張 舉（中國電子科技集團(tuán)公司 第二十研究所，陜西 西安710068）

0 引言

現(xiàn)代海戰(zhàn)中，超低空突防的來襲導(dǎo)彈已構(gòu)水面艦艇的主要威脅，而單平臺(tái)的偵察探測能力不能滿足反導(dǎo)作戰(zhàn)的要求，在此背景下，充分利用多平臺(tái)傳感器的信息共享可以提高其反導(dǎo)效果。當(dāng)采用多平臺(tái)傳感器探測的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合時(shí)，由于不同類型的傳感器的采樣率、預(yù)處理時(shí)間以及數(shù)據(jù)通信延遲，導(dǎo)致出現(xiàn)多個(gè)傳感器量測無序到達(dá)融合中心的現(xiàn)象[1]，即無序量測現(xiàn)象。由于Kalman濾波算法只適于處理順序量測，因此基于Kalman濾波框架的量測融合算法不能直接處理狀態(tài)估計(jì)的負(fù)時(shí)間更新問題。當(dāng)前針對(duì)無序量測現(xiàn)象的濾波方法主要有：丟棄延遲量測法、重新濾波法、數(shù)據(jù)緩存法和直接更新法[2]。丟棄延遲量測法會(huì)造成大量信息丟失，導(dǎo)致目標(biāo)跟蹤精度下降甚至丟失目標(biāo)。對(duì)于重新濾波法，存儲(chǔ)量和計(jì)算量隨傳感器數(shù)目、目標(biāo)數(shù)目及延遲時(shí)間的增長而顯著增加。數(shù)據(jù)緩存法需要較大的存儲(chǔ)空間而且輸出嚴(yán)重滯后。直接更新法直接使用無序量測更新當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)，使其達(dá)到或逼近量測順序處理時(shí)的濾波精度[3][4]。

1 問題描述

對(duì)于協(xié)同作戰(zhàn)的多平臺(tái)系統(tǒng)，每個(gè)協(xié)同單元在自身坐標(biāo)系下進(jìn)行目標(biāo)跟蹤的同時(shí)，接收其它平臺(tái)周期性發(fā)送探測信息。

狀態(tài)方程和測量方程如下：

其中，ωk～N（0，Qk）為建模誤差，vk～N（0，Rk）為測量誤差。 矩陣 Fk為狀態(tài)變換矩陣，Gk誤差輸入矩陣，Xk包含目標(biāo)位置、速度和加速度。

線性測量方程可通過對(duì)非線性觀測函數(shù)線性化：

其中，Xk＝［xkykzkx˙ky˙kz˙k］T

對(duì)于擴(kuò)展卡爾曼濾波器的濾波方程如下：

下面在時(shí)間軸下，給出采用離散時(shí)間擴(kuò)展卡爾曼濾波的負(fù)時(shí)間更新的情況。如圖1，用tk-2時(shí)刻的測量數(shù)據(jù)Zk-2，得到標(biāo)準(zhǔn)濾波器推導(dǎo)狀態(tài)估計(jì)值Xk-2/k-2。tk-1時(shí)刻遙控傳感器獲得測量值Zk-1，把這些數(shù)據(jù)添加時(shí)戳tk-1，并提交數(shù)據(jù)到具有傳輸延時(shí)的網(wǎng)上。tk時(shí)刻測量值Zk準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，并更新狀態(tài)估計(jì)由Xk-2/k-2得到Xk/k。由于數(shù)據(jù)延時(shí)，測量值Zk-1在tk+時(shí)刻到達(dá)，把該延遲數(shù)據(jù)考慮進(jìn)去用于提高狀態(tài)估計(jì)Xk/k+。

圖1 負(fù)時(shí)間更新時(shí)間軸

基于上述問題表述的負(fù)時(shí)間更新算法推導(dǎo)如下：

2 濾波模型推導(dǎo)

2.1 狀態(tài)推導(dǎo)

時(shí)間間隔表示為：

狀態(tài)Xk|j估計(jì)誤差表示為，相應(yīng)真值表示為狀態(tài)Xk，則

時(shí)間間隔T內(nèi)，狀態(tài)Xk∈Rn的離散時(shí)間推導(dǎo)表示為：

其中，F(xiàn)是離散時(shí)間狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，W（T）是對(duì)象噪聲影響的矢量Xk＝［xkx˙k］T表達(dá)式，假定狀態(tài)矢量 是一維向量，那么狀態(tài)變換矩陣為：

