王 烈，陳斯養(yǎng)

WANG Lie,CHEN Siyang

陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

College of Mathematic and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

1 引言

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)差分模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了廣泛的研究，獲得了非常豐富的成果。文獻(xiàn)[1-6]對(duì)自治差分模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[7-8]研究非自治的差分競(jìng)爭(zhēng)模型的持久性和穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[9-12]研究了非自治的差分捕食模型，獲得了模型穩(wěn)定性和持久性的條件。陳鳳德等[11]研究了如下非自治的離散捕食模型：

其中 i=1，2，…，n，j=1，2，…，m 。

最近的研究表明，Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)函數(shù)可以更好地刻畫(huà)多個(gè)食餌和捕食者的種群密度增長(zhǎng)情況，因此文獻(xiàn)[13-16]討論了該功能性反應(yīng)函數(shù)在一些食餌-捕食者模型中的應(yīng)用。

基于以上研究，本文研究如下具有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)和時(shí)滯的離散捕食系統(tǒng)：

其中 i=1，2，…，n，j=1，2，…，m 。 xi(k)是第 i個(gè)食餌種群的種群密度，yj(k)是第 j個(gè)捕食者種群的種群密度。參數(shù) bi(k)，hil(k)，ail(k)，cij(k)，αij(k)，βij(k)，γij(k)，dij(k)，ejl(k)，gjl(k)和rj(k)均為有界非負(fù)數(shù)列。參數(shù) τil，τ*jl是正整數(shù)。

考慮到系統(tǒng)生物學(xué)意義，系統(tǒng)式（2）滿(mǎn)足如下的初始條件：

其中 k∈{-τ，-τ+1，…，0}，?i(k)和 ψj(k)均為實(shí)值有界數(shù)列，τ=max{。

為討論方便，對(duì)任一有界數(shù)列{x(k)}，引入如下記號(hào)：

2 系統(tǒng)式（2）的持久性

如果存在兩個(gè)正數(shù)m和M ，使得系統(tǒng)式（2）的任一正解 (x1(k)，x2(k)，…，xn(k)， y1(k)，y2(k)，…，ym(k))滿(mǎn)足：

其中i=1，2，…，n，j=1,2,…,m，則稱(chēng)系統(tǒng)式（2）是持久的。

命題2.1系統(tǒng)式（2）的任一正解滿(mǎn)足：

證明 首先假設(shè)存在一個(gè)k0，使得 xi(k0+1)≥xi(k0)成立。則從系統(tǒng)式（2）的第i個(gè)等式可知：

其中，A0=αil(k0)+βil(k0)xi(k0)+γil(k0)yl(k0)。

對(duì)式（5）進(jìn)行移項(xiàng)放縮，可得：

當(dāng)x＞0時(shí)，不等式 x≤exp(x-1)恒成立，從而可得0＜≤exp(-1)；如果參數(shù)a，b＞0，則有如下結(jié)論：

由以上兩個(gè)結(jié)論和式（6）可得：

如下使用反證法證明當(dāng)k0≤k＜+∞時(shí)，xi(k)≤Si成立。假設(shè)存在最小的正整數(shù) k?0＞ k0，滿(mǎn)足 xi(k?0)＞ Si，則可知 k?0≥k0+2 且 xi(k?0-1)≤ Si＜ xi(k?0)。由式（7）和 xi(k?0-1)≤Si可知 xi(k?0)≤Si，與假設(shè)矛盾。因此當(dāng) k0≤k＜+∞ 時(shí)，xi(k)≤Si成立。

其次假設(shè) xi(k)＞xi(k+1)對(duì)所有 k∈N都成立，且記系統(tǒng)式（2）的第i個(gè)等式取極限，可知：

但是，當(dāng)k足夠大時(shí)，可知：

綜合如上的討論可知，命題2.1成立。

利用命題2.1的證明思想、方法，可給出如下命題2.2～命題2.4，并將其證明過(guò)程略去。

命題2.2假設(shè)如下條件成立：

則系統(tǒng)式（2）的任一正解滿(mǎn)足：

設(shè)

其中 i=1，2，…，n。

命題2.3假設(shè)條件（H1）和以下條件：

成立。則系統(tǒng)式（2）的任一正解滿(mǎn)足：

設(shè)

其中 j=1，2，…，m。

命題2.4 假設(shè)條件（H1）、（H2）和以下條件：

成立。則對(duì)系統(tǒng)式（2）的任一正解滿(mǎn)足：

應(yīng)用命題2.1～命題2.4，可得系統(tǒng)式（2）持久的結(jié)論：

定理2.1 假設(shè)條件（H1）～（H3）成立，則系統(tǒng)式（2）是持久的。

顯然，集合：

是系統(tǒng)式（2）的不變集。

3 系統(tǒng)式（2）的全局穩(wěn)定性

在本章中使用估值法對(duì)系統(tǒng)式（2）的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

令

其中i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。

定理3.1假設(shè)條件（H1）～（H3）成立。如果如下條件滿(mǎn)足：

則系統(tǒng)式（2）的任意兩個(gè)解滿(mǎn)足：

其中i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

證明設(shè)

