解決上述基本問題進行了不懈的努力，做了一些值得總結(jié)和肯定的工作。本文針對綏化學院實變函數(shù)課程建設(shè)的研究與實踐的若干問題進行討論，以期對綏化學院一類新建地方本科院校實變函數(shù)課程建設(shè)和教學改革起到借鑒作用。

二、綏化學院實變函數(shù)課程建設(shè)的歷史沿革與定位

綏化學院實變函數(shù)課程建設(shè)有很悠久的歷史。學校曾經(jīng)培養(yǎng)1977級數(shù)學專業(yè)本科生，從那一屆學生就開始開設(shè)實變函數(shù)課程了。

1978年，學校進入綏化師范?？茖W校建設(shè)時期，從1980級開始培養(yǎng)三年制數(shù)學教育專業(yè)?？粕?，實變函數(shù)列為必修課程。從1978級到1979級、1986級到1989級，學校培養(yǎng)二年制數(shù)學教育專業(yè)專科生，實變函數(shù)列為專業(yè)選修課程。從1990級到2007級的數(shù)學教育專業(yè)?？粕约?000級以來的數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)本科生，實變函數(shù)一直是專業(yè)必修課程。

為貫徹落實學?！敖ㄔO(shè)應(yīng)用型大學，培養(yǎng)應(yīng)用型人才”的辦學思想，數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)的人才培養(yǎng)方案加強了實踐教學環(huán)節(jié)，幾乎每門課程或削減理論教學時數(shù)而增加實踐教學時數(shù)，或整體上削減教學時數(shù)。從2008級的數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)和信息與計算科學專業(yè)開始，實變函數(shù)課程的計劃教學時數(shù)由原來的72學時減少到54學時。雖然實變函數(shù)課程教學時數(shù)有所減少，然而實變函數(shù)仍然定位在必修課程位置上，實變函數(shù)課程在數(shù)學相關(guān)專業(yè)人才培養(yǎng)方案中的重要地位沒有改變，學校領(lǐng)導(dǎo)和專業(yè)領(lǐng)導(dǎo)以及任課教師對實變函數(shù)課程建設(shè)也一直保持很高的熱情。實變函數(shù)課程于2008年評為校級精品課程，于2009年評為省級精品課程。

三、實變函數(shù)課程建設(shè)的主要工作

1.教師隊伍建設(shè)

實變函數(shù)課程教師隊伍建設(shè)的目標是建設(shè)一支穩(wěn)定的、業(yè)務(wù)功底比較深厚的、教學基本功比較扎實的、科研能力比較強的，職稱、學歷、年齡等結(jié)構(gòu)比較合理的教師隊伍。

實變函數(shù)課程教師隊伍建設(shè)的思路是通過積極進行科學研究和教學研究促進教師科研能力增長，促進教學水平提高；通過集體研究教學內(nèi)容和教學方法及手段改革促進營造合作研究的氛圍，提高合作研究意識。

2.教學內(nèi)容改革

綏化學院實變函數(shù)課程教學內(nèi)容改革的目標是通過教學實踐和研究，把實變函數(shù)課程建設(shè)成為具有某些特色的課程，特色主要在于使實變函數(shù)課程教學內(nèi)容改革模式比較適合于綏化學院一類新建地方本科院校的數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)實變函數(shù)課程的教學；根據(jù)教學實踐中的問題，積極進行教學研究并把研究成果應(yīng)用到教學實踐中去，并在教學實踐中檢驗和改進；經(jīng)過幾輪的教學實踐，制定相對穩(wěn)定的實變函數(shù)課程教學大綱，編寫出版體現(xiàn)教學內(nèi)容改革的教材和學生學習指導(dǎo)書。

在實變函數(shù)課程教學內(nèi)容改革上，遵循體現(xiàn)針對性、把握主體性、突出實踐性、強調(diào)應(yīng)用性的原則，既要滿足本科實變函數(shù)課程教學大綱的基本要求又要保證教學效果。我們在許多方面做了有思考又付諸實踐的工作。以下列舉幾個問題可見實變函數(shù)教學內(nèi)容改革的基本思路。

（1）實變函數(shù)課程研究的主要內(nèi)容和解決的主要問題

搞清楚實變函數(shù)課程研究的主要內(nèi)容和解決的主要問題是什么，這對于剛開始學習實變函數(shù)課程的學生來說是一個十分重要的環(huán)節(jié)，一般來說，這在第一次課的兩個學時便可完成。學生要知道實變函數(shù)的核心研究內(nèi)容是建立一種稱為勒貝格（Lebesgue）積分的新型積分，這是一種與數(shù)學分析課程中的稱為黎曼（Riemann）積分的定積分既有區(qū)別又有聯(lián)系的積分。通過描述勒貝格積分建立的思路與黎曼積分定義的比較，讓學生感受到勒貝格積分也是在解決與黎曼積分相類似的問題中引進的，并且與黎曼積分概念有很大的不同；同時學生知道建立勒貝格積分需要構(gòu)建點集的測度理論，可測函數(shù)和可積函數(shù)的理論，還要使學生知道利用勒貝格積分理論處理數(shù)學分析課程中的相關(guān)問題更具優(yōu)越性和深刻些。學生知道了這些就會在循序漸進的學習過程中有比較明確的目標，會增添學習興趣，提高學習的積極性。