該模型的對(duì)象噪聲將為連續(xù)時(shí)間白噪聲加速度。單位脈沖加速度δ（t-α），tk-2＜α＜tk，將在在狀態(tài)空間［tk-2-α 1］T產(chǎn)生響應(yīng)。 白噪聲加速度ω（α）應(yīng)用整個(gè)時(shí)間間隔T產(chǎn)生對(duì)象噪聲：

從tk-2到tk狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差的時(shí)間映射為：

2.2 tk時(shí)刻用 Zk值更新

當(dāng)測量值Zk到達(dá)濾波器用于處理時(shí)，濾波器并不知道延時(shí)測量值Zk-1的存在。因而，濾波器將繼續(xù)用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器更新處理。

首先處理將設(shè)計(jì)以前的狀態(tài)估計(jì)Xk-2

則狀態(tài)估計(jì)誤差為

標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波處理應(yīng)用增益更新狀態(tài)估計(jì)

進(jìn)而可求得

考慮到突發(fā)性，負(fù)時(shí)間更新可能在Xk-2|k-2→Xk|k更新時(shí)刻，定義量

該量為協(xié)方差，tk時(shí)刻標(biāo)準(zhǔn)更新后的狀態(tài)估計(jì)誤差X?k|k，時(shí)間間隔T前半部分的累積對(duì)象噪聲誤差。通過整理可得：

2.3 負(fù)時(shí)間更新算法

延時(shí)測量 Zk-1具有誤差 vk-1～N（0，Rk-1），在狀態(tài)估計(jì)更新 Xk|k被發(fā)現(xiàn)時(shí)，時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)更新Xk|k+。下面確定的卡爾曼增益新Kk+

該項(xiàng)F－1（T2）Xk|k于計(jì)算tk-1時(shí)刻更新的新息，同時(shí)確保 tk-1時(shí)刻的估計(jì)值Xk|k+。 代入Zk和 Xk，則

進(jìn)而求得

3 簡單算例

這里只用目標(biāo)跟蹤的其中一個(gè)坐標(biāo)，濾波器參數(shù)為：

假定有4個(gè)測量值Zk，k=1，2，3，4，所有值的準(zhǔn)時(shí)到達(dá)在1秒的間隔內(nèi)。

為了對(duì)比分析最小均方差負(fù)時(shí)間更新方法和標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波公式的濾波結(jié)果，表1給出了三種不同情況下的最終協(xié)方差值：無延時(shí)測量值、缺失測量值Z3標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)展卡爾曼濾波方法和Z3最后到達(dá)的負(fù)時(shí)間更新濾波方法。

表1 三種不同情況下最終協(xié)方差值

由表1可知，丟棄延時(shí)量Z3情況下，時(shí)間間隔增加到2秒，協(xié)方差值變得很大，濾波增益也很大；采用負(fù)時(shí)間更新方法濾波得到的最終協(xié)方差值與無延遲測量值的擴(kuò)展卡爾曼濾波值近似是一樣的。

4 結(jié)論

本文針對(duì)多平臺(tái)傳感器目標(biāo)跟蹤的無序量測問題，給出了最小均方差負(fù)時(shí)間更新法的推導(dǎo)過程，并用簡單的例子驗(yàn)證了采用負(fù)時(shí)間更新算法能夠取得較好的結(jié)果。

［1］韓崇昭，朱洪艷，段戰(zhàn)勝，等.多源信息融合[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2010.

［2］黃細(xì)鳳，吳欽章.順序更新式無序量測處理算法[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，2，25（2）.

［3］Bar Shalom Y.Update with Out-of-Sequence Measurements in Tracking：Exact Solution[J].IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems，2002，38(3)：769 －778.Hilton R D，Martin D A，Blair W D.

［4］Tracking with Time Delayed Data in Multi-Sensor Systems[R].Technical Report NSWCDD/TR－93/351，AD－A355269，Dahlgren，VA，August 1993.