曹 雄，陳奕柏，柯才桐

(海南大學 土木建筑工程學院，海南 ?？?570228)

經(jīng)典朗肯與庫倫土壓力理論由于適用范圍廣、且計算過程簡單，因而在實際工程中得到了廣泛的應用［1］.但庫倫與朗肯土壓力理論的局限性也是非常明顯的:朗肯土壓力理論假設墻背豎直光滑、墻后填土水平;而庫倫理論則只適用于無粘性土，但實際工程中墻后填土往往為粘性土，且粘性填土與擋土墻間也存在一定的粘著力，因此，在實際工程計算中常采用基于兩種理論的簡化或近似處理方法來求解粘性土土壓力，如圖解法、粘聚力等效法［2］、等值內(nèi)摩擦角法［3］，但圖解法的計算過程較為繁瑣，而等值內(nèi)摩擦角法與粘聚力等效法計算的結(jié)果有時誤差較大.針對這一情況，朱桐浩、顧慈慰等［4-8］在庫倫土壓力理論的基礎上，對庫倫主動土壓力在多種不同條件下的計算式進行了改進，并取得了很大的進展，但也存在一定的問題，如文獻［4］忽略了墻土間粘著力;文獻［5］雖考慮了墻土間的粘著力，但對裂縫與超載的處理較為繁瑣;文獻［6］假設tan δ/tan φ=cw/c，但實際的應用中存在一定限制;文獻［7］沒有給出極限狀態(tài)下滑動楔體的臨界破裂角解析解，需要通過試算或編程求解才能確定主動土壓力值;且文獻［4-8］并未考慮當粘性填土出現(xiàn)開裂時墻背傾角與填土坡角對墻土間拉應力區(qū)高度的影響，同時也沒有給出相應條件下的被動土壓力計算式.

本文在文獻［7］的基礎上，推導出考慮墻背傾角與填土坡角對墻土間拉應力區(qū)高度的影響下的主動土壓力計算式及其相應條件下的被動土壓力計算式，并給出了主被動極限狀態(tài)下滑動楔體臨界破解角的顯式解答，同時對文獻［7］作了重要的補充.

1 模型的建立及公式推導

1.1 主動土壓力 如圖1 所示Ea，δ，β，α，θ，φ，q，c，cw，H，z0，h0分別為作用在擋土墻上的主動土壓力、墻背與填土間的摩擦角、填土坡角、墻背傾角、滑動楔體破裂角、土體內(nèi)摩擦角、填土面上的超載、土的粘聚力、墻體粘著力、擋土墻墻高、粘性填土表面出現(xiàn)的裂縫深度(墻體產(chǎn)生水平位移和繞墻底轉(zhuǎn)動時須考慮，當墻體繞墻頂轉(zhuǎn)動時，可不考慮)、墻土間拉應力區(qū)的高度.

其中，裂縫的深度可用下式計算［5］

Ka為朗肯主動土壓力系數(shù)，其中Ka=tan2(45°-φ/2)，當上式計算的z0≤0 時表示粘性填土并未開裂，故在計算中取z0=0.考慮填土坡角與墻背傾角條件下的墻土間拉應力區(qū)高度為［9-10］

圖1 主動土壓力計算模型

假定滑動楔體為BEF 時，作用在滑動楔體上的力如下:

1)土體自重W1，W2及填土表面超載q 的合力W3(方向豎直向下)

2)墻背對填土的反力Ea(與AB 法線成δ 角，與W 的夾角為90°-α-δ);

3)破裂面BF 上的總粘聚力(與R 的夾角為90°+φ)

4)破裂面BF 上的反力R(與W 的夾角為θ-φ);

5)沿墻背BE 的總粘著力(與Ea的夾角為90°+δ)

由圖1 幾何關系可得以下計算式

式中，h=H-h0，

此時土體自重W1，W2及填土表面超載q(q 按水平投影集度)的合力W3分別為

其中γ 為土體重度，將(6)式代入(7)式后得

圖2 滑動楔體力矢圖

式中E1，E2均可表達為θ 的函數(shù).在△MNP 中根據(jù)正弦定理

在△PQT 中，應用正弦定理有

其中

在△QST 中

將式(12)和(13)代入式(11)，得

將式(10)和(14)代入式(9)并聯(lián)立式(8)，可以求得作用在擋土墻上的主動土壓力

將式(15)變化為類似庫倫主動土壓力計算式

當不考慮粘性填土開裂時，只需取式(17)中z0=0 即可求解.由于Ea是θ 的函數(shù)，為求得Ea的最大值，令

通過三角函數(shù)的和差角與積化和差公式，將式(17)進行轉(zhuǎn)換后得

令x=2θ-φ-α-δ-β，將式(18)簡化后對其求導，并注意到分母不能為零，分子必須為零，得

式中，

由式(20)解得滑動楔體的臨界破裂角為

將式(21)求得的θcr代入式(16)和(17)即可求得主動土壓力.