（2）注重理解基本概念，掌握基本方法，訓(xùn)練基本技巧

實變函數(shù)課程教學對于理解基本概念、掌握基本方法、訓(xùn)練基本技巧這樣的問題隨處可見，下面僅舉一例，可見一斑。

證明任意區(qū)間（a,b）,(a,b],[a,b],[a,∞),[a,∞)(-∞,a)，(-∞,a]均具有連續(xù)基數(shù) c(a＜b)。

對于其他區(qū)間，比如（a,∞），可用以下方法，（a,b） （a,∞） R，因為（a,b） 與 R 對等，由Bernstein 定理，（a,∞）與 R對等。

另外區(qū)間的處理可以舉一反三，收到事半功倍的效果。

（3）內(nèi)容順序做必要的調(diào)整

在討論單調(diào)可測集列極限集的可測性時，往往要重溫集合列的極限運算及單調(diào)集列的極限集的結(jié)果，為提高教學效率，把這兩部分內(nèi)容放在一起講授，實踐證明，既省略了不必要的重復(fù)又收到了預(yù)期效果。

講完測度論再討論康托（Cantor）集，可以更全面地研究康托集的性質(zhì)。如果在這之前討論康托集，盡管能夠論證康托集是完備集、康托集沒有內(nèi)點、康托集是疏朗集、康托集是具有連續(xù)基數(shù)的集，但此時不能知道康托集的測度為零，而康托集的測度為零是具有連續(xù)基數(shù)的點集其測度可能為零的一個典型例子。

（4）應(yīng)用比較廣泛的概念要嚴格講解

波萊爾（Borel）集是一個很重要的概念，而且在概率論等課程中經(jīng)常涉及，雖然嚴格定義波萊爾集需要一些預(yù)知概念，然而弄清楚波萊爾集的嚴格定義可以畢其功于一役，學生可以更深刻的理解波萊爾集的概念，并且可以嚴格論證波萊爾集都是勒貝格可測集。對于勒貝格可測集要比波萊爾集多得多的問題，通過講解兩個命題能讓學生看得更清楚，一是直線上所有波萊爾集的集類的基數(shù)是連續(xù)基數(shù)；二是直線上所有勒貝格可測集的集類的基數(shù)是。

（5）注意強調(diào)勒貝格積分的優(yōu)越處及與黎曼積分的不同點

勒貝格積分的優(yōu)越處及與黎曼積分的不同點這樣的問題也很多，比如勒貝格積分理論給出了有界函數(shù)在區(qū)間[a,b]黎曼可積的充分必要條件[1]，這是黎曼積分理論不能解決的問題。

勒貝格積分與黎曼積分的一個典型不同之處是勒貝格可積函數(shù)具有絕對可積性，勒貝格廣義積分沒有條件收斂的概念；而黎曼廣義積分則不然[2]。

類似的這樣問題要注意講解幾個例子，從理論到實踐搞清楚這些問題。

教學方法改革和教學條件建設(shè)

實變函數(shù)課程教學方法改革的思路是解決實現(xiàn)培養(yǎng)規(guī)格及教學大綱要求與教學時數(shù)少的矛盾；解決如何讓學生提高學習效率和效果的問題；解決掌握知識與提高能力協(xié)調(diào)發(fā)展的問題；達到提高師范生教師職業(yè)能力的目的。

實變函數(shù)課程教學方法的設(shè)計思想是從已知概念出發(fā)誘導(dǎo)新的概念和理論，從已知的問題和現(xiàn)象提出和歸納一般性的結(jié)論。使學生懂得抽象概念和理論并非無源之水，無本之木，通過課堂教學，讓學生在潛移默化中學會如何發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。

實變函數(shù)課程教學積極發(fā)揮學生主體作用，通過教學過程中布置閱讀材料和思考題，要求學生撰寫課程學習報告，在習題課上報告交流學習成果，以達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和團隊精神，提高學生實踐能力和教師職業(yè)能力。

教學條件建設(shè)的目標是編寫一部適合綏化學院一類新建地方本科院校數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)使用的教材，并有配套的學習輔導(dǎo)及習題資料；制作相應(yīng)的多媒體教學課件；為學生自學提供充分的、有效的文獻資料或資料清單；建設(shè)一個資源性的實變函數(shù)課程教學網(wǎng)站，建立師生互動平臺。

綏化學院實變函數(shù)課程建設(shè)三十多年了，作為省級精品課程建設(shè)也已經(jīng)三年多了。經(jīng)過學校歷屆領(lǐng)導(dǎo)的重視和支持，課程教學團隊努力工作，取得了一些值得肯定和借鑒的成果和經(jīng)驗。體現(xiàn)教學內(nèi)容和方法改革的自編教材《實變函數(shù)》于2011年由黑龍江大學出版社出版。在資源性網(wǎng)站建設(shè)方面，課程教學大綱、參考書目清單、近幾年的考試試題、評分標準與參考答案、考試情況分析、教學進程安排等都已上網(wǎng)實現(xiàn)資源共享；我們已錄制了三分之一的授課錄像，已經(jīng)上網(wǎng)實現(xiàn)資源共享。

實變函數(shù)省級精品課程建設(shè)，已完成一項學校教育教學改革重點項目，獲得一項學校教學成果一等獎。

[1]劉紹武，莫海平.實變函數(shù)[M].哈爾濱：黑龍江大學出版社，2011.

[2]程其襄,等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2003.