陳 軍

（1.定西師范高等?？茖W(xué)校 物理與電子工程系，甘肅 定西 743000；2.武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，武漢 430072）

非線性電路在混沌的理論探索和應(yīng)用研究中起著非常重要的角色，混沌電路有很大的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值［1］.自蔡氏電路系統(tǒng)［2］認(rèn)識以來，將混沌與電路這兩個(gè)不同的領(lǐng)域聯(lián)系起來，使混沌系統(tǒng)在數(shù)據(jù)加密、安全通信和優(yōu)化計(jì)算等信號處理方面有很大的應(yīng)用潛能［3］.在許多技術(shù)及工程應(yīng)用領(lǐng)域有目的地產(chǎn)生和加強(qiáng)混沌行為已成為一個(gè)重大課題.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是以神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)來描述的.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)高度非線性動力學(xué)系統(tǒng).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)特性已成為當(dāng)前研究的焦點(diǎn)問題［4］.在各種不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中混沌現(xiàn)象一直被受到觀察和研究.例如，文獻(xiàn)［5］對具有三細(xì)胞的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌行為進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［6］描述了三神經(jīng)元的Hopfield型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌現(xiàn)象；文獻(xiàn)［7］研究了具有外部激勵(lì)的單細(xì)胞神經(jīng)元禁忌學(xué)習(xí)的混沌行為；文獻(xiàn)［8］對高維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在外部正弦激勵(lì)下的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了考察；文獻(xiàn)［9］發(fā)現(xiàn)了遲滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能表現(xiàn)出混沌行為，對混沌吸引子及周期解共存性進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)［10］對混沌神經(jīng)元同步及優(yōu)化也有研究.特別是近年來神經(jīng)元模型及混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電路實(shí)現(xiàn)［11－12］受到一些學(xué)者的關(guān)注.

本文研究了具有反饋的單神經(jīng)元模型的非線性動力學(xué)行為的電路實(shí)現(xiàn)與設(shè)計(jì)方法，探討了單神經(jīng)元模型的兩個(gè)共存吸引子到一個(gè)吸引子的變化等混沌現(xiàn)象，利用EWB［13］軟件仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的反饋單神經(jīng)元模型電路的正確性.

1 具有自適應(yīng)反饋突觸的單神經(jīng)元模型

本文所研究的神經(jīng)元的動力學(xué)模型［4］方程為：

其中，p、q是正常數(shù)，外界輸入正弦函數(shù)為I＝εsin（ωt＋φ）.這里，我們?nèi)〖せ詈瘮?shù)f（x）為：

2 反饋突觸神經(jīng)模型電路實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)與仿真

在研究文獻(xiàn)［11－12，14－15］等的基礎(chǔ)上，分別設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了激活函數(shù)的電路、反饋突觸單神經(jīng)元模型電路，并用運(yùn)EWB軟件對所設(shè)計(jì)電路進(jìn)行了電路仿真實(shí)驗(yàn)，以下分別加以介紹.

2.1 激活函數(shù)電路的實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)與仿真

激活函數(shù)（2）的功能由三個(gè)雙曲正切函數(shù)的線性組合實(shí)現(xiàn)，而雙曲正切函數(shù)可以通過雙極性晶體管獲得.由電路定律，對如圖1 所示電路進(jìn)行分析［16］.

圖1 雙曲正切函數(shù)基本電路Fig.1 Basic circuit of hyperbolic tangent function

這就是雙曲正切函數(shù)模型的傳輸特性函數(shù)表達(dá)式.

在電路設(shè)計(jì)中，作者采用一個(gè)實(shí)現(xiàn)雙曲正切函數(shù)f（x）＝tanh（x）功能的更加實(shí)用電路，稱為模塊單元電路［15］.

根據(jù)以上分析，激活函數(shù)（2）可由3個(gè)tanh（·）模塊單元電路和線性電阻、電子集成運(yùn)算放大器LF356等器件來實(shí)現(xiàn)，如圖2所示為激活函數(shù)f（x）的電路圖，為了敘述方便，我們稱其為f（·）單元電路.

根據(jù)電路回路定律，對圖2所示的電路進(jìn)行分析，狀態(tài)方程如下：

圖2 f（·）單元電路圖Fig.2 Unit circuit of f（·）

通過對比方程（5）與（2），表明作者所設(shè)計(jì)的f（x）單元電路能夠?qū)崿F(xiàn)反饋突觸單神經(jīng)元模型的激活函數(shù).

