徐升橋，彭嵐平，侯建軍，簡方梁，趙博，李圣強(qiáng)

(中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司，北京 100055)

當(dāng)功能函數(shù)采用最簡單的形式Z=R-S時(shí)，假定R與S相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布，均值和方差分別為μR、μS、σR、σS。根據(jù)概率論的相關(guān)知識，Z 同樣服從正態(tài)分布，其均值μZ和方差σZ可表達(dá)為

1 概述

結(jié)構(gòu)可靠度通常被定義為:結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)、在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的概率。結(jié)構(gòu)的可靠度分析與結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程相聯(lián)系，通常結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)表達(dá)為

式中，Xi為隨機(jī)變量，指影響結(jié)構(gòu)抗力與荷載效應(yīng)的各種因素。當(dāng)Z＞0時(shí)，表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài);Z=0時(shí)處于極限狀態(tài);Z＜0時(shí)處于失效狀態(tài)。

結(jié)構(gòu)的失效概率可通過如下積分求得

當(dāng)功能函數(shù)采用最簡單的形式Z=R-S時(shí)，假定R與S相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布，均值和方差分別為μR、μS、σR、σS。根據(jù)概率論的相關(guān)知識，Z 同樣服從正態(tài)分布，其均值μZ和方差σZ可表達(dá)為

結(jié)構(gòu)的失效概率可等效表達(dá)為

式中，Y為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量;Φ()為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，上式中β值與結(jié)構(gòu)的失效概率一一對應(yīng)，稱之為可靠度指標(biāo)，它表達(dá)的幾何意義為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)中均值距零點(diǎn)的距離。

由式(2)可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)較多時(shí)，結(jié)構(gòu)的失效概率為一多變量函數(shù)在復(fù)雜空間區(qū)域的高維積分，求解相當(dāng)困難，而由前面的簡單推導(dǎo)，可知道當(dāng)功能函數(shù)中的各變量為相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量時(shí)，結(jié)構(gòu)的失效概率與可靠度指標(biāo)有一一對應(yīng)關(guān)系，因此，目前通常采用計(jì)算可靠度指標(biāo)從而間接得到結(jié)構(gòu)失效概率的方法。這種方法隱含功能函數(shù)必須為正態(tài)分布的條件，通常具有近似性，但是當(dāng)采用比較好的近似方法時(shí)，仍然能夠得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

2 工程可靠度求解常用近似方法

目前可靠度計(jì)算存在多種理論，主要包括一次二階矩法［1］、蒙特卡羅法［1］、響應(yīng)面法［1］等，應(yīng)用最為廣泛的為一次二階矩法，包括均值一次二階矩法(中心點(diǎn)法)、改進(jìn)的一次二階矩法(驗(yàn)算點(diǎn)法)。

一次二階矩法的基本思想可概括為:將功能函數(shù)Z=g(X1，X2，X3，…，Xn)在某一點(diǎn) Taylor級數(shù)展開，忽略高階項(xiàng)，然后利用基本變量的一階矩及二階矩求得Z的均值及方差。中心點(diǎn)法與驗(yàn)算點(diǎn)法的差別主要體現(xiàn)在展開點(diǎn)的不同。

2.1 中心點(diǎn)法

中心點(diǎn)法將功能函數(shù)在各均值點(diǎn)展開，形成的功能函數(shù)的近似值如下Z ≈ g(μX1，μX2，μX3，…，μXn)+

可得Z的均值與方差分別為

從而得到結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)為

中心點(diǎn)法的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡便，只需知道基本變量的均值與方差，即可求得功能函數(shù)的可靠度指標(biāo);存在的主要問題:對于同一結(jié)構(gòu)構(gòu)件的同一功能需求，采用不同的功能函數(shù)，所得可靠度指標(biāo)可能不同;另外，功能函數(shù)在均值點(diǎn)展開可能帶來較大的誤差。

2.2 驗(yàn)算點(diǎn)法

針對中心點(diǎn)法的不足，驗(yàn)算點(diǎn)法將展開點(diǎn)取為對結(jié)構(gòu)最不利的各隨機(jī)變量的取值點(diǎn)，設(shè)驗(yàn)算點(diǎn)的坐標(biāo)為 m=(X*1，X*2，X*3，…，X*n)，則

則Z的均值與方差為

結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)表達(dá)為

對于若干相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量，驗(yàn)算點(diǎn)位于極限狀態(tài)曲面上，在原坐標(biāo)系的坐標(biāo)應(yīng)為

式中，αi為靈敏度系數(shù)，意義為第i個(gè)隨機(jī)變量對整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，表達(dá)如下

