鄭世旺

（商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘 476000）

1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動(dòng)力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù)，他建立了一類新型運(yùn)動(dòng)微分方程被稱為Tzénoff方程。我國(guó)學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[1]、變質(zhì)量系統(tǒng)[2]、變質(zhì)量高階非完整系統(tǒng)[3]，在專著[4]中又推出了廣義Tzénoff函數(shù)和廣義Tzénoff方程.對(duì)稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的守恒量更能揭示深刻的物理規(guī)律，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量之間具有一定的內(nèi)在關(guān)系[5]。近年來，對(duì)稱性與守恒量的研究已經(jīng)成為力學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的一個(gè)非常活躍的課題，且已經(jīng)取得重要研究成果[6-21]，這些成果大都是借助于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)、Hamilton函數(shù)和Appell函數(shù)來求系統(tǒng)的守恒量，其實(shí)在分析力學(xué)中有多種運(yùn)動(dòng)微分方程，其中最為簡(jiǎn)捷的是Tzénoff方程，只要給出系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)，研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是比較方便的.目前，Tzénoff方程的對(duì)稱性與守恒量的研究也有了一些初步成果[22-29]，得到了Tzénoff方程Mei對(duì)稱性和Mei對(duì)稱性間接導(dǎo)致的守恒量。研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程的對(duì)稱性及其守恒規(guī)律，給出了導(dǎo)出守恒量的必要條件和守恒量的函數(shù)表達(dá)式，最后舉例說明了研究結(jié)果的應(yīng)用.

1 完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由 n個(gè)廣義坐標(biāo) qs（s＝1，…，n）來確定，系統(tǒng)的 Tzénoff函數(shù)為[17]：

通過（2）式可求出所有廣義加速度：

2 Tzénoff方程的Noether對(duì)稱性及其守恒規(guī)律

取時(shí)間和坐標(biāo)的群的無限小變換

Noether對(duì)稱性是Hamilton作用量在無限小變換下的一種不變性,所以研究Noether對(duì)稱性必須知道系統(tǒng)的Lagrange函數(shù),而 Tzénoff方程中只給出 Tzénoff函數(shù),所以尋找 Tzénoff方程的Noether對(duì)稱性及其守恒量，必須將Tzénoff方程變換成Lagrange方程，以找出系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)。對(duì)給定的Tz-énoff函數(shù) K 有：

采用文獻(xiàn)[6]的方法可求出Tzénoff方程所對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)

于是有：

定理1：對(duì)于Tzénoff方程所對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù),如果存在規(guī)范函數(shù)G=G(t,q)使無限小生成元ξ0，ξs，滿足恒等式

那么Tzénoff方程具有Noether對(duì)稱性,同時(shí)直接導(dǎo)致守恒量：

3 Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性及其守恒規(guī)律

用變換后的動(dòng)力學(xué)函數(shù)代替變換前的動(dòng)力學(xué)函數(shù),若系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式保持不變,則稱系統(tǒng)具有Mei對(duì)稱性。于是有

定義：如果用變換后的Tzénoff函數(shù)K*代替變換前的函數(shù)K時(shí)，方程（2）的形式保持不變，那么這種不變性稱為Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性。

根據(jù)定義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性可以寫成下列形式：

把（6）式代入方程（10）并注意方程（2）有

判據(jù)：對(duì)于完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)K，若無限小生成元 ξ0，ξs滿足方程

則Tzénoff方程具有Mei對(duì)稱性。

我國(guó)學(xué)者對(duì)Mei對(duì)稱性進(jìn)行了大量研究,一般是借助于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)或Hamilton函數(shù)來求系統(tǒng)的守恒量。我們企圖利用Tzénoff方程和Tzénoff函數(shù)通過Mei對(duì)稱性來尋找一種新的守恒量.

定理2：對(duì)于完整力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的生成元ξ0，ξs，如果能找到規(guī)范函數(shù)G滿足如下結(jié)構(gòu)方程

證明：對(duì)（14）式求導(dǎo)并考慮到在Mei對(duì)稱性情況下判據(jù)方程（11）成立，有:

4 應(yīng)用例子

例：已知完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為：

試研究該力學(xué)系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性及其所對(duì)應(yīng)的新守恒量。

解：把 Tzénoff函數(shù)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的 Tzénoff方程（2）得：

所以該力學(xué)系統(tǒng)有關(guān)系式：

把 Tzénoff函數(shù)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的 Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的判據(jù)方程（12）得：

可找到Mei對(duì)稱性的生成元

由生成元（17），有 X（1）（K）=0，只能得到平凡守恒量 I=0。由生成元（18）并考慮到（15）式，有：

把上面的各關(guān)系式代入結(jié)構(gòu)方程（13），又由于該系統(tǒng)有關(guān)系式（15），可得到規(guī)范函數(shù)：

把式（18）和式（19）代入式（14），并注意式（15）可得到系統(tǒng)Tzénoff方程的新守恒量：

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