劉云 李敏

(1.陜西咸陽古建集團有限公司，陜西咸陽 712000;2.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西西安 710014)

工程施工過程中設(shè)備系統(tǒng)能否正常工作決定了工程任務(wù)的完成效果，特別是在搶險過程中，施工設(shè)備往往需要連續(xù)工作，保障工作設(shè)備的正常工作就顯得尤為重要，然而在實際工作過程中要求所有的設(shè)備同時正常工作難度會很大，準(zhǔn)備備用設(shè)備就成為必然，一旦發(fā)生設(shè)備故障則可用備用設(shè)備替代，從而保證工作能連續(xù)完成。若備用設(shè)備數(shù)量足夠多則工程必然可以順利實施，但這一結(jié)果是以犧牲成本為前提的，其實在實際工作過程中這種情況完全沒有必要，我們需要的是整個工作系統(tǒng)的工作狀態(tài)正常，當(dāng)組成工作系統(tǒng)的具體設(shè)備有個別失靈，只要事件不影響系統(tǒng)工作結(jié)果，就完全可以不必考慮，所以備用件的個數(shù)越少越好。

以某施工單位進行搶修作業(yè)為例，為能夠短時間、高效率的完成任務(wù)，共安排5套設(shè)備同時作業(yè)，而實際只要其中3套設(shè)備能正常工作，就能保證整個搶修系統(tǒng)工作正常，這時這5套設(shè)備就構(gòu)成了一個工作系統(tǒng)，其中的2套設(shè)備構(gòu)成備用設(shè)備，我們將這種系統(tǒng)稱為k/N系統(tǒng)。由于k/N系統(tǒng)具有高可靠性，在施工作業(yè)中，尤其是在使用一些高科技的設(shè)備工作中被越來越多的應(yīng)用。

k/N系統(tǒng)理解起來很簡單，但是最關(guān)鍵的問題是在一定概率要求的條件下，如何確定保障工程系統(tǒng)正常工作的設(shè)備的最小備用保有量，即設(shè)備保障量的最優(yōu)值。由于設(shè)備工作的具體狀況復(fù)雜多變，為了更清楚的研究問題，本文將按單階段任務(wù)和多階段任務(wù)兩種情況來進行分析。

1 單階段任務(wù)中的k/N系統(tǒng)設(shè)備保障量分析

假設(shè)某任務(wù)的完成方式為單階段一次完成，所需時間為T，完成任務(wù)所需要的設(shè)備中的某種構(gòu)件可以形成k/N系統(tǒng)，其中該構(gòu)件的失效率為λ。這一系統(tǒng)在執(zhí)行工作任務(wù)的時候，當(dāng)有構(gòu)件發(fā)生故障后，需要依據(jù)“備用設(shè)備消耗量最小”的原則，即只要不影響設(shè)備完成當(dāng)前任務(wù)，就不需要進行故障部件的更換，此時只要工作部件的數(shù)量能夠不小于k，那么就可以保證整個系統(tǒng)正常工作。但是當(dāng)發(fā)生故障的部件過多，從而導(dǎo)致系統(tǒng)中能夠正常工作的部件數(shù)量小于k時，整個系統(tǒng)就無法順利工作了，此時則需要立刻更換設(shè)備，以便系統(tǒng)可以繼續(xù)正常工作。

建立數(shù)學(xué)模型，要求備用設(shè)備的保障率不小于已經(jīng)給定的概率P，從而求解出在單階段任務(wù)狀態(tài)下設(shè)備保障量的最優(yōu)值S。

我們可以把這種情況下k/N的系統(tǒng)按照其在任務(wù)執(zhí)行期間發(fā)生的失效過程分為兩個不同的階段:發(fā)生故障后對故障件進行修理的階段和無法修理需要更換故障件的階段，這兩個階段的變化過程如圖1所示。

設(shè)t為兩個階段的分割時間點，在t時刻以前，系統(tǒng)中部件故障不更換，在t時刻以后，部件故障立刻用備用設(shè)備替換。也就是說，在0～t期間，系統(tǒng)中共有N－k－1個部件發(fā)生故障，在t～T期間，每有一個部件發(fā)生故障就立即更換，系統(tǒng)一直保持僅有k個部件工作的狀態(tài)，那么，在t時刻，恰好出現(xiàn)N－k個部件故障。

圖1 k/N系統(tǒng)階段變化過程

設(shè)P(N，k，T，j)為在任務(wù)期間恰好消耗j個備用設(shè)備的概率，s為面向任務(wù)的設(shè)備儲備量。

當(dāng)j=0時，即任務(wù)期間沒有更換備用設(shè)備，那么整個任務(wù)都處在不更換故障件階段(t＞T)，在任務(wù)期間故障件的數(shù)量不大于N－k－1。此時:

當(dāng)j＞0時，即任務(wù)期間更換了j個備用設(shè)備，此整個任務(wù)必然包含了不更換故障件階段和更換故障件階段，則t≤T，設(shè)f(t)為間隔點的概率密度函數(shù)，此時:

在更換故障件階段共消耗j個備用設(shè)備的概率恰好等于由k個部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)在T－t時間內(nèi)消耗j個備用設(shè)備的概率:

然后再用計算 P(N，k，T，j)。

其中，P(N，k，T，j)即為任務(wù)期間正好需要j個備用設(shè)備的概率，而P(j≤s)則表示單階段任務(wù)期間備用設(shè)備需求量j≤s的概率。那么:

這里S就是所求的最優(yōu)設(shè)備保障量。

2 多階段任務(wù)中的k/N系統(tǒng)設(shè)備保障量分析

單階段任務(wù)發(fā)生的狀況一般比較簡單，但大多數(shù)情況下任務(wù)的發(fā)生是由不同的工作階段共同組成的，各階段之間互相影響，也就是我們所稱的多階段任務(wù)。這種情況下，k/N系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的N和k只會隨著任務(wù)階段的變化而變化，各階段要求的工作部件數(shù)量也不同，也就是說這個k/N系統(tǒng)在各個階段的任務(wù)中是不同的。

假設(shè)一個多階段任務(wù)可以被分解為L個階段性任務(wù)，其中各構(gòu)件的配置數(shù)為N，各階段任務(wù)的完成時間為Tl。該k/N系統(tǒng)會隨著各階段需完成的任務(wù)要求變化，設(shè)在第l(l=1，2，…，L)個任務(wù)中，起先有kl個可工作部件，任務(wù)要求工作期間至少要保證Kl個部件工作，此時系統(tǒng)為Kl中取kl系統(tǒng)。要求備用設(shè)備保障率不小于P，多階段任務(wù)期間最優(yōu)設(shè)備保障量為S。

令第l階段備用設(shè)備消耗量為jl，該階段結(jié)束時的可工作部件恰好是下階段任務(wù)開始時的可工作部件數(shù) kl+1，P(kl，Kl，Tl，jl)為任務(wù)期間備用設(shè)備消耗的概率。

通過分析可知，若kl≥Kl，則kl可取設(shè)備基本保障量Kl，每階段問題可按單階段情況來處理;若kl＜Kl，則要按照備用設(shè)備消耗量最小的原則先對整個系統(tǒng)進行整修，更換Kl－kl個故障件，然后再開始執(zhí)行該階段任務(wù)，此時系統(tǒng)可被看作是由Kl個部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 多階段任務(wù)執(zhí)行示意圖

在kl＜Kl的前提下，當(dāng)本階段任務(wù)準(zhǔn)備的備用設(shè)備數(shù)jl≥Kl－kl時，系統(tǒng)可以被看作一個由Kl個部件組成的串聯(lián)系統(tǒng);然而當(dāng)本階段任務(wù)備用設(shè)備數(shù)jl＜Kl－kl時，表示用來替換Kl－kl個故障件的備用設(shè)備不夠用，任務(wù)將無法繼續(xù)執(zhí)行。

根據(jù)上面的結(jié)果分情況討論可得:

設(shè)系統(tǒng)在每個階段任務(wù)開始時的可工作部件數(shù)量為k1，k2，…，kL，在該階段任務(wù)結(jié)束時可工作部件數(shù)量為k*(k*≥KL)，且總備用設(shè)備消耗量恰好為 s的概率為 P(k1，k2，…，kL，k*，s)。則:

設(shè)P(s)為系統(tǒng)在此多階段任務(wù)中恰好消耗s個備用設(shè)備的概率，則:

設(shè)P(j≤s)則表示多階段任務(wù)期間備用設(shè)備需求量j≤s的概率。那么:

那么:

這里S就是所求的最優(yōu)設(shè)備保障量。

3 應(yīng)用實例

某施工搶修作業(yè)設(shè)備包含5個同類型的部件，部件的發(fā)生失效的概率為λ=0.001 h－1，部件發(fā)生失效的情況之間互不干擾?，F(xiàn)在該設(shè)備要完成一個搶險任務(wù)，任務(wù)全程可分為3個階段，在第1階段，任務(wù)的工作時間為100 h，要求至少保證2個部件工作正常;第2階段的工作時間為250 h，至少要有3個部件工作正常;第3階段的工作時間為250 h，要求至少保證2個部件工作正常。需要在備用設(shè)備保障率不低于 0.90，0.95，0.99 的條件下，確定該部件的最優(yōu)設(shè)備保障量。利用前面建立的數(shù)學(xué)模型，可以得到結(jié)果如表1所示。

表1 最優(yōu)設(shè)備保障量核算結(jié)果

由此可知當(dāng)需要工作順利完成時，若備用設(shè)備的保障率要達到90%，只需提供一個備用設(shè)備即可。

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