藍(lán)洋

（西安外事學(xué)院 陜西 西安 710077）

地球是人類賴以生存的環(huán)境，人類過往的活動(dòng)使生態(tài)環(huán)境逐步惡化，出現(xiàn)了諸如氣候變化、水土流失、物種滅絕、污染、資源匱乏等問題[1]。人類迫切需要了解地球環(huán)境的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，以期能夠采取某些措施扭轉(zhuǎn)這一局面[2-3]，從而使得人類作為生態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)組成部分，與整個(gè)自然界和諧共存并長期發(fā)展。因此，科學(xué)家們?cè)谏鷳B(tài)系統(tǒng)的方面做了大量調(diào)查與研究，并提出一些模型對(duì)生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行描述，但是這些模型大多存在的問題是僅考慮了局部因素，而忽略了整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系[4]，從而無法對(duì)生態(tài)環(huán)境的發(fā)展做長期、準(zhǔn)確的預(yù)測。本文基于能量守恒原理提出了用于描述和預(yù)測生態(tài)系統(tǒng)發(fā)展的動(dòng)力系統(tǒng)模型，模型的求解結(jié)果表明，本模型能夠定性和定量分析影響生態(tài)系統(tǒng)的各個(gè)因素，能夠預(yù)測生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變化趨勢，為決策者識(shí)別關(guān)鍵因素和進(jìn)行決策提供參考依據(jù)。

1 生態(tài)環(huán)境的動(dòng)力系統(tǒng)建模

為了能夠準(zhǔn)確的建立描述生態(tài)環(huán)境的動(dòng)力系統(tǒng)模型，我們首先研究了影響生態(tài)系統(tǒng)的諸多因素[5]，從中選取了6種生態(tài)環(huán)境中的影響因素作為監(jiān)測節(jié)點(diǎn)。然后，通過調(diào)查這些因素之間相互關(guān)系，建立生態(tài)環(huán)境的網(wǎng)絡(luò)圖。最后，根據(jù)能量守恒原理，依據(jù)網(wǎng)絡(luò)圖對(duì)生態(tài)環(huán)境建立動(dòng)力系統(tǒng)模型，各部分詳細(xì)闡述如下。

1.1 影響因素的選取

眾所周知，生態(tài)系統(tǒng)的變化受到各種人為因素和自然因素的影響，又由于各種因素之間的交互作用導(dǎo)致生態(tài)系統(tǒng)極其復(fù)雜。在眾多影響因素中需要選擇直觀、必要、且具有概括性的因素來描述生態(tài)系統(tǒng)，因此，通過研究對(duì)生態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生長期影響的因素，本文選取了氣候、植被、物種、經(jīng)濟(jì)、海洋及人口等6個(gè)因素來概括描述生態(tài)系統(tǒng)。

1.2 生態(tài)網(wǎng)絡(luò)圖

生態(tài)系統(tǒng)復(fù)雜性的來源之一是各個(gè)因素之間直接或者間接的交錯(cuò)影響，將各因素之間的聯(lián)系表示為有向圖是直觀且可行的。本文采用前述6個(gè)因素作為生態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖的節(jié)點(diǎn)，并將所有節(jié)點(diǎn)的物理屬性抽象描述為能量概念，下文稱之為能量節(jié)點(diǎn)。由此，不同生態(tài)系統(tǒng)影響因素之間的關(guān)系可以被描述為能量節(jié)點(diǎn)之間的能量傳遞，連接網(wǎng)絡(luò)圖中能量節(jié)點(diǎn)的有向邊的權(quán)值即為能量傳遞效率。本文建立的生態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示。

圖1 生態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Ecosystem network model

圖中，Ei，i=1，2，…，6 表示第 i個(gè)能量節(jié)點(diǎn)的能量值。 網(wǎng)絡(luò)圖中每個(gè)有向邊均具有權(quán)值 kij，i，j=1，2， …，6，i≠j表示第i個(gè)能量節(jié)點(diǎn)到第j個(gè)能量節(jié)點(diǎn)的能量傳遞效率。

