張大川

（大連大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

平面機(jī)構(gòu)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，歸根到底在于求解非線性方程組。求解非線性方程組有解析求法和迭代求法兩種方法。方程組的解析解有重要意義。因?yàn)榻馕鼋庾羁煽?，可以弄清?wèn)題的本質(zhì)，而且在計(jì)算方法中，常把解析解作為檢驗(yàn)各種近似解好壞的標(biāo)準(zhǔn)。但是通過(guò)消去部分變量，將方程組化成一元高次方程時(shí)，消元過(guò)程復(fù)雜，需較強(qiáng)的技巧，否則會(huì)產(chǎn)生增根和丟根問(wèn)題，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)消元無(wú)法進(jìn)行，所以很難求得解析解，只能采用迭代求解。但迭代求解，對(duì)初始值的要求非常苛刻，只有當(dāng)初始值和精確值非常接近時(shí)才會(huì)收斂。而對(duì)于很多非線性方程組，很難找到與精確值接近的初始值，這就給求解非線性問(wèn)題帶來(lái)不便，甚至求不到解。

而同倫算法計(jì)算工作量較小，算法較簡(jiǎn)單，而且成功率較高，且是大范圍收斂的，所以在很多情況下采用這種方法求解非線性問(wèn)題，效果較好，因此同倫算法被譽(yù)為20世紀(jì)數(shù)學(xué)研究中一項(xiàng)帶突破性的新成果。

1 同倫算法的基本原理

建立非線性方程組

構(gòu)造全部解已知的初始方程組

構(gòu)造同倫函數(shù)

其中 t∈[0，1]，γ=eiθ，為任意不為零的復(fù)常數(shù)。

構(gòu)造同倫方程組

當(dāng)t=1時(shí)，方程組（4）的解與方程組（2）的解相同，讓同倫參數(shù)t逐漸變化到 0，并跟蹤方程組（4）的解，當(dāng) t=0時(shí)，方程組（4）的解就是待解方程組（1）的解。

2 平面四桿機(jī)構(gòu)函數(shù)發(fā)生器的綜合

如圖1所示平面四桿機(jī)構(gòu)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1,0），A、B 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ Ax，Ay）、（ Bx，By），其變量分別用 x1、x2、x3、x4表示。

圖1 平面四桿機(jī)構(gòu)

采用精確點(diǎn)綜合后，最多能實(shí)現(xiàn)5個(gè)位置，輸入角與輸出角關(guān)系見(jiàn)表1

表1 輸入角與輸出角關(guān)系

按照前述的方法，構(gòu)造初始方程求出其所有解，再根據(jù)機(jī)構(gòu)綜合方程編制M文件,上機(jī)運(yùn)行，得到了問(wèn)題的全部解，見(jiàn)表2。

表2 綜合結(jié)果

由此看出，該算法有較高的精度與可靠性。

3 結(jié)語(yǔ)

本文以同倫連續(xù)法初始方程組的構(gòu)造思想，求得初始方程組的所有解為初值，用任何一種非線性方程組的求解方程就可以求出非線性方程組的全部或大部分實(shí)數(shù)解，這一發(fā)現(xiàn)為機(jī)構(gòu)學(xué)的求解開(kāi)辟了新途徑，計(jì)算簡(jiǎn)單，結(jié)合Matlab程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了應(yīng)用軟件，方便地求解機(jī)構(gòu)學(xué)問(wèn)題。使用中只要將所求的機(jī)構(gòu)學(xué)問(wèn)題寫(xiě)出相應(yīng)的位置方程，并編成M文件，程序便自動(dòng)生成初始方程組并求解。最后以鉸鏈四桿函數(shù)機(jī)構(gòu)綜合為例，給出具體的計(jì)算實(shí)例，實(shí)現(xiàn)了四桿機(jī)構(gòu)輸入角、輸出角的5個(gè)對(duì)應(yīng)位置的綜合，得到了全部解。此方法還可用于近似綜合，即當(dāng)給定位置數(shù)不為5時(shí)，也可方便地進(jìn)行近似綜合。該方法簡(jiǎn)單易行，具有較好的實(shí)用性，為同倫算法的應(yīng)用與推廣奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為機(jī)構(gòu)學(xué)問(wèn)題求解提供了有效的途徑，值得大力推廣。

[1]楊廷力.機(jī)械系統(tǒng)基本理論——結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1996.

[2]孫平，嚴(yán)靜，陳永.基于改進(jìn)路徑跟蹤的同倫算法及在機(jī)構(gòu)學(xué)中的應(yīng)用[J].機(jī)械傳動(dòng)，1997，2l（2）：l～4.

[3]劉安心，楊廷力.實(shí)數(shù)連續(xù)法及其在機(jī)構(gòu)綜合中的應(yīng)用[M].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，200l，20（ 2）：164～165.