王 烈，陳斯養(yǎng)

WANG Lie,CHEN Siyang

陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，西安 710062

College of Mathematic and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

1 引言

近年來，許多學者對差分模型的動力學性質進行了廣泛的研究，獲得了非常豐富的成果。文獻[1-6]對自治差分模型的動力學性質進行了研究；文獻[7-8]研究非自治的差分競爭模型的持久性和穩(wěn)定性；文獻[9-12]研究了非自治的差分捕食模型，獲得了模型穩(wěn)定性和持久性的條件。陳鳳德等[11]研究了如下非自治的離散捕食模型：

其中 i=1，2，…，n，j=1，2，…，m 。

最近的研究表明，Beddington-DeAngelis功能性反應函數(shù)可以更好地刻畫多個食餌和捕食者的種群密度增長情況，因此文獻[13-16]討論了該功能性反應函數(shù)在一些食餌-捕食者模型中的應用。

基于以上研究，本文研究如下具有Beddington-DeAngelis功能性反應和時滯的離散捕食系統(tǒng)：

其中 i=1，2，…，n，j=1，2，…，m 。 xi(k)是第 i個食餌種群的種群密度，yj(k)是第 j個捕食者種群的種群密度。參數(shù) bi(k)，hil(k)，ail(k)，cij(k)，αij(k)，βij(k)，γij(k)，dij(k)，ejl(k)，gjl(k)和rj(k)均為有界非負數(shù)列。參數(shù) τil，τ*jl是正整數(shù)。

考慮到系統(tǒng)生物學意義，系統(tǒng)式（2）滿足如下的初始條件：

其中 k∈{-τ，-τ+1，…，0}，?i(k)和 ψj(k)均為實值有界數(shù)列，τ=max{。

為討論方便，對任一有界數(shù)列{x(k)}，引入如下記號：

2 系統(tǒng)式（2）的持久性

如果存在兩個正數(shù)m和M ，使得系統(tǒng)式（2）的任一正解 (x1(k)，x2(k)，…，xn(k)， y1(k)，y2(k)，…，ym(k))滿足：

其中i=1，2，…，n，j=1,2,…,m，則稱系統(tǒng)式（2）是持久的。

命題2.1系統(tǒng)式（2）的任一正解滿足：

證明 首先假設存在一個k0，使得 xi(k0+1)≥xi(k0)成立。則從系統(tǒng)式（2）的第i個等式可知：

其中，A0=αil(k0)+βil(k0)xi(k0)+γil(k0)yl(k0)。

對式（5）進行移項放縮，可得：

當x＞0時，不等式 x≤exp(x-1)恒成立，從而可得0＜≤exp(-1)；如果參數(shù)a，b＞0，則有如下結論：

由以上兩個結論和式（6）可得：

如下使用反證法證明當k0≤k＜+∞時，xi(k)≤Si成立。假設存在最小的正整數(shù) k?0＞ k0，滿足 xi(k?0)＞ Si，則可知 k?0≥k0+2 且 xi(k?0-1)≤ Si＜ xi(k?0)。由式（7）和 xi(k?0-1)≤Si可知 xi(k?0)≤Si，與假設矛盾。因此當 k0≤k＜+∞ 時，xi(k)≤Si成立。

其次假設 xi(k)＞xi(k+1)對所有 k∈N都成立，且記系統(tǒng)式（2）的第i個等式取極限，可知：

但是，當k足夠大時，可知：

綜合如上的討論可知，命題2.1成立。

利用命題2.1的證明思想、方法，可給出如下命題2.2～命題2.4，并將其證明過程略去。

命題2.2假設如下條件成立：

則系統(tǒng)式（2）的任一正解滿足：

設

其中 i=1，2，…，n。

命題2.3假設條件（H1）和以下條件：

成立。則系統(tǒng)式（2）的任一正解滿足：

設

其中 j=1，2，…，m。

命題2.4 假設條件（H1）、（H2）和以下條件：

成立。則對系統(tǒng)式（2）的任一正解滿足：

應用命題2.1～命題2.4，可得系統(tǒng)式（2）持久的結論：

定理2.1 假設條件（H1）～（H3）成立，則系統(tǒng)式（2）是持久的。

顯然，集合：

是系統(tǒng)式（2）的不變集。

3 系統(tǒng)式（2）的全局穩(wěn)定性

在本章中使用估值法對系統(tǒng)式（2）的穩(wěn)定性進行討論。

令

其中i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。

定理3.1假設條件（H1）～（H3）成立。如果如下條件滿足：

則系統(tǒng)式（2）的任意兩個解滿足：

其中i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

證明設

將其代入系統(tǒng)式（2），可得：

其中

對式（20）和式（21）進行化簡，可得：

對任意足夠小的 ε＞0，結合（H4）和（H5），可得：

其中

其中

根據(jù)命題2.1～命題2.4，可知存在一個k*∈N，對所有k≥k*滿足：其中 i=1，2，…，n， j=1，2，…，m 。

由于 θl(k)，ξl(k)∈[0，1]，從而可知 x?i(k)exp[θi(k)ui(k)]位于 x?i(k)和 xi(k)之間，y?j(k)exp[ξj(k)vj(k)]位于 y?j(k)和 yj(k)之間。

由式（22）～（26），可知：

式（27）和式（28）可知，當 k≥k*時，

從而可得：

即

4 周期解的存在性和穩(wěn)定性

在本章中，進一步討論當系統(tǒng)式（2）中的參數(shù)出現(xiàn)周期的情況。引入如下假設：

（H6）bi(k)，hil(k)，ail(k)，cij(k)，αij(k)，βij(k)，γij(k)，dij(k)，ejl(k)，gjl(k)和rj(k)是周期為ω＞0的正有界數(shù)列。

定理4.1 假設條件（H1）～（H3）和（H6）成立，則系統(tǒng)式（2）至少存在一個具有周期為ω＞0的正周期解(x?1(k)，x?2(k)， …， x?n(k)， y?1(k)， y?2(k)， …， y?m(k))。

證明 在不變集Dn+m上定義映射F，其表達式為：

由于映射F是連續(xù)的，而且是定義在緊集Dn+m上一個自身到自身的映射，由不動點原理可知，映射F具有一個不動點，即系統(tǒng)式（2）在集合Dn+m上至少存在一個具有周期為ω的正周期解。

根據(jù)命題2.1～命題2.4和定理4.1，可得如下結論：

定理4.2 假設條件（H1）～（H3）和（H6）成立，則系統(tǒng)式（2）存在一個周期為ω＞0的正周期解，而且該周期解是全局穩(wěn)定的。

5 結論

本文對一類帶有Beddington-DeAngelis功能性反應和時滯的多維離散食餌-捕食系統(tǒng)進行了研究。首先利用差分方程的比較原理，對模型的任一正解的上下界進行了估值，得到模型持久性的充分條件。其次應用估值方法推導得到系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的充分條件。最后，討論了模型參數(shù)出現(xiàn)周期的情況，使用不動點理論證明了系統(tǒng)周期解的存在性和全局穩(wěn)定性。研究結果表明Beddington-DeAngelis功能性反應對模型的持久性和全局穩(wěn)定性的充分條件有著重要的影響，但還需進一步討論時滯對模型動力學行為的影響。

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