1.3 動(dòng)力系統(tǒng)建模

顯然，生態(tài)系統(tǒng)是個(gè)隨時(shí)間發(fā)生演化的動(dòng)力系統(tǒng)，描述動(dòng)力系統(tǒng)的最佳數(shù)學(xué)工具即為微分方程組模型，因此本文針對(duì)每個(gè)能量節(jié)點(diǎn)建立微分方程，構(gòu)造整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的微分方程組模型。以物種數(shù)量為例，在圖1中找出所有影響物種數(shù)量的那些節(jié)點(diǎn)，形成如圖2所示的子圖，即為物種節(jié)點(diǎn)的割。

圖2 物種節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)子圖Fig.2 Sub-graph of the species'node

根據(jù)圖2，能夠得到物種能量的變化率與其他相關(guān)節(jié)點(diǎn)能量之間的關(guān)系，即物種節(jié)點(diǎn)的能量變化率等于輸入能量減去輸出能量，如表達(dá)式（1）所示。

其中，Ei表示第i個(gè)能量節(jié)點(diǎn)的取值，kii表示第i個(gè)能量節(jié)點(diǎn)對(duì)其他所有能量節(jié)點(diǎn)的輸出能量傳遞系數(shù)，kij（i≠j）表示第j個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入能量傳輸效率。需要注意的是，式（1）右端的常數(shù)項(xiàng)P1表示政府針對(duì)第1個(gè)因素所采用的調(diào)控政策，P1對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的影響將會(huì)在模型分析中詳細(xì)闡述。

事實(shí)上，上述所描述的“能量”對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定存在“正負(fù)”效應(yīng)，根據(jù)各個(gè)能量節(jié)點(diǎn)對(duì)環(huán)境影響的物理意義，其正負(fù)意義不難看出。例如，在式（1）中地球植被覆蓋率的增加將促進(jìn)物種多樣性的提高，從而有利于生態(tài)環(huán)境平衡與發(fā)展，所以定義為正能量。同時(shí)，人口數(shù)量的增加將不利于物種多樣性的提高，所以定義為負(fù)能量。能量的表示符號(hào)與極性如表1所示。

表1 各種能量的符號(hào)與極性Tab.1 The symbol and polar of all kinds of energy

在所有因素被抽象描述為正負(fù)能量之后，用能量疊加的概念能夠很容易說明節(jié)點(diǎn)之間的相互影響：如果負(fù)能量流入某個(gè)正能量節(jié)點(diǎn)，將導(dǎo)致此節(jié)點(diǎn)中的正能量下降；同時(shí)，若正能量流入了正能量節(jié)點(diǎn)，則將使得這個(gè)節(jié)點(diǎn)的正能量增加。在全面考慮了前述各個(gè)能量節(jié)點(diǎn)間關(guān)系后，我們對(duì)生態(tài)動(dòng)力系統(tǒng)建立如下微分方程組模型：

其中，各符號(hào)定義同式（1）。

2 模型分析

可以證明，本文的微分方程組模型將收斂于穩(wěn)態(tài)解[6]。穩(wěn)態(tài)的含義即為，隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)各個(gè)能量不再變化，即變化率為零。所以，在生態(tài)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，微分方程組的解（即穩(wěn)態(tài)時(shí)各個(gè)變量的取值）等于以下線性方程組的解。

將滿足方程組（3）的解向量（E1，E2，E3，E4，E5，E6）稱為微分方程組的平衡點(diǎn)。由于在能量節(jié)點(diǎn)設(shè)置與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)系構(gòu)建中，沒有包含冗余關(guān)系，所以能夠確保方程（3）有唯一解。此時(shí)，微分方程組（2）的任意初始值都將收斂至平衡點(diǎn)。又因?yàn)槲覀兯媾R的問題是生態(tài)系統(tǒng)問題，方程組（2）所有變量的物理意義決定了變量的取值必為正。線性方程組（3）對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的監(jiān)控、預(yù)測與控制的意義將在后文模型應(yīng)用中詳細(xì)闡述。

3 模型求解

為了求解此描述生態(tài)系統(tǒng)微分方程組（2），必須首先獲得每個(gè)方程組中各項(xiàng)系數(shù)的取值，鑒于已經(jīng)有許多成熟的參數(shù)估計(jì)方法可用，本文假設(shè)已經(jīng)通過歷史數(shù)據(jù)獲得了方程組各項(xiàng)系數(shù)。本文采用Runge-Kutta[7]數(shù)值方法求解微分方程組（2），求解結(jié)果如圖3所示。