2.2 反饋突觸單神經(jīng)元模型電路實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)與仿真

對模型（1），設(shè)參數(shù)取值分別為［4］：τ＝1、p＝q＝5、ε＝0.3、ω＝2π、φ＝0或φ＝π，α取一系列不同的常數(shù)值.則模型（1）轉(zhuǎn)化為：

在EWB軟件環(huán)境下，為了將模型（6）通過電子電路實(shí)現(xiàn)，運(yùn)用線性電阻、線性電容、電子集成運(yùn)算放大器、乘法器AD633和f（·）單元電路等電子器件來設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)，根據(jù)模型（6）和電路基本原理以及各個(gè)元件的特性，轉(zhuǎn)換成相應(yīng)電路元件，則其電路如圖3所示.

圖3 模型（1）的電路圖Fig.3 Circuit of model（1）

電路中運(yùn)算放大器LF356與線性電阻、電容搭配完成電路的加、減、微分及反相運(yùn)算，乘法器用來實(shí)現(xiàn)非線性二次運(yùn)算，f（·）單元電路實(shí)現(xiàn)激活函數(shù)（2）的功能，VS為外部輸入正弦信號，其表達(dá)式為Vs＝－0.3sin（2πt＋φ）.電路中全部元器件均選用EWB中理想的虛擬電子元件.根據(jù)理想運(yùn)算放大器的基本特性，由圖3可推導(dǎo)出模型（6）的電路數(shù)學(xué)模型如下：

令u1＝u，u2＝s，則模型（6）和（7）等價(jià).

在模型（1）中α＝1.4時(shí)，即對應(yīng)于圖3電路中，可變電阻Rw1＝Rw2＝R19＝14kΩ 的阻值情況，運(yùn)用EWB 仿真軟件，對設(shè)計(jì)電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如圖4、5所示，為混沌吸引子u（t）－s（t）相位圖和t－u（t）波形圖.圖4中（a）為初值φ＝0時(shí)二維混沌吸引子的相平面圖，（b）為當(dāng)φ＝π時(shí)的相位圖，可見此條件時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)2倍周期現(xiàn)象；圖5中的（a）、（b）分別對應(yīng)于初值φ＝0、π時(shí)ts（t）混沌吸引子的波形圖.

圖4 α＝1.4時(shí)u（t）－s（t）相位圖Fig.4 u（t）－s（t）phase track chart atα＝1.4

圖5 α＝1.4時(shí)t－s（t）波形圖Fig.5 t－s（t）wave form atα＝1.4

在EWB仿真軟件環(huán)境下，繼續(xù)改變圖3電路中的可變電阻，使Rw1＝Rw2＝R19大于16kΩ，兩個(gè)分離的吸引子聯(lián)結(jié)在一起，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)共存吸引子向一個(gè)相連吸引子轉(zhuǎn)化的混沌現(xiàn)象.如圖6所示為Rw1＝Rw2＝R19＝18kΩ 時(shí)即α＝1.8的二維混沌相連吸引的相平面圖.

當(dāng)α超過大約3.5時(shí)，它又分離成兩個(gè)獨(dú)立的吸引子.隨著α的增加，其變成周期性軌道.當(dāng)α＝5.5時(shí)即Rw1＝Rw2＝R19＝55kΩ，其對應(yīng)于不同初值φ的仿真結(jié)果分別如圖7（a）、（b）所示，為u（t）－s（t）的二維混沌吸引子的相平面圖形，其結(jié)果都與文獻(xiàn)的理論值相一致.

圖6 α＝1.8時(shí)u（t）－s（t）相位圖Fig.6 u（t）－s（t）phase track atα＝1.8

圖7 α＝5.5時(shí)u（t）－s（t）相位圖Fig.7 u（t）－s（t）phase track atα＝5.5

3 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了具有反饋的單神經(jīng)元模型的非線性動力學(xué)行為的電路，推導(dǎo)了電路的參數(shù).對實(shí)現(xiàn)非單調(diào)激活函數(shù)的單元電路方法及電路參數(shù)設(shè)計(jì)分析較為詳細(xì)，并進(jìn)一步利用仿真軟件進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)研究.結(jié)果表明，運(yùn)用EWB 所設(shè)計(jì)電路的正確性.由于EWB軟件儀器的控制面板外形和操作方式都與實(shí)物相似，可以實(shí)時(shí)顯示測量結(jié)果.且它采用的是實(shí)際電路元件模型，所以其仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與示波器從實(shí)際硬件電路得到的結(jié)果相近，因而該混沌系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果是有效的.本文所做的工作對深入分析和促進(jìn)混沌技術(shù)應(yīng)用具有重要的意義.有關(guān)此類動力學(xué)系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)及在工程技術(shù)中的實(shí)際應(yīng)用作者將作進(jìn)一步的研究.

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