1.2 被動土壓力 被動土壓力的推導與主動土壓力的推導過程相似，但不考慮粘性填土的開裂問題.

由圖3 可知，作用在擋土墻上的被動土壓力Ep為

此時E2相當于因考慮滑裂面上粘聚力和墻土間粘著力而增加的土壓力.

由圖3 幾何關系可得以下計算式

圖3 被動土壓力計算模型

土體自重W1與填土表面超載q 的合力W3(被動土壓力不出現(xiàn)粘性填土開裂區(qū)，故取W2=0)

將式(23)代入式(24)后得

此時破裂面BC 上的總粘著力與墻背AB 上的總粘聚力為

閉合力矢量多邊形的作法類似于主動土壓力的作法，如圖4 所示.在△PMN 中，運用正弦定理得

圖4 滑動楔體力矢圖

在△PQT 中，應用正弦定理有

在△QST 中

將式(30)和(31)代入式(29)，得

將式(28)和(32)代入式(22)并聯(lián)立式(25)，可以求得作用在擋土墻上的被動土壓力

將式(33)變化為類似庫倫被動土壓力計算式

其中A1，A2，A3與式(17)中的相同(h=H，z0=0).

與主動土壓力臨界破裂角求解過程一致，在所有可能的楔體滑裂角θ 中存在某一值，使得Ep取最小值，為求得此滑裂角，令

求得

式中，Δ 表達式與式(21)相同，其他參數(shù)為

按式(37)求解被動土壓力臨界滑裂角θcr時，存在3 種情況:

1)當β=δ 時，2θcr=90°+α-φ;

2)當求解的θcr為正時，即為正確值;

3)當求解的θcr為負時，正確的滑裂角為θcr+90°.

2 算例分析

算例1 擋土墻墻高H=5 m，γ=18 kN·m-3，φ=20°，q=0，其他有關參數(shù)如表1 所示，本文方法與其他文獻方法的計算結(jié)果比較如表1 所示.

算例2 四川省建筑科學研究院在四川簡陽養(yǎng)馬河做的重力式擋土墻試驗［5］:H=4.6 m，γ=19.3 kN·m-3，q=10 kPa，c=10 kPa，cw=0，φ=15°，α=0，δ=10°，β=0.本文方法與實測值的比較如表2 所示.

表1 土壓力算例1

表2 土壓力算例2

由表1 和表2 可以看出，在朗肯或庫倫理論假設條件下，本文方法能夠得到與之完全一致的解答，表明本文方法實際上是兩大經(jīng)典土壓力理論計算式的推廣.由于考慮墻背傾角與填土坡角對墻土間拉應力區(qū)高度的影響，本文方法得到的土壓力值比文獻［5-8］方法的計算結(jié)果稍大，但應更趨向合理.與文獻［1］方法相比，本文方法將考慮或不考慮粘性填土開裂的計算統(tǒng)一在同一計算式中，因而對超載的處理及裂縫深度的計算比較簡單;與文獻［6］方法相比，本文方法適用范圍更廣;文獻［5］方法沒有給出滑動楔體臨界破裂角的解答，本文對其進行了必要的補充.

算例3 擋墻高H=4.6 m，γ=19.3 kN·m-3，q=10 kPa，φ=15°，α=0，δ=10°，β=0，本文方法與粘聚力等效法［2］計算結(jié)果的比較如表3 所示(考慮粘性填土開裂).

表3 土壓力算例3

由表3 可以看出:

1)當填土為非粘性土時，本文方法與用粘聚力等效法計算的主被動土壓力結(jié)果相同;當土體粘聚力c 相對較大時，粘聚力等效法計算的結(jié)果誤差將會較大.

2)對于粘性土，由于忽略粘性填土開裂的影響，規(guī)范公式計算的結(jié)果偏小.因此，當墻體產(chǎn)生水平位移和繞墻底轉(zhuǎn)動時，須考慮粘性填土開裂對主動土壓力計算值的影響.

3 結(jié)論

本文在庫倫土壓力理論的基礎上考慮粘性填土、墻土間粘著力、均布超載、填土淺表具有張拉裂縫的影響，并應用力的矢量多邊形法推導出適用范圍更加廣泛的主被動土壓力計算式，同時給出了臨界破裂角的顯式解答，對文獻［7］作了有效補充.

1)本文方法的計算過程簡單，通過編制相應的電子計算表格，將各條件參數(shù)輸入后便可求解，無需試算或編程求解.

2)不考慮粘性填土表面出現(xiàn)裂縫情況下的土壓力計算為考慮時的特例，前者的求解只需在相應的公式中取計算的裂縫深度z0為零后即可求解.

3)與目前常用的粘性土土壓力近似求解方法相比，本文方法的計算精度更高，適用范圍也更加廣泛.

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