通過式(11)～式(14)的不斷迭代，最終使得m點(diǎn)位于極限狀態(tài)曲面上，求得β值，驗(yàn)算點(diǎn)法將展開點(diǎn)取在極限狀態(tài)曲面上，提高了β值的計(jì)算精度，并且保證了對同一結(jié)構(gòu)β值的唯一性。

2.3 可靠性指標(biāo)β值計(jì)算程序

為了方便研究人員計(jì)算按現(xiàn)行“鐵路橋規(guī)”(TB10002)設(shè)計(jì)的橋梁結(jié)構(gòu)的β值，采用C++語言編制了基于中心點(diǎn)法和驗(yàn)算點(diǎn)法的β值計(jì)算程序(圖1)，共考慮了4種功能函數(shù)。

3 混凝土橋梁正截面抗彎承載力可靠度指標(biāo)

3.1 正截面抗彎承載能力功能函數(shù)

式中 MR——構(gòu)件能夠承擔(dān)的截面彎矩;

MS——荷載產(chǎn)生的截面彎矩。

圖1 可靠性指標(biāo)β值計(jì)算程序界面

3.2 荷載

式中 KGC——恒載計(jì)算模式不定性系數(shù)，N(1，0.072);

KQC——活載計(jì)算模式不定性系數(shù)，N(1.0，0.102);

MG1——一期恒載產(chǎn)生的彎矩;

MG2——二期恒載產(chǎn)生的彎矩;

MG3——列車活載產(chǎn)生的彎矩。

(1)恒載

橋梁恒載與設(shè)計(jì)值之比服從正態(tài)分布(表1)

表1 恒載參數(shù)統(tǒng)計(jì)值

(2)列車活載

服從對數(shù)正態(tài)分布，列車活載考慮偏差、超載、沖擊的影響

式中 Kh——列車豎向靜載模型不確定性系數(shù)，N(0.961 86，0.037 132);

Ks——偏載系數(shù)，服從三角分布，數(shù)學(xué)期望值為1.0，均方差為0.013 01;

Kμ——?jiǎng)恿ο禂?shù)，N ［(1.00+1.176/(-0.2))，(0.024+0.22/(-0.2))2］;

Mh——列車活載彎矩。

3.3 抗力

式中 KP——抗力計(jì)算模式不定性系數(shù);

fsst——鋼筋的抗拉強(qiáng)度;

fcst——混凝土軸心抗壓強(qiáng)度;

As——受拉鋼筋面積;

B——混凝土截面上翼緣計(jì)算寬度。

混凝土、預(yù)應(yīng)力筋、梁體幾何尺寸的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表2～表4，計(jì)算不定性系數(shù)服從正態(tài)分布，其均值為1.05，變異系數(shù)為0.064 7。

表2 混凝土軸心抗壓強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表3 預(yù)應(yīng)力筋抗拉強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表4 梁體幾何尺寸統(tǒng)計(jì)參數(shù)

3.4 可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

現(xiàn)行鐵道部預(yù)應(yīng)力混凝土梁通用參考圖的β值計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 正截面抗彎承載力可靠度指標(biāo)(32 m跨度)

4 鋼梁承載力可靠度指標(biāo)校核

極限狀態(tài)方程為

式中 R——桿件抗力，服從對數(shù)正態(tài)分布;

D——恒載引起的桿件內(nèi)力，服從正態(tài)分布;

Qh——活載引起的桿件內(nèi)力，服從對數(shù)正態(tài)分布;

η——活載發(fā)展系數(shù)。

近年設(shè)計(jì)的下承式道砟橋面簡支鋼桁梁跨度、結(jié)構(gòu)形式見表6，表7～表13中、V和σ分別為各隨機(jī)變量的均值、變異系數(shù)和均方差。

表6 下承式道砟橋面簡支鋼桁梁跨度、結(jié)構(gòu)形式

(1)64 m單線鋼桁梁概圖見圖2，桿件β計(jì)算結(jié)果見表7。

圖2 64 m單線有豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

表7 64 m單線鋼桁梁桿件β值

(2)80 m單線鋼桁梁概圖見圖3，桿件β計(jì)算結(jié)果見表8。

圖3 80 m單線有豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

表8 64 m單線鋼桁梁桿件β值

(3)64 m雙線鋼桁梁概圖見圖4，桿件β計(jì)算結(jié)果見表9。

圖4 64 m雙線無豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

(4)80 m雙線鋼桁梁概圖見圖5，桿件β計(jì)算結(jié)果見表10。

(5)80 m雙線重載鋼桁梁概圖見圖6，桿件β計(jì)算結(jié)果見表11。

表9 64 m雙線鋼桁梁桿件β值

圖5 80 m雙線無豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

表10 80 m雙線鋼桁梁桿件β值

圖6 80 m雙線重載無豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

表11 80 m雙線重載鋼桁梁桿件β值

(6)96 m雙線重載鋼桁梁概圖見圖7，桿件β計(jì)算結(jié)果見表12。

圖7 96 m雙線重載無豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

表12 96 m雙線重載鋼桁梁桿件β值

(7)128 m雙線重載鋼桁梁概圖見圖8，桿件β計(jì)算結(jié)果見表13。

圖8 128 m雙線重載無豎桿三角桁架結(jié)構(gòu)(單位:m)

