王 烈,陳斯養(yǎng)
WANG Lie,CHEN Siyang
陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710062
College of Mathematic and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China
近年來,許多學者對差分模型的動力學性質進行了廣泛的研究,獲得了非常豐富的成果。文獻[1-6]對自治差分模型的動力學性質進行了研究;文獻[7-8]研究非自治的差分競爭模型的持久性和穩(wěn)定性;文獻[9-12]研究了非自治的差分捕食模型,獲得了模型穩(wěn)定性和持久性的條件。陳鳳德等[11]研究了如下非自治的離散捕食模型:
其中 i=1,2,…,n,j=1,2,…,m 。
最近的研究表明,Beddington-DeAngelis功能性反應函數(shù)可以更好地刻畫多個食餌和捕食者的種群密度增長情況,因此文獻[13-16]討論了該功能性反應函數(shù)在一些食餌-捕食者模型中的應用。
基于以上研究,本文研究如下具有Beddington-DeAngelis功能性反應和時滯的離散捕食系統(tǒng):
其中 i=1,2,…,n,j=1,2,…,m 。 xi(k)是第 i個食餌種群的種群密度,yj(k)是第 j個捕食者種群的種群密度。參數(shù) bi(k),hil(k),ail(k),cij(k),αij(k),βij(k),γij(k),dij(k),ejl(k),gjl(k)和rj(k)均為有界非負數(shù)列。參數(shù) τil,τ*jl是正整數(shù)。
考慮到系統(tǒng)生物學意義,系統(tǒng)式(2)滿足如下的初始條件:
其中 k∈{-τ,-τ+1,…,0},?i(k)和 ψj(k)均為實值有界數(shù)列,τ=max{。
為討論方便,對任一有界數(shù)列{x(k)},引入如下記號:
如果存在兩個正數(shù)m和M ,使得系統(tǒng)式(2)的任一正解 (x1(k),x2(k),…,xn(k), y1(k),y2(k),…,ym(k))滿足:
其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,則稱系統(tǒng)式(2)是持久的。
命題2.1系統(tǒng)式(2)的任一正解滿足:
證明 首先假設存在一個k0,使得 xi(k0+1)≥xi(k0)成立。則從系統(tǒng)式(2)的第i個等式可知:
其中,A0=αil(k0)+βil(k0)xi(k0)+γil(k0)yl(k0)。
對式(5)進行移項放縮,可得:
當x>0時,不等式 x≤exp(x-1)恒成立,從而可得0<≤exp(-1);如果參數(shù)a,b>0,則有如下結論:
由以上兩個結論和式(6)可得:
如下使用反證法證明當k0≤k<+∞時,xi(k)≤Si成立。假設存在最小的正整數(shù) k?0> k0,滿足 xi(k?0)> Si,則可知 k?0≥k0+2 且 xi(k?0-1)≤ Si< xi(k?0)。由式(7)和 xi(k?0-1)≤Si可知 xi(k?0)≤Si,與假設矛盾。因此當 k0≤k<+∞ 時,xi(k)≤Si成立。
其次假設 xi(k)>xi(k+1)對所有 k∈N都成立,且記系統(tǒng)式(2)的第i個等式取極限,可知:
但是,當k足夠大時,可知:
綜合如上的討論可知,命題2.1成立。
利用命題2.1的證明思想、方法,可給出如下命題2.2~命題2.4,并將其證明過程略去。
命題2.2假設如下條件成立:
則系統(tǒng)式(2)的任一正解滿足:
設
其中 i=1,2,…,n。
命題2.3假設條件(H1)和以下條件:
成立。則系統(tǒng)式(2)的任一正解滿足:
設
其中 j=1,2,…,m。
命題2.4 假設條件(H1)、(H2)和以下條件:
成立。則對系統(tǒng)式(2)的任一正解滿足:
應用命題2.1~命題2.4,可得系統(tǒng)式(2)持久的結論:
定理2.1 假設條件(H1)~(H3)成立,則系統(tǒng)式(2)是持久的。
顯然,集合:
是系統(tǒng)式(2)的不變集。
在本章中使用估值法對系統(tǒng)式(2)的穩(wěn)定性進行討論。
令
其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,m。
定理3.1假設條件(H1)~(H3)成立。如果如下條件滿足:
則系統(tǒng)式(2)的任意兩個解滿足:
其中i=1,2,…,m,j=1,2,…,n。
證明設
將其代入系統(tǒng)式(2),可得:
其中
對式(20)和式(21)進行化簡,可得:
對任意足夠小的 ε>0,結合(H4)和(H5),可得:
其中
其中
根據(jù)命題2.1~命題2.4,可知存在一個k*∈N,對所有k≥k*滿足:其中 i=1,2,…,n, j=1,2,…,m 。
由于 θl(k),ξl(k)∈[0,1],從而可知 x?i(k)exp[θi(k)ui(k)]位于 x?i(k)和 xi(k)之間,y?j(k)exp[ξj(k)vj(k)]位于 y?j(k)和 yj(k)之間。
由式(22)~(26),可知:
式(27)和式(28)可知,當 k≥k*時,
從而可得:
即
在本章中,進一步討論當系統(tǒng)式(2)中的參數(shù)出現(xiàn)周期的情況。引入如下假設:
(H6)bi(k),hil(k),ail(k),cij(k),αij(k),βij(k),γij(k),dij(k),ejl(k),gjl(k)和rj(k)是周期為ω>0的正有界數(shù)列。
定理4.1 假設條件(H1)~(H3)和(H6)成立,則系統(tǒng)式(2)至少存在一個具有周期為ω>0的正周期解(x?1(k),x?2(k), …, x?n(k), y?1(k), y?2(k), …, y?m(k))。
證明 在不變集Dn+m上定義映射F,其表達式為:
由于映射F是連續(xù)的,而且是定義在緊集Dn+m上一個自身到自身的映射,由不動點原理可知,映射F具有一個不動點,即系統(tǒng)式(2)在集合Dn+m上至少存在一個具有周期為ω的正周期解。
根據(jù)命題2.1~命題2.4和定理4.1,可得如下結論:
定理4.2 假設條件(H1)~(H3)和(H6)成立,則系統(tǒng)式(2)存在一個周期為ω>0的正周期解,而且該周期解是全局穩(wěn)定的。
本文對一類帶有Beddington-DeAngelis功能性反應和時滯的多維離散食餌-捕食系統(tǒng)進行了研究。首先利用差分方程的比較原理,對模型的任一正解的上下界進行了估值,得到模型持久性的充分條件。其次應用估值方法推導得到系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的充分條件。最后,討論了模型參數(shù)出現(xiàn)周期的情況,使用不動點理論證明了系統(tǒng)周期解的存在性和全局穩(wěn)定性。研究結果表明Beddington-DeAngelis功能性反應對模型的持久性和全局穩(wěn)定性的充分條件有著重要的影響,但還需進一步討論時滯對模型動力學行為的影響。
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