圖3 微分方程組模型的求解結(jié)果Fig.3 The results of our differential equation system model

圖3所示的每個(gè)子圖是每種能量隨時(shí)間推移的演化示意圖。由圖可以看出，由于各種正負(fù)能量相互抵消，在經(jīng)過單調(diào)增、單調(diào)減或波動(dòng)之后，整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到了平衡狀態(tài)。每種能量的演化過程和所達(dá)到的穩(wěn)態(tài)將幫助我們獲取能說明生態(tài)環(huán)境狀況的有效信息，以下即詳細(xì)討論。

4 模型應(yīng)用

我們的目的是建立一個(gè)模型對(duì)生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行檢測并為保護(hù)環(huán)境的決策提供依據(jù)，那么根據(jù)上述模型求解及分析我們已經(jīng)得到了一些必備的信息。這里，用一個(gè)兩變量的微分方程組進(jìn)行直觀說明。

設(shè)有能量A和能量B，分別對(duì)應(yīng)變量x和y，其對(duì)應(yīng)的微分方程組為

系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（x*，y*）是方程組（5）的解[8]

如果能量A和能量B均為正能量，則方程組（5）的解（即平衡點(diǎn)）應(yīng)該處于坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，如圖4（a）所示。如果能量A為正能量且能量B為負(fù)能量，則方程組（5）的解應(yīng)在第四象限內(nèi)，如圖4（b）所示。接下來，用平衡點(diǎn)在空間中的位置能夠說明生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。

所謂生態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)惡化或者處于危險(xiǎn)狀態(tài)，表示此時(shí)或者未來生態(tài)系統(tǒng)中某些或者全部能量將處于一個(gè)人類所不能忍受的極低水平。因此，那么生態(tài)系統(tǒng)處于危險(xiǎn)狀態(tài)即意味著能量向量（x，y）處于圖5的陰影區(qū)內(nèi)，將這個(gè)區(qū)域稱為預(yù)警區(qū)域。通過檢測生態(tài)系統(tǒng)中能量向量在空間中所處的位置，我們可以判斷生態(tài)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)是否處于預(yù)警區(qū)域，并能夠依據(jù)平衡點(diǎn)的坐標(biāo)值評(píng)估整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的健康度。

圖4 預(yù)警區(qū)域示意圖Fig.4 The sketch of tipping point area

在獲得了生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)信息之后，政府需要實(shí)施某些措施，使得生態(tài)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)遠(yuǎn)離預(yù)警區(qū)域。仍然以方程（5）為例，假設(shè)能量A與能量B均為正能量，P1，P2為政府分別針對(duì)不同因素所實(shí)施的環(huán)境保護(hù)措施。如圖5（a）所示，當(dāng)政府在現(xiàn)有狀態(tài)下不另外施加任何措施，即P1=P2=0，則系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（即線性方程組的解，如圖5（a）所示的兩條直線的交點(diǎn)）處于預(yù)警區(qū)域內(nèi)。當(dāng)政府實(shí)施的環(huán)境保護(hù)措施，通過改變P1，P2的值，則能夠使得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)遠(yuǎn)離預(yù)警區(qū)域，如圖5（b）所示。

圖5 政府調(diào)控措施效果示意圖Fig.5 The illustration of the effect of governmental polies

上述分析與應(yīng)用是針對(duì)兩個(gè)變量的微分方程組模型，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要考慮生態(tài)系統(tǒng)中的多個(gè)因素時(shí)，上述建模方法與結(jié)論分析可以由兩個(gè)變量的微分方程組模型推廣至多變量微分方程組模型。

5 結(jié) 論

針對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)測與預(yù)測問題，本文提出了一種基于能量守恒的生態(tài)系統(tǒng)模型。其優(yōu)點(diǎn)是能夠通過定性和定量的分析各種環(huán)境影響因素，獲得生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)信息，同時(shí)預(yù)測生態(tài)系統(tǒng)在未來的發(fā)展趨勢，并最終能夠向決策者提供環(huán)境保護(hù)措施的實(shí)施依據(jù)，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

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