表13 128 m雙線重載鋼桁梁桿件β值

5 鋼-混結(jié)合梁承載力可靠度指標(biāo)校核

鋼-混結(jié)合梁橋的計(jì)算模式不定性系數(shù)KΩR取值:計(jì)算彎矩時(shí) UΩR=1.03、VΩR=0.05，計(jì)算剪力時(shí) UΩR=1.03、VΩR=0.11。

選取時(shí)速250 km客貨共線鐵路上承式簡支結(jié)合梁(雙線)(圖號:專橋(2011)0225—Ⅵ)和時(shí)速250 km客運(yùn)專線有砟軌道鋼-混凝土連續(xù)結(jié)合梁(雙線)圖號(通橋(2005)0243)來計(jì)算跨中彎矩和支點(diǎn)處剪力的β值?？缍确謩e為40 m和(32+48+32)m，鋼和混凝土結(jié)合前后的主梁跨中彎矩及支點(diǎn)處剪力的β值見表14、表15。

表14 40 m簡支鋼-混結(jié)合梁β值

表15 (32+48+32)m連續(xù)鋼-混結(jié)合梁β值

6 鋼管混凝土結(jié)構(gòu)承載力可靠度指標(biāo)

6.1 軸心受壓、純彎構(gòu)件功能函數(shù)

根據(jù)《鐵路橋梁鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》［1］，軸壓下的強(qiáng)度計(jì)算公式為

相應(yīng)鋼管混凝土構(gòu)件軸壓可靠度指標(biāo)的功能函數(shù)可表達(dá)為

式中，N為荷載產(chǎn)生的效應(yīng)，當(dāng)僅考慮自重、二期恒載等恒載效應(yīng)及列車活載效應(yīng)時(shí)，上式可進(jìn)一步改寫為

式中，NG1為自重效應(yīng)產(chǎn)生的軸壓效應(yīng)，NG2為二期恒載產(chǎn)生的軸壓效應(yīng)，NT為列車活載產(chǎn)生的軸壓效應(yīng)。

對于純彎構(gòu)件，只需將上述公式中的軸力用彎矩代替即可。

6.2 工程實(shí)例計(jì)算

鄂爾多斯鐵路機(jī)場線烏蘭木倫河特大橋基本結(jié)構(gòu)形式為(54+60+54)m、(60+72+60)m三跨鋼管混凝土空間桁架組合連續(xù)曲梁(圖9)，曲線半徑為700 m。結(jié)構(gòu)采用鋼管混凝土與混凝土橋面板通過腹桿連接形成空間受力體系。橋面至鋼管混凝土中心高5.2 m，一個(gè)節(jié)間為6 m，橋面板寬12.6 m。下弦桿為單根鋼管混凝土，管外徑1.2 m，管壁厚在中間支點(diǎn)左右一個(gè)節(jié)間范圍內(nèi)為60 mm、其他區(qū)域?yàn)?0 mm;腹桿采用工字鋼，工字鋼的斷面根據(jù)受力需要分為3種形式;橋面板中間板厚350 mm，與腹桿相接處局部加厚至900 mm，腹桿支承外側(cè)懸臂3.4 m。橋面板通過施加縱向及橫向預(yù)應(yīng)力保證受力安全。腹桿與下弦鋼管混凝土之間采用節(jié)點(diǎn)板栓接，腹桿與橋面板之間采用剪力釘連接。主梁橫斷面見圖10。

圖9 主梁半立面(單位:mm)

圖10 主梁斷面(單位:mm)

(1)軸壓抗力

根據(jù)《鐵路橋梁鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》［2］，軸壓構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算公式為

式中，k為強(qiáng)度安全系數(shù);fs為鋼材屈服強(qiáng)度;As為鋼管截面面積;fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度;Ac為混凝土截面面積;φ為鋼管混凝土壓桿穩(wěn)定系數(shù)［2，3］;C2為鋼管混凝土強(qiáng)度計(jì)算系數(shù)［2，3］。

根據(jù)前述抗力分析的影響因素，引入各隨機(jī)變量，可將式(24)改寫為

烏蘭木倫河橋三角桁架鋼管混凝土構(gòu)件，鋼管混凝土外徑為1.2 m，鋼管厚度為0.05 m與0.06 m兩種，其中鋼管材質(zhì)采用Q370，混凝土強(qiáng)度等級為C60，則其截面抗力的均值、方差、變異系數(shù)計(jì)算見表16～表20。

