姚阿漫，李文賓

(長安大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

小波分析是上世紀(jì)80年代發(fā)展起來的一種信號(hào)時(shí)間－尺度分析方法，也稱為多分辨率分析，是傅立葉分析發(fā)展史上的重大突破［1］。由于小波分析特別適合將隱含在時(shí)間序列中各種隨時(shí)間變化的周期振蕩清楚地顯現(xiàn)出來，因而在水文領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。本文將小波分析用于石羊河流域徑流量變化趨勢的研究，對(duì)認(rèn)識(shí)石羊河流域徑流量變化特征和為該流域提供水文生態(tài)修復(fù)具有重要參考價(jià)值。

1 研究區(qū)概況

石羊河流域位于甘肅河西走廊東端，河流起源于南部祁連山，消失于巴丹吉林和騰格里沙漠之間的民勤盆地北部。該流域?qū)儆诖箨懶詼貛Ц珊禋夂?，夏季短而炎熱，冬季長而寒冷，整體呈現(xiàn)出干旱少雨，蒸發(fā)強(qiáng)烈，流沙嚴(yán)重的氣候特征。流域多年平均降水量為244.7 mm，降水年內(nèi)分配不均。其河流補(bǔ)給來源為山區(qū)大氣降水和高山冰雪融水，產(chǎn)流面積1.1萬 km2，多年平均徑流量 15.6億 m3。有關(guān)資料顯示［2］，石羊河流域的徑流量距平百分率在觀測年份總體呈下降趨勢，其中50 s徑流量最高，之后逐漸降低，90 s為最低時(shí)期，21世紀(jì)又有了一個(gè)短暫回升。

2 方法介紹［3 －5］

2.1 小波函數(shù)

小波函數(shù)可定義為:設(shè) Ψ(t)∈L2(R)，L2(R)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間，若其傅立葉變換(ω)滿足容許條件:，則稱 Ψ(t)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)。將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移變換，得到連續(xù)小波 Ψa，b(t):

其中a為尺度因子，決定小波周期;為平移因子，反映小波在時(shí)間上的平移。

小波分析常采用Morlet小波作為小波母函數(shù)進(jìn)行小波變換，Morlet小波的基本形式為:

Morlet小波函數(shù)的伸縮尺度與傅立葉分析中的周期有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

將時(shí)間域上的所有小波系數(shù)的平方積分，即小波方差:

小波方差隨尺度的變化過程稱為小波方差圖，它反映了波動(dòng)的能量隨尺度的分布，借此可能確定一個(gè)時(shí)間序列中存在的主要時(shí)間尺度，可以用來分析序列變化的主要周期成分。

2.2 小波變換

具有有限能量的函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換定義為:

其中ψ為ψ的復(fù)共軛函數(shù)，Wf(a，b)稱為小波變換系數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào) f(t)通常都為離散序列，為方便處理，相

的小波變換表示為離散小波變換:應(yīng)

2.3 小波的分解與重構(gòu)

對(duì)于任意函數(shù)f(t)∈L2(R)，我們可以將它分解成低頻部分a1和高頻部分d1，然后把低頻部分進(jìn)一步分解，如此重復(fù)就可以得到任意尺度(或分辨率)上的高頻部分和低頻部分，對(duì)低頻成分和高頻成分進(jìn)行分析，便可以識(shí)別水文時(shí)間序列的變化特性，如趨勢、隨機(jī)、周期等。

水文序列低頻部分代表著水文序列的趨勢，隨著尺度的增加，時(shí)間分辨率降低，水文序列的這種發(fā)展趨勢將更加明顯，同時(shí)由于序列本身的特性，只要進(jìn)行有限尺度的多分辨分析，剩余低頻系數(shù)就可以比較明顯地反映水文時(shí)間序列的趨勢而又不失代表性［5，6］。

3 小波分析的應(yīng)用

3.1 石羊河流域徑流量趨勢的小波分析

選用db3小波函數(shù)［7］，對(duì)石羊河流域 1954－2004年徑流量距平百分率施行Mallat算法快速分解，得到不同尺度下的尺度系數(shù)，將它們分別進(jìn)行重構(gòu)，獲得對(duì)應(yīng)尺度下的低頻序列，由于低頻序列可以較明顯地反映水文序列的趨勢，故在此尺度下可明顯看出變量在時(shí)間序列下的變化趨勢(如圖1)。

圖1 石羊河流域徑流量距平原始信號(hào)及各層重構(gòu)信號(hào)

由圖1可知，原始信號(hào)上下波動(dòng)，在常規(guī)判斷下，無法得出其變化趨勢。當(dāng)小波函數(shù)分解到第5層時(shí)，徑流量在90年代以前(1989年)一直呈下降趨勢，90年代以后相對(duì)平穩(wěn)，無明顯趨勢;當(dāng)分解到第6層時(shí)，徑流量在整個(gè)時(shí)段呈下降趨勢。

