王 烈,陳斯養(yǎng)
WANG Lie,CHEN Siyang
陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062
College of Mathematic and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China
近年來(lái),許多學(xué)者對(duì)差分模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了廣泛的研究,獲得了非常豐富的成果。文獻(xiàn)[1-6]對(duì)自治差分模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[7-8]研究非自治的差分競(jìng)爭(zhēng)模型的持久性和穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[9-12]研究了非自治的差分捕食模型,獲得了模型穩(wěn)定性和持久性的條件。陳鳳德等[11]研究了如下非自治的離散捕食模型:
其中 i=1,2,…,n,j=1,2,…,m 。
最近的研究表明,Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)函數(shù)可以更好地刻畫(huà)多個(gè)食餌和捕食者的種群密度增長(zhǎng)情況,因此文獻(xiàn)[13-16]討論了該功能性反應(yīng)函數(shù)在一些食餌-捕食者模型中的應(yīng)用。
基于以上研究,本文研究如下具有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)和時(shí)滯的離散捕食系統(tǒng):
其中 i=1,2,…,n,j=1,2,…,m 。 xi(k)是第 i個(gè)食餌種群的種群密度,yj(k)是第 j個(gè)捕食者種群的種群密度。參數(shù) bi(k),hil(k),ail(k),cij(k),αij(k),βij(k),γij(k),dij(k),ejl(k),gjl(k)和rj(k)均為有界非負(fù)數(shù)列。參數(shù) τil,τ*jl是正整數(shù)。
考慮到系統(tǒng)生物學(xué)意義,系統(tǒng)式(2)滿(mǎn)足如下的初始條件:
其中 k∈{-τ,-τ+1,…,0},?i(k)和 ψj(k)均為實(shí)值有界數(shù)列,τ=max{。
為討論方便,對(duì)任一有界數(shù)列{x(k)},引入如下記號(hào):
如果存在兩個(gè)正數(shù)m和M ,使得系統(tǒng)式(2)的任一正解 (x1(k),x2(k),…,xn(k), y1(k),y2(k),…,ym(k))滿(mǎn)足:
其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,則稱(chēng)系統(tǒng)式(2)是持久的。
命題2.1系統(tǒng)式(2)的任一正解滿(mǎn)足:
證明 首先假設(shè)存在一個(gè)k0,使得 xi(k0+1)≥xi(k0)成立。則從系統(tǒng)式(2)的第i個(gè)等式可知:
其中,A0=αil(k0)+βil(k0)xi(k0)+γil(k0)yl(k0)。
對(duì)式(5)進(jìn)行移項(xiàng)放縮,可得:
當(dāng)x>0時(shí),不等式 x≤exp(x-1)恒成立,從而可得0<≤exp(-1);如果參數(shù)a,b>0,則有如下結(jié)論:
由以上兩個(gè)結(jié)論和式(6)可得:
如下使用反證法證明當(dāng)k0≤k<+∞時(shí),xi(k)≤Si成立。假設(shè)存在最小的正整數(shù) k?0> k0,滿(mǎn)足 xi(k?0)> Si,則可知 k?0≥k0+2 且 xi(k?0-1)≤ Si< xi(k?0)。由式(7)和 xi(k?0-1)≤Si可知 xi(k?0)≤Si,與假設(shè)矛盾。因此當(dāng) k0≤k<+∞ 時(shí),xi(k)≤Si成立。
其次假設(shè) xi(k)>xi(k+1)對(duì)所有 k∈N都成立,且記系統(tǒng)式(2)的第i個(gè)等式取極限,可知:
但是,當(dāng)k足夠大時(shí),可知:
綜合如上的討論可知,命題2.1成立。
利用命題2.1的證明思想、方法,可給出如下命題2.2~命題2.4,并將其證明過(guò)程略去。
命題2.2假設(shè)如下條件成立:
則系統(tǒng)式(2)的任一正解滿(mǎn)足:
設(shè)
其中 i=1,2,…,n。
命題2.3假設(shè)條件(H1)和以下條件:
成立。則系統(tǒng)式(2)的任一正解滿(mǎn)足:
設(shè)
其中 j=1,2,…,m。
命題2.4 假設(shè)條件(H1)、(H2)和以下條件:
成立。則對(duì)系統(tǒng)式(2)的任一正解滿(mǎn)足:
應(yīng)用命題2.1~命題2.4,可得系統(tǒng)式(2)持久的結(jié)論:
定理2.1 假設(shè)條件(H1)~(H3)成立,則系統(tǒng)式(2)是持久的。
顯然,集合:
是系統(tǒng)式(2)的不變集。
在本章中使用估值法對(duì)系統(tǒng)式(2)的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。
令
其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,m。
定理3.1假設(shè)條件(H1)~(H3)成立。如果如下條件滿(mǎn)足:
則系統(tǒng)式(2)的任意兩個(gè)解滿(mǎn)足:
其中i=1,2,…,m,j=1,2,…,n。
證明設(shè)
將其代入系統(tǒng)式(2),可得:
其中
對(duì)式(20)和式(21)進(jìn)行化簡(jiǎn),可得:
對(duì)任意足夠小的 ε>0,結(jié)合(H4)和(H5),可得:
其中
其中
根據(jù)命題2.1~命題2.4,可知存在一個(gè)k*∈N,對(duì)所有k≥k*滿(mǎn)足:其中 i=1,2,…,n, j=1,2,…,m 。
由于 θl(k),ξl(k)∈[0,1],從而可知 x?i(k)exp[θi(k)ui(k)]位于 x?i(k)和 xi(k)之間,y?j(k)exp[ξj(k)vj(k)]位于 y?j(k)和 yj(k)之間。
由式(22)~(26),可知:
式(27)和式(28)可知,當(dāng) k≥k*時(shí),
從而可得:
即
在本章中,進(jìn)一步討論當(dāng)系統(tǒng)式(2)中的參數(shù)出現(xiàn)周期的情況。引入如下假設(shè):
(H6)bi(k),hil(k),ail(k),cij(k),αij(k),βij(k),γij(k),dij(k),ejl(k),gjl(k)和rj(k)是周期為ω>0的正有界數(shù)列。
定理4.1 假設(shè)條件(H1)~(H3)和(H6)成立,則系統(tǒng)式(2)至少存在一個(gè)具有周期為ω>0的正周期解(x?1(k),x?2(k), …, x?n(k), y?1(k), y?2(k), …, y?m(k))。
證明 在不變集Dn+m上定義映射F,其表達(dá)式為:
由于映射F是連續(xù)的,而且是定義在緊集Dn+m上一個(gè)自身到自身的映射,由不動(dòng)點(diǎn)原理可知,映射F具有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即系統(tǒng)式(2)在集合Dn+m上至少存在一個(gè)具有周期為ω的正周期解。
根據(jù)命題2.1~命題2.4和定理4.1,可得如下結(jié)論:
定理4.2 假設(shè)條件(H1)~(H3)和(H6)成立,則系統(tǒng)式(2)存在一個(gè)周期為ω>0的正周期解,而且該周期解是全局穩(wěn)定的。
本文對(duì)一類(lèi)帶有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)和時(shí)滯的多維離散食餌-捕食系統(tǒng)進(jìn)行了研究。首先利用差分方程的比較原理,對(duì)模型的任一正解的上下界進(jìn)行了估值,得到模型持久性的充分條件。其次應(yīng)用估值方法推導(dǎo)得到系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的充分條件。最后,討論了模型參數(shù)出現(xiàn)周期的情況,使用不動(dòng)點(diǎn)理論證明了系統(tǒng)周期解的存在性和全局穩(wěn)定性。研究結(jié)果表明Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)對(duì)模型的持久性和全局穩(wěn)定性的充分條件有著重要的影響,但還需進(jìn)一步討論時(shí)滯對(duì)模型動(dòng)力學(xué)行為的影響。
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