表16 鋼管混凝土軸壓基本計(jì)算參數(shù)

根據(jù)前述影響抗力的相關(guān)隨機(jī)因素，取隨機(jī)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值如表17所示。

表17 鋼管混凝土軸壓幾何及材料不定性參數(shù)

表18 未考慮計(jì)算模式不定性軸壓抗力參數(shù)

表19 計(jì)算模式不定性統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表20 軸壓綜合抗力均值與變異系數(shù)

(2)純彎抗力

根據(jù)《鐵路橋梁鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》［2］，純彎構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算公式為

式中，k為強(qiáng)度安全系數(shù);γm為鋼管混凝土截面抗彎塑性發(fā)展系數(shù)［1，2］;Wm為截面抗彎模量，取為πD3/32;C0為鋼管混凝土強(qiáng)度計(jì)算系數(shù)［1，2］;fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度。

同樣引入幾何及材料不定性隨機(jī)變量，將式(30)改寫為

則

烏蘭木倫河橋的截面彎曲抗力的均值、方差、變異系數(shù)計(jì)算見表21～表25。

表21 鋼管混凝土抗彎基本計(jì)算參數(shù)

表22 鋼管混凝土抗彎幾何及材料不定性參數(shù)

表23 未考慮計(jì)算模式不定性純彎抗力參數(shù)

表24 計(jì)算模式不定性統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表25 純彎綜合抗力均值與變異系數(shù)

(3)荷載效應(yīng)

恒載效應(yīng)綜合變量為NG，活載綜合隨機(jī)變量為NV，則功能函數(shù)可寫為:

恒載效應(yīng)表達(dá)如下

式中 KG1——恒載計(jì)算模式不定性系數(shù);

KG2——恒載的作用系數(shù);

KG13——自重實(shí)際荷載與理論值的比值系數(shù);

KG23——實(shí)際二恒與理論二恒的比值。

活載效應(yīng)分別可表達(dá)為

式中 Kv——?jiǎng)恿奢d計(jì)算模式不定性系數(shù);

Kh——實(shí)際運(yùn)營活載與標(biāo)準(zhǔn)活載的比值系數(shù);

NTk——活載產(chǎn)生的軸力。

恒載與活載的計(jì)算參數(shù)見表26。

表26 恒載與活載計(jì)算參數(shù)

烏蘭木倫河橋的軸力、彎矩計(jì)算結(jié)果和荷載效應(yīng)見表27～表30。

表27 鋼管混凝土中支點(diǎn)截面各工況下軸力

表28 鋼管混凝土中支點(diǎn)截面荷載效應(yīng)

表29 鋼管混凝土中支點(diǎn)截面各工況下彎矩

表30 鋼管混凝土中支點(diǎn)截面彎矩荷載效應(yīng)

(4)可靠度指標(biāo)β值

利用上述自編β值計(jì)算程序，計(jì)算得到可靠性指標(biāo)如表31、表32所示。

表31 鋼管混凝土中支點(diǎn)截面軸壓β值

表32 鋼管混凝土中支點(diǎn)截面純彎β值

7 結(jié)語

綜上所述，可知:現(xiàn)行“預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁”(箱梁、T梁)鐵道部通用設(shè)計(jì)圖的可靠性指標(biāo) β值在6.37～7.63;道砟橋面“簡支鋼桁梁”通用設(shè)計(jì)圖的桿件最小可靠性指標(biāo)β值在4.65～8.34;道砟橋面“鋼-混結(jié)合梁”通用設(shè)計(jì)圖的可靠性指標(biāo)β值在10.8～12.8;鋼管混凝土連續(xù)組合梁的可靠性指標(biāo)β值在4.41～6.04。

在鐵路橋梁中，小橋涵、斜交剛構(gòu)-連續(xù)梁以及橋面板等均采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，根據(jù)1991年的研究成果［4，5］，這類結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo) β 值在 4.53 ～6.64。綜合以上預(yù)應(yīng)力混凝土梁、鋼桁梁、鋼-混凝土結(jié)合梁、鋼管混凝土和鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的校準(zhǔn)可靠性指標(biāo)β值，按現(xiàn)行“鐵路橋規(guī)”(TB10002)設(shè)計(jì)的橋梁結(jié)構(gòu)能滿足“可靠度橋規(guī)”［6］的要求，對于安全等級二級結(jié)構(gòu)［6］的目標(biāo)可靠性指標(biāo)β值宜為:塑性破壞時(shí)4.2或4.5，脆性破壞時(shí)提高0.5(即4.7或5.0)。

［1］貢金鑫，魏巍巍.工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)原理［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

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