將其代入系統(tǒng)式（2），可得：

其中

對(duì)式（20）和式（21）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得：

對(duì)任意足夠小的 ε＞0，結(jié)合（H4）和（H5），可得：

其中

其中

根據(jù)命題2.1～命題2.4，可知存在一個(gè)k*∈N，對(duì)所有k≥k*滿(mǎn)足：其中 i=1，2，…，n， j=1，2，…，m 。

由于 θl(k)，ξl(k)∈[0，1]，從而可知 x?i(k)exp[θi(k)ui(k)]位于 x?i(k)和 xi(k)之間，y?j(k)exp[ξj(k)vj(k)]位于 y?j(k)和 yj(k)之間。

由式（22）～（26），可知：

式（27）和式（28）可知，當(dāng) k≥k*時(shí)，

從而可得：

即

4 周期解的存在性和穩(wěn)定性

在本章中，進(jìn)一步討論當(dāng)系統(tǒng)式（2）中的參數(shù)出現(xiàn)周期的情況。引入如下假設(shè)：

（H6）bi(k)，hil(k)，ail(k)，cij(k)，αij(k)，βij(k)，γij(k)，dij(k)，ejl(k)，gjl(k)和rj(k)是周期為ω＞0的正有界數(shù)列。

定理4.1 假設(shè)條件（H1）～（H3）和（H6）成立，則系統(tǒng)式（2）至少存在一個(gè)具有周期為ω＞0的正周期解(x?1(k)，x?2(k)， …， x?n(k)， y?1(k)， y?2(k)， …， y?m(k))。

證明 在不變集Dn+m上定義映射F，其表達(dá)式為：

由于映射F是連續(xù)的，而且是定義在緊集Dn+m上一個(gè)自身到自身的映射，由不動(dòng)點(diǎn)原理可知，映射F具有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即系統(tǒng)式（2）在集合Dn+m上至少存在一個(gè)具有周期為ω的正周期解。

根據(jù)命題2.1～命題2.4和定理4.1，可得如下結(jié)論：

定理4.2 假設(shè)條件（H1）～（H3）和（H6）成立，則系統(tǒng)式（2）存在一個(gè)周期為ω＞0的正周期解，而且該周期解是全局穩(wěn)定的。

5 結(jié)論

本文對(duì)一類(lèi)帶有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)和時(shí)滯的多維離散食餌-捕食系統(tǒng)進(jìn)行了研究。首先利用差分方程的比較原理，對(duì)模型的任一正解的上下界進(jìn)行了估值，得到模型持久性的充分條件。其次應(yīng)用估值方法推導(dǎo)得到系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的充分條件。最后，討論了模型參數(shù)出現(xiàn)周期的情況，使用不動(dòng)點(diǎn)理論證明了系統(tǒng)周期解的存在性和全局穩(wěn)定性。研究結(jié)果表明Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)對(duì)模型的持久性和全局穩(wěn)定性的充分條件有著重要的影響，但還需進(jìn)一步討論時(shí)滯對(duì)模型動(dòng)力學(xué)行為的影響。

[1]Cull P.Global stability of population models[J].Bulletin of Mathematical Biology，1981，43（1）：47-58.

[2]Cull P.Stability of discrete one-dimensional population models[J].Bulletin of Mathematical Biology，1988，50（1）：67-75.

[3]Franke J E，Yakubu A A.Mutual exclusion versus coexistence for discrete competitive systems[J].Bulletin of Mathematical Biology，1991，30（1）：161-168.

[4]Franke J E，Yakubu A A.Geometry of exclusion principles in discrete systems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，168（2）：385-400.

[5]Kocic V K，Ladas G.Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications[M].Dordrecht，Netherland：Kluwer Academic Publishers，1993.

[6]Saito Y，Ma W，Hara T.A necessary and sufficient condition for permanence of a Lotka-Volterra discrete system with delays[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，256（1）：162-174.

[7]Chen Y M，Zhou Z.Stable periodic solution of a discrete periodic Lotka-Volterra competition system[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，277（1）：358-366.

[8]Huo H F，Li W T.Permanence and global stability for nonautonomous discrete model of plankton allelopathy[J].Appl Math Lett，2004，17（9）：1007-1013.

[9]Yang X T.Uniform persistence and periodic solutions for a discrete predator-prey system with delays[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，316（1）：161-177.

[10]Fan Y H，Li W T.Permanence for a delayed discrete ratiodependent predate or-prey system with holling type functional response[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2004，299（2）：357-374.

[11]Wu Liping，Chen Fengde，Li Zhong.Permanence and global attractivity of a discrete Schoener’s competition model with delays[J].Mathematical and Computer Modelling，2009，49（8）：1607-1617.

[12]Chen Fengde.Permanence and global attractivity of a discrete multispecies Lotka-Volterra competition predator-prey systems[J].Applied Mathematics and Computation，2006，182（1）：3-12.

[13]Naji R K，Balasim A T.Dynamical behavior of a three species food chain model with Beddington-DeAngelis functional response[J].Chaos，Solitons&Fractals，2007，32（5）：1853-1866.

[14]Huo H F，Li W T，Nieto J J.Periodic solutions of delayed predator-prey model with the Benddington-DeAngelis functional response[J].Chaos，Solitons&Fractals，2007，32（2）：505-512.

[15]Cantrell R S，Cosner C.On the dynamics of predator-prey models with the Beddington-DeAngelis functional response[J].J Math Anal Appl，2001，257.

[16]Cai Liming，Li Xuezhi，Yu Jingyuan，et al.Dynamics of a nonautonomous predator-prey dispersion-delay system with Beddington-DeAngelis functional response[J].Chaos，Solitons&Fractals，2009，40（4）：2064-2075.