3.2 石羊河流域徑流量突變及其周期分析

選用Morlet小波，對(duì)石羊河流域主要河流西營河九條嶺站1954—2004年徑流距平百分率序列施行小波分解，計(jì)算方差，進(jìn)行多時(shí)間尺度分析。

圖2 九條嶺站徑流量距平小波方差圖

圖2反映了能量隨尺度的分布，可以確定一個(gè)時(shí)間序列中各種尺度擾動(dòng)的相對(duì)強(qiáng)度，對(duì)應(yīng)峰值處的尺度稱為該序列的主要時(shí)間尺度，用以反映時(shí)間序列的主要周期。該圖顯示了徑流量小波方差在51年的尺度范圍內(nèi)，存在著以21年尺度為第一峰值的主周期，說明石羊河流域徑流量在21年左右的周期上振蕩最強(qiáng);第二主周期13年和10年的小波方差相等，可以把它們視為一個(gè)周期;在4年尺度上，第三周期已不是很明顯。

圖3 九條嶺站徑流量主周期小波系數(shù)變化曲線

由圖3可知，從21年時(shí)間尺度來看，在51年的時(shí)間序列中，西營河經(jīng)歷了豐 －枯 －豐 －枯四個(gè)歷史階段，在經(jīng)歷了2004年這個(gè)相對(duì)較豐的時(shí)期后，于2010年左右西營河將迎來一個(gè)相對(duì)較枯的時(shí)期，整個(gè)歷史時(shí)期內(nèi)徑流量在1964年、1978年、1990年、2003年發(fā)生了突變。在13年的周期尺度上，徑流的突變點(diǎn)有6個(gè)之多，可以預(yù)測在此尺度上未來徑流量將由豐向枯轉(zhuǎn)化。4年周期由于已處在第三主周期，其周期振蕩已不太強(qiáng)，不過對(duì)不同尺度下周期的分析均可得出與上述分析相同的結(jié)論，這與甘肅省2009年水資源公報(bào)上所顯示的該河正處在相對(duì)偏枯的結(jié)論相符合［8］。

圖4 九條嶺站徑流量距平小波系數(shù)等值線圖

不同時(shí)間尺度下的小波系數(shù)，可以反映系統(tǒng)在該時(shí)間尺度的變化特征:正的小波系數(shù)對(duì)應(yīng)于偏多期，負(fù)的小波系數(shù)對(duì)應(yīng)于偏少期，小波系數(shù)為零對(duì)應(yīng)著突變點(diǎn)，小波系數(shù)絕對(duì)值越大，表明該時(shí)間尺度變化越顯著。從小波系數(shù)等值線圖(圖4)中也可以看出不同尺度下的豐枯位相結(jié)構(gòu)，據(jù)此即可判斷徑流量變異點(diǎn)出現(xiàn)的年份。在21年時(shí)間尺度上周期震蕩非常顯著，年徑流量經(jīng)歷了豐 －枯 －豐 －枯四個(gè)交替循環(huán)，具體表現(xiàn)為:1955—1964年偏豐，震蕩核心不明顯;1965—1976年偏枯，震蕩核心為1970年;1977—1990年偏豐，震蕩核心為1984年;1991—2004年偏枯，震蕩核心為1997年，21年尺度的周期變化表現(xiàn)的非常穩(wěn)定，具有全域性。從13年時(shí)間尺度上來看，該河年徑流量正處在以2005年為振蕩核心的偏豐時(shí)期。這與有關(guān)學(xué)者應(yīng)用Kandell秩次相關(guān)檢驗(yàn)和 R/S分析對(duì)石羊河流域出山口徑流的分析是一致的［9］。

4 結(jié)語

本文采用小波函數(shù)對(duì)石羊河流域徑流量的變化趨勢、突變及其周期進(jìn)行了分析，得出如下結(jié)論:

(1)徑流量在90年代以前(1989年)一直呈下降趨勢，90年代以后相對(duì)平穩(wěn);

(2)徑流量小波方差在51年的尺度范圍內(nèi)，存在著以21年尺度為第一峰值的主周期，說明石羊河流域徑流量在21年左右的周期上振蕩最強(qiáng);

(3)不同時(shí)間尺度下的小波系數(shù)，可以反映系統(tǒng)在該時(shí)間尺度的變化特征。在21年時(shí)間尺度上周期震蕩非常顯著，年徑流量經(jīng)歷了豐 －枯－豐－枯四個(gè)交替循環(huán)。

結(jié)果表明，Morlet小波能夠較好地反映水文時(shí)間序列的周期性質(zhì)，為流域徑流量變化、水文生態(tài)修復(fù)提供一定的理論知識(shí)。由于條件所限，本文僅對(duì)石羊河流域徑流量變化進(jìn)行了分析，對(duì)其他水文要素序列的分析有待進(jìn)一步研究。

［1］孫然好，潘保田，牛最榮，等.河西走廊近年來地表水資源時(shí)間序列的小波分析［J］.干旱區(qū)地理.2005，28(4):455－459.

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［8］甘肅省水利廳.2007－2010年甘肅省水資源公報(bào)［R］.2007－2010.

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